Les nombres rationnels

Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Au primaire, tu as rencontré les fractions comme des "parts de gâteau". En 5e, on franchit un cap : la fraction n'est plus juste une part, elle est un nombre à part entière, qu'on peut placer sur la droite graduée, comparer à d'autres, additionner, soustraire.

Quelques exemples : ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{-7}{2}}$, ${\displaystyle \frac{12}{5}}$, ${\displaystyle \frac{0}{8}}$, ${\displaystyle \frac{-1}{3}}$ sont tous des nombres rationnels. Le dénominateur ne peut jamais être nul — diviser par zéro n'a aucun sens en mathématiques.

Le vocabulaire à mémoriser

Dans une fraction comme ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ :

• $5$ est le numérateur (au-dessus du trait)
• $8$ est le dénominateur (en dessous du trait)
• Le trait s'appelle la barre de fraction et représente la division

Une astuce pour ne jamais te tromper : le dénominateur te dit en combien de parts on découpe le tout — il compte les parts, et on l'écrit en bas, sous le trait. Le numérateur, lui, énumère combien de parts tu prends, et se place au-dessus.

Les entiers et les décimaux sont aussi rationnels

Un fait surprenant mais important : tout entier est un nombre rationnel, et tout décimal est un nombre rationnel.

• $5={\displaystyle \frac{5}{1}}$ — n'importe quel entier divisé par 1 redonne lui-même.
• $\mathrm{0,25}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ — tout décimal peut s'écrire comme une fraction.
• $\mathrm{0,5}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\mathrm{0,75}={\displaystyle \frac{3}{4}}$, etc.

Donc la famille des rationnels englobe tous les nombres que tu connais déjà : entiers naturels (0, 1, 2, ...), entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), et décimaux ($\mathrm{3,14}$, $-\mathrm{7,5}$, etc.).

Tous les nombres sont-ils rationnels ?

Non, et c'est un fait remarquable. Certains nombres ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction. Par exemple, le nombre $\pi$ (qui apparaît dans le calcul du périmètre d'un cercle) commence par $\mathrm{3,14159265}\dots$ et continue à l'infini sans jamais se répéter. Aucune fraction ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ ne lui est exactement égale.

Tu en sauras plus en 3e quand tu rencontreras les racines carrées comme $\sqrt{2}$. Pour l'instant, retiens simplement que les rationnels couvrent presque tous les nombres usuels, mais pas tous.

Fractions égales et simplification

Une même quantité peut s'écrire avec plusieurs fractions différentes. C'est ce qui rend les fractions à la fois puissantes et un peu déroutantes au début.

Le théorème central

Autrement dit : ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{a\times k}{b\times k}}$ pour tout $k$ non nul.

Exemple. ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2\times 5}{3\times 5}}={\displaystyle \frac{10}{15}}$. Les deux fractions représentent exactement la même quantité.

L'inverse est aussi vrai : si on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul (à condition que les deux divisions tombent juste), on obtient une fraction égale.

Exemple. ${\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{12÷6}{18÷6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Les deux fractions valent la même chose.

Simplifier une fraction

Quand on simplifie une fraction, on cherche à l'écrire avec les plus petits nombres possibles au numérateur et au dénominateur. Une fraction qu'on ne peut plus simplifier s'appelle une fraction irréductible.

Méthode de simplification :

1. Cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
2. Divise les deux par ce diviseur.
3. Recommence jusqu'à ce qu'aucun diviseur commun ne reste.

Exemple. Simplifie ${\displaystyle \frac{24}{36}}$.

• Étape 1 : $24$ et $36$ sont tous les deux divisibles par $2$. ${\displaystyle \frac{24}{36}}={\displaystyle \frac{12}{18}}$.
• Étape 2 : $12$ et $18$ sont tous les deux divisibles par $2$. ${\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$.
• Étape 3 : $6$ et $9$ sont tous les deux divisibles par $3$. ${\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
• Étape 4 : $2$ et $3$ n'ont plus aucun diviseur commun (à part 1). C'est fini, ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est irréductible.

Au chapitre suivant (la divisibilité et les nombres premiers), tu apprendras à trouver le plus grand diviseur commun d'un coup, ce qui simplifiera la fraction en une seule étape.

Comparer deux fractions

Comparer deux fractions n'est pas toujours évident à l'œil — qui est le plus grand entre ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{7}}$ ? On a deux méthodes principales selon la situation.

Cas 1 — Même dénominateur

C'est le cas le plus simple.

Exemple. Compare ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Mêmes dénominateurs (8), donc on compare les numérateurs : $3<5$, donc ${\displaystyle \frac{3}{8}}<{\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Cas 2 — Dénominateurs différents

Quand les dénominateurs sont différents, on transforme les deux fractions pour qu'elles aient le même dénominateur, puis on applique la règle du cas 1.

Méthode : trouve un dénominateur commun (le plus simple : le produit des deux dénominateurs).

Exemple. Compare ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{7}}$.

Dénominateur commun : $5\times 7=35$.

• ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{3\times 7}{5\times 7}}={\displaystyle \frac{21}{35}}$
• ${\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{4\times 5}{7\times 5}}={\displaystyle \frac{20}{35}}$

Maintenant on compare : $21>20$, donc ${\displaystyle \frac{21}{35}}>{\displaystyle \frac{20}{35}}$, donc ${\displaystyle \frac{3}{5}}>{\displaystyle \frac{4}{7}}$.

Fractions négatives

Comme pour les nombres relatifs (chapitre 1), plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit quand on est dans les négatifs.

Exemple. Compare $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Mêmes dénominateurs, on compare les numérateurs en valeur absolue : ${\displaystyle \frac{2}{3}}>{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Donc en mettant le signe $-$, l'ordre s'inverse : $-{\displaystyle \frac{2}{3}}<-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Astuce — comparer à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ou à $1$

Pour des estimations rapides, savoir si une fraction est au-dessus ou en dessous de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ou de $1$ aide beaucoup.

• Une fraction ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ est plus petite que ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ si $a<{\displaystyle \frac{b}{2}}$ (numérateur plus petit que la moitié du dénominateur).
• Une fraction est plus petite que $1$ si son numérateur est plus petit que son dénominateur.
• Une fraction est plus grande que $1$ si son numérateur est plus grand que son dénominateur.

Exemple. ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ est-elle plus grande ou plus petite que ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ?

La moitié de 9, c'est 4,5. Comme $4<\mathrm{4,5}$, on a ${\displaystyle \frac{4}{9}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Vérification : ${\displaystyle \frac{4}{9}}\approx \mathrm{0,44}$, et ${\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,50}$. ✓

Additionner et soustraire — même dénominateur

L'addition et la soustraction de fractions sont plus simples que ce que l'intuition suggère, à condition de respecter une règle de base.

La règle clé

Autrement dit : ${\displaystyle \frac{a}{c}}+{\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{a+b}{c}}$ et ${\displaystyle \frac{a}{c}}-{\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{a-b}{c}}$.

Exemples.

• ${\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{2+3}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$
• ${\displaystyle \frac{8}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{8-2}{9}}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (pense à simplifier !)
• ${\displaystyle \frac{7}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}=1$

Toujours simplifier le résultat

C'est une règle implicite : à la fin de tout calcul, on simplifie la fraction pour l'écrire sous sa forme irréductible. Une réponse non simplifiée est considérée comme incomplète.

Exemple. ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Cas avec des fractions négatives

Les règles de calcul sur les signes (chapitre 1) s'appliquent au numérateur.

Exemple. ${\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{-7}{5}}={\displaystyle \frac{3+(-7)}{5}}={\displaystyle \frac{-4}{5}}$, qu'on écrit aussi $-{\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Additionner et soustraire — dénominateurs différents

Quand les dénominateurs sont différents, on ne peut pas additionner les numérateurs directement. Il faut d'abord mettre les fractions au même dénominateur, puis appliquer la règle de la section précédente.

Méthode systématique :

1. Trouver un dénominateur commun aux deux fractions.
2. Réécrire chaque fraction avec ce nouveau dénominateur (en multipliant numérateur et dénominateur par le bon facteur).
3. Additionner ou soustraire les numérateurs comme dans la section précédente.
4. Simplifier le résultat.

Méthode 1 — Le produit des dénominateurs

La technique la plus simple à appliquer : multiplier les deux dénominateurs entre eux. Ça marche toujours, même si ça donne parfois des nombres un peu gros.

Exemple. Calcule ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

• Dénominateur commun : $3\times 4=12$.
• ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1\times 4}{3\times 4}}={\displaystyle \frac{4}{12}}$.
• ${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1\times 3}{4\times 3}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$.
• Somme : ${\displaystyle \frac{4}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$.
• ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ est déjà irréductible. Réponse finale.

Méthode 2 — Le multiple commun

Quand un dénominateur est un multiple de l'autre, on peut simplifier la démarche.

Exemple. Calcule ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}$.

Au lieu de prendre $2\times 8=16$, on remarque que $8$ est déjà un multiple de $2$ (puisque $8=2\times 4$). On peut donc utiliser $8$ comme dénominateur commun, plus petit que $16$.

• ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1\times 4}{2\times 4}}={\displaystyle \frac{4}{8}}$.
• ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ reste tel quel.
• Somme : ${\displaystyle \frac{4}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$.

Astuce mnémotechnique : si un dénominateur "tombe juste" dans l'autre, prends le plus grand des deux comme dénominateur commun.

Cas plus complexes

Avec des dénominateurs qui n'ont aucun lien évident, on revient à la méthode 1 (le produit).

Exemple. ${\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}$.

• Dénominateur commun : $5\times 7=35$.
• ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{14}{35}}$, ${\displaystyle \frac{1}{7}}={\displaystyle \frac{5}{35}}$.
• Différence : ${\displaystyle \frac{14}{35}}-{\displaystyle \frac{5}{35}}={\displaystyle \frac{9}{35}}$.
• Irréductible.

Multiplier un rationnel par un entier

Multiplier une fraction par un entier est une opération plus simple qu'une addition de fractions.

La règle

Exemples.

• $3\times {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$
• $4\times {\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{12}{7}}$
• $2\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{10}{8}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$ (pense à simplifier !)

Application : "les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de quelque chose"

Quand un énoncé dit "calcule les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de 200", on traduit ça par une multiplication : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 200$.

Calcul : ${\displaystyle \frac{3\times 200}{4}}={\displaystyle \frac{600}{4}}=150$.

Astuce alternative : on peut aussi diviser d'abord ($200÷4=50$, qui correspond à ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de 200) puis multiplier ($50\times 3=150$). Le résultat est le même.

Limite du programme de 5e

En 5e, tu n'apprendras pas la multiplication de deux fractions entre elles (par exemple ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{4}{5}}$). Cette règle arrive en 4e. Ne sois pas surpris si tu vois ce type de calcul dans des manuels d'autres niveaux.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre numérateur et dénominateur en simplifiant. Quand tu simplifies ${\displaystyle \frac{12}{18}}$ par $6$, tu fais $12÷6=2$ pour le numérateur ET $18÷6=3$ pour le dénominateur. Beaucoup d'élèves divisent l'un par 6 et oublient l'autre, ce qui change la valeur de la fraction.

Piège 2 : additionner les dénominateurs. ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ ne fait pas ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ ! On ne peut pas additionner les dénominateurs comme ça. Il faut d'abord mettre au même dénominateur (${\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$).

Piège 3 : oublier de simplifier le résultat. ${\displaystyle \frac{4}{8}}$ est mathématiquement correct, mais c'est une réponse incomplète. La forme attendue est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. En contrôle, ne pas simplifier coûte souvent un demi-point.

Piège 4 : oublier le signe avec des fractions négatives. $-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=0$, pas $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. Quand on additionne deux fractions opposées (mêmes valeurs absolues, signes contraires), on tombe sur 0.

Piège 5 : confondre "${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de 200" avec "diviser 200 par ${\displaystyle \frac{1}{4}}$". "Les ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de 200" = ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 200=50$. Pas $200÷{\displaystyle \frac{1}{4}}$, qui donnerait un résultat très différent (et n'est pas au programme de 5e).

Application concrète

Yasmine organise un anniversaire pour 12 invités. Elle veut commander des pizzas et organiser un partage équitable selon les préférences de ses amis.

Étape 1 — Comprendre les préférences.

Sur les 12 invités :

• ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ veulent du fromage (margherita ou 4 fromages)
• ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ sont végétariens
• ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ adorent les pizzas épicées (tunisienne ou diavola)
• Le reste mangera n'importe quoi

Combien d'invités dans chaque catégorie ?

• Fromage : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 12={\displaystyle \frac{24}{3}}=8$ invités
• Végétariens : ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 12={\displaystyle \frac{12}{4}}=3$ invités
• Épicé : ${\displaystyle \frac{1}{6}}\times 12={\displaystyle \frac{12}{6}}=2$ invités

Note importante : ces catégories peuvent se chevaucher (un végétarien peut aimer le fromage). Yasmine devra commander des pizzas qui couvrent ces préférences.

Étape 2 — Calculer les pizzas nécessaires.

Yasmine estime qu'une pizza nourrit 4 personnes. Pour 12 invités, il faut donc $12÷4=3$ pizzas au minimum. Elle décide d'en commander $4$ pour avoir un peu de marge.

Sur ces 4 pizzas, elle veut respecter les proportions :

• ${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ des pizzas avec du fromage (donc 2 pizzas)
• ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ végétarienne (donc 1 pizza)
• ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ épicée (donc 1 pizza)

Catégorie	Fraction du total	Nombre de pizzas
Fromage classique	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	2
Végétarienne	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	1
Épicée	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	1
Total	${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}=1$	4

Étape 3 — Vérifier l'addition des fractions.

Yasmine vérifie que sa répartition couvre bien tout : ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

• Mise au même dénominateur : ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2}{4}}$
• Somme : ${\displaystyle \frac{2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}=1$

Total = 1 (toute la commande). ✓

Étape 4 — Le calcul du prix.

Une pizza coûte 75 dh. Pour 4 pizzas : $4\times 75=300$ dh.

Si Yasmine veut savoir combien chaque invité doit contribuer pour partager les frais :

${\displaystyle \frac{300}{12}}=25$ dh par invité.

Trois choses à retenir de cet exemple :

• Les fractions interviennent partout dans la vie quotidienne : préférences, partages, proportions.
• L'addition de fractions sert à vérifier qu'une répartition est complète (la somme doit faire 1, c'est-à-dire le tout).
• La multiplication par un entier sert à passer d'une proportion à un nombre concret.

À retenir

Avant de passer aux exercices, voici les six règles essentielles à mémoriser.