Les triangles

Le vocabulaire à mettre en place

Tu connais le mot « triangle » depuis l'école primaire. Mais en 5ᵉ, on monte d'un cran : un triangle, ce n'est plus seulement « un dessin à trois pointes », c'est un objet mathématique qu'on doit pouvoir décrire sans figure, juste avec des lettres.

Trois points non alignés : c'est la condition essentielle. Si les trois points sont sur une même droite, il n'y a plus de triangle, juste un segment épais. On dit alors que le triangle est aplati ou dégénéré — et en pratique, on l'exclut.

Notations

Quand on parle d'un triangle, on le nomme par ses trois sommets : « le triangle ABC ». L'ordre des trois lettres n'a pas d'importance pour la figure elle-même — ABC, BCA, CAB désignent toutes le même triangle. Mais pour décrire ses éléments, l'ordre devient crucial :

• Les côtés s'écrivent entre crochets et avec deux lettres : $[AB]$, $[BC]$, $[CA]$. Les crochets indiquent qu'on parle du segment, pas de la droite ni de la longueur.
• Les longueurs des côtés s'écrivent sans crochets : $AB$ désigne la longueur du segment $[AB]$. Donc « $AB=5$ cm » est correct, « $[AB]=5$ cm » ne l'est pas.
• Les angles s'écrivent avec un chapeau sur la lettre du sommet : $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$. Quand il y a ambiguïté (ce sera le cas en 4ᵉ), on précise les trois lettres avec le sommet au milieu : $\widehat{BAC}$ pour l'angle de sommet $A$.

L'inégalité triangulaire

Voici une question qui paraît anodine mais qui cache un théorème puissant : avec trois longueurs quelconques, peut-on toujours construire un triangle ?

La réponse est non. Et tu peux le vérifier en deux secondes : prends une règle et essaie de construire un triangle avec des côtés de $2$ cm, $3$ cm, et $10$ cm. C'est impossible. Les deux petits côtés, mis bout à bout, ne sont pas assez longs pour rejoindre les extrémités du grand côté. Ils n'arrivent pas à se toucher.

L'idée intuitive — « le chemin direct est toujours plus court qu'un détour » — se traduit en géométrie par une inégalité fondamentale.

Autrement dit, si ABC est un triangle, alors les trois inégalités suivantes sont vraies en même temps :

$AB<AC+CB,AC<AB+BC,BC<BA+AC\mathrm{.}$

Pourquoi « strictement » ?

L'inégalité est stricte ($<$ et non $\le$). Si on avait l'égalité — par exemple $BC=AB+AC$ — cela voudrait dire que les deux petits côtés, mis bout à bout, font exactement la longueur du troisième. Les trois sommets seraient alors alignés, et on l'a vu : trois points alignés ne forment pas un triangle.

La condition d'existence

En pratique, pour vérifier si trois longueurs peuvent former un triangle, un seul test suffit : on compare le plus grand côté à la somme des deux autres.

Pourquoi un seul test ? Parce que si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres, alors automatiquement chacune des deux autres est inférieure à la somme du grand et d'un troisième — c'est mécanique.

Le piège de la formulation

L'inégalité triangulaire se formule parfois à l'envers, et c'est là que les élèves se trompent. La phrase « le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres » est correcte. La phrase « la somme des deux petits côtés est supérieure au troisième » est équivalente — c'est juste l'inégalité dans l'autre sens. Ce qu'il ne faut jamais écrire, c'est « le grand côté est égal à la somme des deux autres » ; ça, c'est précisément le cas où le triangle n'existe pas.

La somme des angles vaut 180°

Voici l'autre grande loi des triangles, et c'est probablement la plus utile de tout ton programme de géométrie au collège.

« Tout triangle » : grand, petit, allongé, écrasé, posé dans n'importe quelle orientation. Toujours $180\mathrm{°}$. C'est universel. Ce théorème va te permettre, à chaque fois que tu connais deux angles d'un triangle, de calculer le troisième en quelques secondes.

Démonstration

Ce résultat n'est pas évident a priori — il mérite d'être démontré. La preuve est élégante et utilise directement les propriétés des angles que tu as vues au chapitre précédent.

Soit ABC un triangle quelconque. On note $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ ses trois angles intérieurs.

Étape 1. On trace la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$ passant par $A$.

Étape 2. La droite $(AB)$ est une sécante aux deux droites parallèles $(d)$ et $(BC)$. Comme tu l'as vu au chapitre des angles, les angles alternes-internes formés par cette sécante sont égaux. Donc l'angle marqué entre $(d)$ et $(AB)$ — du côté de $A$ situé à gauche — est égal à $\widehat{B}$.

Étape 3. De la même façon, la droite $(AC)$ est une sécante aux deux parallèles, donc l'angle alterne-interne correspondant à $\widehat{C}$ se retrouve, lui aussi, transporté en $A$.

Étape 4. Au point $A$, on a maintenant trois angles côte à côte sur la même droite $(d)$ : l'angle transporté égal à $\widehat{B}$, l'angle $\widehat{A}$ du triangle, et l'angle transporté égal à $\widehat{C}$. Ces trois angles forment ensemble un angle plat, qui mesure $180\mathrm{°}$.

Conclusion. $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180\mathrm{°}$. ∎

Cette démonstration est un petit bijou : elle montre comment une propriété qu'on n'avait, dans le chapitre précédent, qu'au sujet des droites parallèles et de leurs sécantes se transforme en théorème central de la géométrie du triangle. Tu reverras cette technique — « introduire une parallèle bien choisie » — souvent au lycée.

Application : trouver le troisième angle

Les triangles particuliers

Tous les triangles ne se valent pas. Certains, par leurs symétries ou leurs angles spéciaux, ont des propriétés qui les rendent particulièrement utiles. On en distingue trois grandes familles.

Le triangle isocèle

Cette équivalence est très utile : elle te donne deux façons de prouver qu'un triangle est isocèle. Soit tu montres que deux côtés sont égaux (par les longueurs), soit tu montres que deux angles sont égaux (par les angles). À toi de choisir la voie la plus rapide selon ce que l'énoncé te donne.

Le triangle équilatéral

La justification est immédiate : les trois angles sont égaux et leur somme vaut $180\mathrm{°}$, donc chacun vaut ${\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{3}}=60\mathrm{°}$.

Le triangle rectangle

C'est une conséquence immédiate du théorème de la somme des angles : si l'un des angles vaut $90\mathrm{°}$, les deux autres se partagent les $90\mathrm{°}$ restants.

Construire un triangle

Connaître la théorie ne suffit pas : il faut savoir tracer un triangle proprement à partir de données. Selon ce qu'on te donne, l'outil change.

Construction à la règle et au compas (3 longueurs données)

Quand tu connais les trois longueurs des côtés, tu peux construire le triangle uniquement avec une règle et un compas.

Construction au rapporteur (1 longueur et 2 angles donnés)

Quand tu connais un côté et les deux angles à ses extrémités, tu utilises le rapporteur.

La médiatrice et le cercle circonscrit

On termine ce chapitre par une notion qui paraît détachée des triangles mais qui leur est intimement liée.

La médiatrice d'un segment

La médiatrice possède une propriété remarquable, qui justifie tout ce qui suit :

Cette propriété transforme la médiatrice en un outil : si tu cherches « tous les points équidistants de A et de B », la réponse est : « la médiatrice de $[AB]$ ». Pas plus, pas moins.

Construction de la médiatrice au compas

Cette construction est élégante : on n'a besoin ni de mesurer $AB$, ni de calculer son milieu. Le compas le fait pour toi, par symétrie.

Le cercle circonscrit (intuition)

Considère maintenant un triangle ABC. Tu as trois côtés, donc tu peux tracer trois médiatrices : celle de $[AB]$, celle de $[BC]$, celle de $[CA]$.

Voici le fait remarquable, à observer attentivement :

Pourquoi est-ce vrai ? L'intuition est belle : un point appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est à égale distance de $A$ et $B$. Donc le point d'intersection des trois médiatrices est à la fois équidistant de $A$ et $B$, équidistant de $B$ et $C$, et équidistant de $C$ et $A$ — autrement dit, équidistant des trois sommets. Cette distance commune, c'est le rayon du cercle qui passe par les trois sommets.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre côté et longueur dans les notations. $[AB]$ avec crochets désigne le segment (un objet géométrique). $AB$ sans crochets désigne sa longueur (un nombre). Donc « $AB=5$ cm » est correct, mais « $[AB]=5$ cm » est une faute de notation. C'est minuscule, mais ça compte en correction.

Piège 2 : tester l'inégalité triangulaire avec les mauvaises longueurs. Pour vérifier qu'un triangle existe, on compare la plus grande longueur à la somme des deux autres. Beaucoup d'élèves font les trois comparaisons, ou pire, comparent au hasard. Une seule comparaison suffit, à condition de bien repérer le maximum d'abord.

Piège 3 : croire qu'un triangle peut avoir deux angles obtus ou deux angles droits. La somme des angles vaut $180\mathrm{°}$. Si deux angles dépassent ou atteignent $90\mathrm{°}$, leur somme dépasse déjà $180\mathrm{°}$, ce qui est impossible. Donc dans tout triangle, il y a au plus un angle obtus et au plus un angle droit. Les autres angles sont forcément aigus.

Piège 4 : oublier que « équilatéral implique isocèle » mais que l'inverse est faux. Un triangle équilatéral est, en particulier, isocèle (il a même trois paires de côtés égaux). Donc toute propriété des isocèles s'applique aussi aux équilatéraux. Mais un isocèle n'est pas forcément équilatéral — Salma fait souvent l'erreur de croire « isocèle = équilatéral ».

Piège 5 : se tromper sur ce qu'est l'hypoténuse dans un triangle rectangle. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, jamais un des deux côtés qui forment l'angle droit. C'est aussi toujours le plus long des trois côtés du triangle rectangle. Tu reverras ce vocabulaire en 4ᵉ avec le théorème de Pythagore — le maîtriser dès maintenant te fera gagner un chapitre entier.

Piège 6 : confondre médiatrice et hauteur (ou bissectrice). La médiatrice d'un côté est perpendiculaire à ce côté et passe par son milieu. Elle ne passe pas, en général, par le sommet opposé. Karim confond souvent la médiatrice avec la hauteur (perpendiculaire qui passe par le sommet opposé) ou avec la bissectrice (qui partage l'angle, pas le côté). Ces trois droites sont en général distinctes dans un triangle quelconque — elles ne coïncident que dans des cas très particuliers que tu reverras en 4ᵉ.

Application concrète

Yasmine veut fabriquer une étagère triangulaire pour suspendre dans le coin de sa chambre, à Casablanca. Elle a récupéré dans l'atelier de son oncle trois planches de longueurs respectives $80$ cm, $60$ cm, et $50$ cm. Avant de scier ou de visser quoi que ce soit, elle veut s'assurer que son projet tient debout — au sens propre comme au sens géométrique.

Étape 1 — Vérifier que le triangle existe. La plus grande planche mesure $80$ cm. Yasmine compare à la somme des deux autres : $60+50=110$ cm. Comme $80<110$, l'inégalité triangulaire est respectée : les trois planches peuvent bien former un triangle. Ouf — si la plus grande avait été de $115$ cm, le projet aurait été géométriquement impossible, peu importe la précision du bricolage.

Étape 2 — Identifier la nature du triangle. Les trois côtés sont différents ($80$, $60$, $50$). Le triangle n'est donc ni équilatéral, ni isocèle. C'est un triangle quelconque. Yasmine se demande s'il est rectangle. Pour le savoir avec ses outils de 5ᵉ, elle ne peut que mesurer les angles à la fin de la construction — le test rigoureux, par les longueurs, viendra l'année prochaine avec Pythagore.

Étape 3 — Tracer le patron à l'échelle. Yasmine décide de dessiner un patron à l'échelle $1\mathrm{/}10$ sur une feuille avant de découper le bois. Les longueurs deviennent : $8$ cm, $6$ cm, $5$ cm. Elle applique la méthode au compas : trace $[AB]$ de $8$ cm, ouvre le compas à $6$ cm pour piquer en $A$, à $5$ cm pour piquer en $B$, et les deux arcs se croisent au point $C$.

Étape 4 — Calculer le troisième angle pour la fixation. Pour visser solidement l'étagère au mur, Yasmine veut connaître l'angle au sommet $A$, là où elle compte placer l'équerre de fixation. Au rapporteur, elle mesure sur son patron $\widehat{A}\approx 38\mathrm{°}$ et $\widehat{B}\approx 51\mathrm{°}$. Elle vérifie en calculant le troisième : $\widehat{C}=180\mathrm{°}-38\mathrm{°}-51\mathrm{°}=91\mathrm{°}$. C'est cohérent avec ce qu'elle voit sur le patron — l'angle en $C$ est presque droit, ce qui rend l'étagère bien adossée au coin du mur.

Étape 5 — Trouver le centre du cercle circonscrit pour la décoration. Touche finale : Yasmine veut peindre un disque clair en arrière-plan derrière son étagère, qui passe exactement par les trois pointes. Elle trace au compas les médiatrices de deux côtés du patron, repère leur intersection $O$, et obtient ainsi le centre du cercle qui passe par $A$, $B$ et $C$. Elle reporte ce cercle à l'échelle $10\mathrm{/}1$ sur le mur, et son étagère sera parfaitement inscrite dans un grand cercle peint.

Conclusion. En cinq étapes, Yasmine est passée d'un tas de planches à un projet géométriquement sain et esthétiquement abouti. Toutes les notions du chapitre sont mobilisées : l'inégalité triangulaire pour valider la faisabilité, la classification des triangles pour anticiper la forme, la somme des angles pour vérifier les mesures, la construction au compas pour tracer le patron, et la médiatrice pour la décoration. Tu retrouveras les triangles à la base des parallélogrammes au chapitre suivant — beaucoup de leurs propriétés se déduisent de ce que tu viens d'apprendre.

À retenir