Les angles
Qu'est-ce qu'un angle ?
Avant de mesurer quoi que ce soit, il faut savoir précisément ce qu'on mesure. Un angle, en géométrie, n'est pas une "ouverture" floue : c'est un objet bien défini, formé par deux demi-droites qui partent du même point.
Un angle est la figure géométrique formée par deux demi-droites ayant la même origine. Cette origine commune s'appelle le sommet de l'angle, et les deux demi-droites s'appellent les côtés de l'angle.
Notation
Pour désigner un angle, on a besoin de trois lettres : un point sur le premier côté, le sommet au milieu, un point sur le second côté. On surmonte le tout d'un chapeau.
Notation. L'angle de sommet , dont les côtés passent par et , se note ou .
L'ordre des deux lettres extérieures n'a aucune importance : et désignent exactement le même angle. Mais le sommet est toujours au milieu — c'est la règle absolue de la notation.
Quand il n'y a aucune ambiguïté (un seul angle de sommet dans la figure), on se permet d'écrire simplement . Plus court, plus pratique, mais à n'utiliser que si le contexte est limpide.
Le secteur angulaire
L'angle, au sens strict, c'est seulement les deux demi-droites. Mais quand on parle d'un angle, on pense aussi à la zone du plan comprise entre ces deux demi-droites : c'est ce qu'on appelle le secteur angulaire. C'est cette zone qu'on hachure ou qu'on colorie sur les figures, et c'est aussi elle qu'on a en tête quand on dit qu'un angle est "grand" ou "petit".
Un angle est défini par un sommet et deux demi-droites issues de ce sommet. On le note avec le sommet au milieu — l'ordre des deux autres lettres est libre.
Mesurer un angle en degrés
Décrire un angle par sa figure ne suffit pas : il faut pouvoir comparer deux angles, dire lequel est plus grand, et ajouter ou soustraire des angles entre eux. Pour cela, on les mesure.
L'unité usuelle de mesure des angles est le degré, noté °. Un tour complet vaut .
Le choix de remonte aux Babyloniens et à leur système sexagésimal (en base 60) : ce nombre se partage en beaucoup de parts égales, ce qui rend le tour facile à découper.
À partir de , on déduit les mesures importantes par simple proportionnalité (chapitre 2) :
- Un demi-tour :
- Un quart de tour :
- Un huitième de tour :
- Un douzième de tour :
Le rapporteur
Pour mesurer un angle dessiné sur une feuille, l'instrument est le rapporteur — un demi-disque gradué de à , avec une double graduation : une qui se lit de gauche à droite, l'autre de droite à gauche.
Pour mesurer un angle avec un rapporteur :
- Place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.
- Aligne le côté sur la graduation d'une des deux échelles.
- Lis la graduation où passe le côté — sur la même échelle que celle où tu as lu .
Le piège, ici, est l'étape 3 : on a deux graduations qui se croisent à chaque trait, et il faut absolument lire la même que celle où on a aligné le . Lire l'autre, c'est lire le supplémentaire de l'angle au lieu de l'angle lui-même (on y revient plus bas).
Exemple 1. Sur le rapporteur de la figure ci-dessus, l'échelle alignée à avec donne la lecture sur le côté . Donc .
Construire un angle d'une mesure donnée
L'opération inverse — construire un angle qui mesure exactement , par exemple — suit la même logique :
Pour construire un angle de mesure degrés à partir d'une demi-droite :
- Place le centre du rapporteur sur .
- Aligne sur la graduation .
- Marque un point à la graduation (sur la même échelle).
- Trace la demi-droite — l'angle mesure exactement .
Le degré est l'unité de mesure des angles. Un tour complet vaut . Le rapporteur a deux graduations qui se croisent : ne change pas d'échelle entre l'alignement à et la lecture finale.
La famille des angles
Selon la mesure d'un angle, on lui donne un nom particulier. Tu dois reconnaître ces cinq familles d'un coup d'œil, sans réfléchir.
Définitions.
- Angle nul : mesure . Les deux côtés sont confondus.
- Angle aigu : mesure strictement comprise entre et .
- Angle droit : mesure exactement . Les deux côtés sont perpendiculaires.
- Angle obtus : mesure strictement comprise entre et .
- Angle plat : mesure exactement . Les deux côtés sont alignés (ils forment une droite).
- Angle plein : mesure exactement . Les deux côtés sont à nouveau confondus, mais après un tour complet.
Exemple 1. Un angle de est aigu (entre et ).
Exemple 2. Un angle de est droit. C'est le seul angle pour lequel on dit que les côtés sont perpendiculaires — un mot que tu retrouveras à chaque chapitre de géométrie.
Exemple 3. Un angle de est obtus (entre et ).
Le piège du "obtus à l'œil"
Il est facile de confondre un angle aigu très ouvert (par exemple ) et un angle obtus très fermé (par exemple ). À l'œil nu, la différence est minuscule. Pour trancher proprement, il n'y a qu'une méthode fiable : mesurer. La frontière à est nette mathématiquement, mais elle est invisible à l'œil. Ne te fie jamais à ton intuition au voisinage du droit.
Cinq familles : nul (), aigu (), droit (), obtus (entre et ), plat (), plein (). La perpendicularité est synonyme d'angle droit.
Quand deux angles s'additionnent : complémentaires et supplémentaires
Deux angles peuvent s'additionner pour former un angle remarquable. Quand cette somme tombe sur ou sur , on donne un nom spécifique à la paire.
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut .
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut .
Exemple 1. Les angles de et sont complémentaires, parce que .
Exemple 2. Les angles de et sont supplémentaires, parce que .
Calculer l'angle qui manque
Si tu connais un angle et tu cherches son complémentaire, tu fais une simple soustraction : . Pareil pour le supplémentaire avec .
Exemple 3. Quel est le complémentaire de ?
Il vaut .
Exemple 4. Quel est le supplémentaire de ?
Il vaut .
Le cas géométrique des angles adjacents
Deux angles adjacents (qui partagent un sommet et un côté) qui forment ensemble un angle plat sont automatiquement supplémentaires. Cette situation revient sans arrêt en géométrie : dès que tu vois une droite avec un angle d'un côté, l'angle de l'autre côté en est le supplément.
C'est exactement la situation que tu vas exploiter dans la prochaine leçon, quand deux droites se rencontrent.
Complémentaires : somme . Supplémentaires : somme . Pour trouver le manquant, on soustrait à ou à .
Deux droites coupées par une sécante
C'est la situation la plus riche du chapitre, et la seule qui demande un peu d'attention pour ne pas s'embrouiller dans le vocabulaire.
Imagine deux droites et , et une troisième droite qui les coupe toutes les deux. On dit que est une sécante aux deux premières. À chacun des deux points d'intersection, quatre angles se forment — donc en tout, huit angles dans la figure.
Parmi ces huit angles, certaines paires ont un nom spécial parce qu'on les retrouve sans cesse dans les démonstrations.
Définitions.
- Deux angles sont alternes-internes s'ils sont situés entre les deux droites et , et de part et d'autre de la sécante .
- Deux angles sont correspondants s'ils sont situés du même côté de la sécante , et dans la même position par rapport à leur droite : l'un au-dessus de , l'autre au-dessus de — ou tous les deux au-dessous.
Ce vocabulaire fait peur écrit ainsi, mais il devient évident sur une figure : les alternes-internes forment un "Z" (ou son miroir), les correspondants forment un "F" (ou son miroir).
Le théorème des parallèles
Voici le résultat central, celui qui justifie d'apprendre tout ce vocabulaire.
Si deux droites sont parallèles, alors :
- les angles alternes-internes qu'elles forment avec une sécante sont égaux ;
- les angles correspondants qu'elles forment avec une sécante sont égaux.
Ce théorème dit quelque chose de remarquable : le parallélisme se traduit par une égalité d'angles. C'est-à-dire qu'on peut "voir" le parallélisme dans une figure rien qu'en mesurant deux angles.
Exemple 1. Sur une figure où et où l'angle alterne-interne en vaut , l'angle alterne-interne en vaut aussi — sans avoir à le mesurer. C'est le théorème qui te le donne.
Exemple 2. Si l'angle correspondant en vaut et que les deux droites sont parallèles, son correspondant en vaut aussi .
La réciproque, encore plus utile
Le théorème marche aussi dans l'autre sens, et c'est cette version qui sert le plus en pratique pour démontrer qu'un parallélisme.
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, ou des angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
C'est l'outil de démonstration dont tu te serviras le plus dans ce chapitre. Pour prouver que deux droites sont parallèles, il suffit de mesurer (ou de calculer) un angle alterne-interne ou correspondant à chaque intersection, et de constater qu'ils sont égaux. La réciproque garantit le parallélisme.
Le piège de l'hypothèse oubliée
L'égalité des angles correspondants n'est pas automatique. Elle nécessite l'hypothèse "les droites sont parallèles". Sans cette hypothèse, les angles n'ont aucune raison d'être égaux — et ils ne le sont pas en général. Quand tu rédiges, mentionne toujours explicitement le parallélisme avant d'invoquer le théorème.
Avec deux droites parallèles coupées par une sécante : les angles alternes-internes sont égaux, et les angles correspondants sont égaux. La réciproque est vraie : l'égalité de ces angles prouve le parallélisme.
Pièges classiques
Les six erreurs qui reviennent le plus souvent en classe sur ce chapitre.
Piège 1 : confondre l'angle et son secteur angulaire. L'angle au sens strict, c'est les deux demi-droites — un objet à une dimension. Le secteur angulaire, c'est la zone du plan entre ces demi-droites — un objet à deux dimensions. En 5e, on tolère les deux usages, mais l'angle "lui-même" est défini par les côtés, pas par la surface qu'on hachure.
Piège 2 : noter un angle avec le sommet ailleurs qu'au milieu. Dans la notation , le sommet est toujours la lettre du milieu. Écrire pour parler de l'angle de sommet est une faute qui change complètement l'objet désigné — a pour sommet , pas . C'est une erreur qui coûte cher en contrôle.
Piège 3 : se tromper d'échelle sur le rapporteur. Le rapporteur a deux graduations qui se croisent à chaque trait. Lire l'une à l'alignement sur puis l'autre à la lecture finale, c'est garantir une erreur de l'ordre de . Le réflexe : tu suis du doigt la même graduation depuis le départ — celle où tu lis sur le premier côté.
Piège 4 : confondre complémentaire et supplémentaire. Complémentaire = , supplémentaire = . Une astuce mnémotechnique : "complémentaires fait un coin droit" () ; "supplémentaires fait une simple droite" (). À ressortir à chaque exercice qui mentionne ces deux mots.
Piège 5 : mélanger alternes-internes et correspondants. Les alternes-internes dessinent un Z (ou son miroir) sur la figure : un angle d'un côté de la sécante, l'autre de l'autre côté. Les correspondants dessinent un F (ou son miroir) : les deux du même côté de la sécante, mais à des hauteurs différentes. Quand tu lis un énoncé, fais d'abord le geste de tracer le Z ou le F sur ta figure pour identifier la paire.
Piège 6 : appliquer le théorème des parallèles sans avoir vérifié que les droites le sont. Le théorème dit "si les droites sont parallèles, alors les angles correspondants sont égaux". Sans l'hypothèse de parallélisme, l'égalité n'a aucune raison d'être vraie. Avant d'écrire "donc les angles correspondants sont égaux", il faut une ligne du type "or les droites sont parallèles". Inversement, si on te demande de démontrer un parallélisme, c'est la réciproque qu'il faut invoquer (égalité des angles ⇒ parallélisme).
Application concrète
Yasmine et Karim repeignent un mur dans la chambre de Yasmine, à Casablanca. Pour la décoration, ils ont prévu de coller deux longues bandes adhésives parallèles en travers du mur, qui formeront ensuite la base d'un motif géométrique. Karim a posé les deux bandes "à l'œil". Yasmine, sceptique, veut vérifier que les bandes sont vraiment parallèles avant que la peinture ne sèche autour.
Pour vérifier, elle utilise une astuce : elle colle une troisième bande adhésive, oblique, qui traverse les deux premières. Cette bande oblique va lui servir de sécante.
Étape 1 — Identifier la configuration. Yasmine a maintenant deux droites (les deux bandes horizontales, qu'on appelle et ) coupées par une sécante (la bande oblique, ). Elle reconnaît immédiatement la configuration de la leçon 5 : huit angles se forment, par paires de quatre à chacun des deux points d'intersection et . Si les bandes et sont vraiment parallèles, les angles correspondants à et à doivent être égaux — c'est le théorème des parallèles.
Étape 2 — Mesurer un premier angle. Yasmine pose son rapporteur sur le point (intersection de et ). Elle aligne soigneusement le sur la bande , et lit la graduation où passe la bande oblique : elle obtient pour l'angle aigu situé en haut à droite.
Étape 3 — Calculer l'angle attendu en . Si les deux bandes étaient parfaitement parallèles, l'angle correspondant à celui qu'elle vient de mesurer — c'est-à-dire l'angle en situé du même côté de la sécante et au-dessus de la bande — devrait également mesurer .
Yasmine pourrait aussi prédire l'angle obtus en : il s'agirait de , parce que c'est le supplémentaire de l'angle correspondant (les deux ensemble forment un angle plat, leçon 4).
Étape 4 — Mesurer en et comparer. Elle pose maintenant son rapporteur sur le point , aligne le sur , et lit la graduation : . L'angle vaut , pas .
Étape 5 — Conclure. . Les angles correspondants ne sont pas égaux. Par la réciproque du théorème des parallèles, Yasmine en déduit que les deux bandes adhésives ne sont pas parallèles. L'écart de peut sembler minuscule, mais sur la longueur d'un mur, il se traduit par un décalage visible à l'œil nu — et serait franchement laid une fois le motif terminé.
Conclusion. Avant que la peinture ne sèche, Yasmine décolle la bande et la repositionne. Karim, beau joueur, reconnaît qu'il aurait dû mesurer plutôt que faire confiance à son œil. Cette même logique — mesurer un angle, en déduire un autre, et raisonner sur le parallélisme — est exactement celle que tu utiliseras au chapitre suivant pour démontrer des propriétés des triangles, et bien plus tard, dès la 4ᵉ, pour aborder le théorème de Thalès. Les angles ne sont pas une simple histoire de rapporteur : ce sont les briques de toute la géométrie qui suit.
À retenir
Avant de passer aux exercices, voici les cinq idées essentielles à mémoriser.
Un angle est formé par deux demi-droites issues d'un même point appelé sommet. On le note avec le sommet au milieu des trois lettres.
L'unité de mesure est le degré (°). Un tour complet vaut . Pour mesurer avec un rapporteur, on aligne le sommet sur le centre, le sur un côté, et on lit la graduation au passage de l'autre côté — toujours sur la même échelle.
Les angles particuliers sont : nul (), aigu (), droit (, perpendiculaire), obtus (entre et ), plat (), plein ().
Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut , supplémentaires si elle vaut . Pour trouver l'angle manquant, on soustrait à ou à .
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes et les angles correspondants qu'elles forment avec une sécante sont égaux. La réciproque est vraie : cette égalité démontre le parallélisme — c'est l'outil clé pour prouver que deux droites sont parallèles.