63 exercices pour t'entraîner sur Les triangles en 5ᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
Dans le triangle ABC, que désigne l'écriture ?
A
Les crochets indiquent qu'on parle du segment lui-même (un objet géométrique). Sans crochets, désigne la longueur (un nombre). Si tu as répondu B, tu as confondu l'objet et sa mesure — c'est l'erreur de notation la plus fréquente du chapitre. La droite (réponse C, parfois notée avec des parenthèses) prolonge le segment des deux côtés à l'infini. Apprends ces conventions maintenant : elles sont universelles en géométrie.
Dans le triangle ABC, quel côté est opposé au sommet ?
C
Un côté est opposé à un sommet quand il ne le touche pas. Les côtés et partent tous les deux de , donc le seul côté qui ne touche pas est . Cette terminologie revient sans cesse en géométrie : tu la retrouveras en 4ᵉ avec les hauteurs et les médianes, puis au lycée avec la trigonométrie.
Trois points alignés peuvent former un triangle.
B
La définition d'un triangle exige que ses trois sommets soient non alignés. Si trois points sont sur une même droite, on parle de triangle « aplati » ou « dégénéré » — et en pratique, on l'exclut. C'est la première condition à toujours garder en tête : pas de triangle sans trois directions différentes pour les côtés.
On peut construire un triangle dont les côtés mesurent cm, cm et cm.
B
Le plus grand côté mesure cm. Somme des deux autres : cm. Comme , l'inégalité triangulaire n'est pas respectée : aucun triangle possible. Concrètement, les deux petits côtés mis bout à bout sont trop courts pour rejoindre les extrémités du grand. Un seul test suffit, à condition de bien repérer le maximum d'abord.
Parmi les triplets suivants, lequel permet de construire un triangle ?
B
On compare la plus grande longueur à la somme des deux autres. A : , c'est une égalité → triangle aplati, non valide. B : ✓ → triangle valide. C : → impossible. D : → impossible. Seul B fonctionne. Méthode : repère d'abord le maximum, puis compare-le à la somme des deux autres. Un seul test suffit.
Trois longueurs cm, cm et cm permettent de construire un triangle.
B
Le plus grand côté vaut . Somme des deux autres : . C'est une égalité, pas une inégalité stricte. L'inégalité triangulaire exige (strictement inférieur), pas . À l'égalité, les trois points sont alignés : le triangle s'aplatit en segment. Si tu as répondu Vrai, retiens cette frontière fine : strictement inférieur, jamais l'égalité.
Dans un triangle ABC, on a et . Combien vaut , en degrés ?
60
La somme des angles d'un triangle vaut toujours . Donc :
Vérification : ✓. Cette astuce — connaître deux angles permet toujours de calculer le troisième — te servira pendant toute ta scolarité, jusqu'aux classes prépa.
Un triangle peut avoir deux angles droits.
B
Si un triangle avait deux angles de , leur somme ferait déjà , et il ne resterait pour le troisième angle — impossible, car un angle d'un triangle est toujours strictement positif. Conséquence générale : dans tout triangle, il y a au plus un seul angle droit.
Un triangle ABC est rectangle en . On donne . Combien vaut , en degrés ?
55
Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l'angle droit sont complémentaires : leur somme vaut . Donc . Vérification globale : ✓. Cette propriété (les deux angles aigus d'un rectangle sont complémentaires) est conséquence directe du théorème de la somme des angles.
Au maximum, combien d'angles obtus (strictement supérieurs à ) un triangle peut-il avoir ?
B
Si un triangle avait deux angles obtus, leur somme dépasserait déjà , ce qui contredit la somme totale. Donc au maximum un seul angle obtus. Si tu as répondu A, attention : un triangle peut très bien avoir un angle obtus (exemple : , , ). C'est seulement deux ou plus qui est exclu.
Combien de degrés vaut chaque angle d'un triangle équilatéral ?
60
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux. Comme leur somme vaut , chacun vaut . C'est un fait à mémoriser absolument : équilatéral trois angles de . Tu l'utiliseras chaque fois qu'un énoncé te dit « équilatéral » sans donner d'angle.
Un triangle isocèle est un triangle qui a :
B
Par définition, un triangle est isocèle s'il a deux côtés de même longueur. Si tu as répondu A, tu as décrit un triangle équilatéral — qui est un cas particulier d'isocèle, mais pas la définition générale. La réponse C correspond à un triangle rectangle, et la D à un triangle quelconque (scalène).
Quelle affirmation est correcte concernant les triangles équilatéraux et isocèles ?
B
Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux ; donc en particulier deux d'entre eux le sont, ce qui satisfait la définition d'un isocèle. Tout équilatéral est isocèle. L'inverse (réponse A) est faux : un isocèle peut avoir son troisième côté différent. Cette inclusion est très utile : toute propriété valable pour les isocèles s'applique automatiquement aux équilatéraux — c'est un raccourci à connaître.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :
B
L'hypoténuse est par définition le côté opposé à l'angle droit. Conséquence : c'est aussi toujours le plus long des trois côtés (donc l'inverse de la réponse A, qui est un piège fréquent). Si tu as répondu D, retiens : les deux côtés qui forment l'angle droit s'appellent les « côtés de l'angle droit », jamais l'hypoténuse. Tu reverras ce vocabulaire en 4ᵉ avec le théorème de Pythagore — bien le maîtriser dès maintenant te fera gagner un chapitre entier.
Un triangle ABC est isocèle en avec . Combien vaut , en degrés ?
40
Comme le triangle est isocèle en , les deux angles à la base sont égaux : . Par la somme des angles : . Astuce : « isocèle en » signifie que est le sommet principal et que les deux autres angles (à la base) sont égaux entre eux — pas avec un autre.
Sur la figure d'un triangle, deux côtés portent un même petit trait barré. Que signifie ce codage ?
B
Les petits traits barrés identiques sur deux côtés sont la convention universelle pour indiquer l'égalité de longueur. Lecture immédiate : « deux traits identiques = mêmes mesures ». Ce codage te dit instantanément qu'un triangle est isocèle, sans avoir à mesurer. Si tu as répondu C, tu confonds avec le petit carré qui code l'angle droit — autre convention, autre symbole.
Pour construire un triangle dont on connaît les trois longueurs des côtés, quels outils sont nécessaires ?
C
Trois longueurs données → règle (pour tracer le premier côté à la bonne longueur) + compas (pour reporter les deux autres longueurs depuis chaque extrémité, et trouver le troisième sommet à l'intersection des deux arcs). Le rapporteur sert quand on a des angles parmi les données, ce qui n'est pas le cas ici. La règle seule ne suffit pas : sans compas, impossible de reporter une distance précise depuis un point donné.
On peut construire un triangle ABC avec cm, et .
B
La somme des angles d'un triangle vaut . Or , déjà supérieur à . Aucun triangle possible. Au rapporteur, les deux demi-droites tracées en et ne se rencontreraient pas du même côté de : elles divergeraient. Pour que la construction au rapporteur fonctionne, il faut toujours .
La médiatrice d'un segment est :
B
La médiatrice est définie par deux conditions simultanées : être perpendiculaire à ET passer par le milieu de . Si une seule des deux conditions manque, ce n'est pas la médiatrice. La réponse A décrit la droite elle-même. La D décrit un segment des milieux, notion que tu rencontreras en 4ᵉ. Pense bien : « perpendiculaire ET au milieu ».
Tous les points de la médiatrice d'un segment sont à égale distance de et de .
A
C'est la propriété caractéristique de la médiatrice : un point appartient à la médiatrice de si et seulement s'il est équidistant de et de . Cette propriété transforme la médiatrice en outil : si tu cherches « tous les points équidistants de et de », la réponse est exactement la médiatrice — pas plus, pas moins. C'est cette propriété qui justifie l'existence du cercle circonscrit d'un triangle : son centre, équidistant des trois sommets, est à l'intersection des trois médiatrices.
Sur une figure, le triangle DEF porte un petit carré au sommet et deux petits traits identiques sur les côtés et . Que peut-on déduire de cette figure ?
Un triangle a deux côtés de longueurs cm et cm. Quelle est la plus grande valeur entière possible (en cm) pour son troisième côté ?
Un triangle a deux côtés de longueurs cm et cm. Quelle est la plus petite valeur entière possible (en cm) pour son troisième côté ?
Yasmine affirme : « avec trois bouts de bois mesurant cm, cm et cm, je peux fabriquer un triangle. » A-t-elle raison ?
Dans un triangle ABC, laquelle des inégalités suivantes ne traduit pas correctement l'inégalité triangulaire ?
Dans un triangle ABC, l'angle est le double de , et . Combien vaut , en degrés ?
Un triangle ABC a et . Quelle est sa nature la plus précise ?
Un triangle est à la fois rectangle et isocèle. Combien vaut chacun de ses deux angles aigus, en degrés ?
Si un triangle a ses trois angles aigus (strictement inférieurs à ), alors il est nécessairement équilatéral.
Un triangle ABC est isocèle en avec . Combien vaut , en degrés ?
Un triangle ABC a et . Quelle est sa nature la plus précise ?
Un triangle peut être à la fois isocèle et rectangle.
Un triangle équilatéral a un périmètre de cm. Combien mesure chacun de ses côtés, en cm ?
Parmi les triangles suivants, donnés par leurs trois angles, lequel est rectangle ?
Karim affirme : « Un triangle ne peut pas être à la fois isocèle et rectangle. Si tu as un angle droit, tu ne peux pas avoir deux côtés égaux. »
Karim a-t-il raison ? Justifie ta réponse en construisant un contre-exemple précis (avec les trois angles).
On veut construire le triangle ABC tel que cm, et . Quelle est la séquence d'étapes correcte ?
On donne uniquement trois angles dont la somme vaut (par exemple , , ), sans aucune longueur. Combien de triangles différents peut-on construire avec ces trois angles ?
Pour trouver le centre du cercle circonscrit d'un triangle, quelle méthode utilise-t-on ?
Le centre du cercle circonscrit est toujours situé à l'intérieur du triangle.
Salma habite à Casablanca. Elle, son cousin Hicham et son amie Imane vivent dans trois maisons (notées , , ) qui ne sont pas alignées. Ils veulent se retrouver dans un café qui soit à la même distance à vol d'oiseau de leurs trois maisons.
Quel objet géométrique permet de trouver la position du café ? Décris la construction à effectuer sur la carte.
Karim affirme : « Je peux construire un triangle avec des côtés de cm, cm et cm. » A-t-il raison ?
Salma a écrit sur sa copie : « cm ». Où est l'erreur ?
Karim affirme : « La médiatrice du côté passe toujours par le sommet . » A-t-il raison ?
Un triangle ABC a deux côtés connus : cm et cm.
a) Donne un encadrement strict de la longueur : trouve les deux nombres et tels que . b) Combien de valeurs entières (en cm) sont possibles pour ?
Amine veut fabriquer un cadre photo triangulaire. Il a acheté trois baguettes en bois mesurant respectivement cm, cm et cm. Au moment du montage, il se rend compte qu'il n'arrive pas à former un triangle.
a) Justifie mathématiquement pourquoi Amine ne peut pas former un triangle avec ces trois baguettes. b) Amine décide de scier la plus grande baguette pour la raccourcir, sans toucher aux deux autres. Quelle est la longueur maximale (entière, en cm) qu'il peut conserver pour la grande baguette ?
Un triangle isocèle a ses deux côtés égaux qui mesurent cm chacun. Quelle est la longueur entière maximale (en cm) que peut avoir sa base ?
Dans un triangle ABC, on a et . Combien vaut , en degrés ?
Karim affirme : « Si un triangle a un angle de et un angle de , alors c'est forcément un triangle isocèle. » Yasmine répond : « Non, Karim, ce n'est pas vrai dans tous les cas. »
Qui a raison ? Justifie en calculant le troisième angle, et propose un raisonnement complet.
Un triangle ABC est isocèle en avec . Un triangle BCD est isocèle en , et le sommet se trouve à l'extérieur du triangle ABC, du côté opposé à . On donne .
Combien vaut l'angle (l'angle complet au sommet , qui réunit l'angle et l'angle ), en degrés ?
Tout triangle équilatéral est acutangle (c'est-à-dire qu'il a ses trois angles strictement aigus, donc strictement inférieurs à ).
Un triangle ABC est rectangle isocèle en . On donne cm.
a) Donne la valeur de , en justifiant. b) Donne les mesures des trois angles du triangle. c) On note cm. Sans calculer , est-il possible de dire si est strictement plus grand que ? Justifie par l'inégalité triangulaire.
Soit ABC un triangle équilatéral. On note le milieu du côté , et on trace le segment .
a) Quelle est la nature des deux triangles obtenus ( et ) ? b) Quels sont les angles de chacun de ces deux triangles ?
Salma affirme : « Tout triangle qui a deux angles égaux est isocèle, donc tout triangle isocèle a forcément deux côtés de la même longueur et deux angles de la même mesure. »
L'affirmation de Salma est-elle correcte ?
Yasmine veut construire un triangle ABC isocèle en , tel que cm (la base) et cm (un des côtés égaux).
a) Décris précisément la construction au compas, étape par étape. b) Justifie pourquoi le triangle existe (vérifie l'inégalité triangulaire).
On veut construire un triangle ABC tel que cm, et . Que se passe-t-il quand on tente cette construction au rapporteur ?
Quand on construit un triangle ABC à partir de trois longueurs des côtés (avec règle et compas), il existe deux constructions possibles, symétriques par rapport au premier côté tracé.
On dispose d'un segment tracé sur une feuille. On veut construire sa médiatrice uniquement avec un compas et une règle non graduée (donc sans rapporteur, sans équerre, et sans mesurer de longueur).
a) Décris la construction étape par étape. b) Justifie, en une phrase, pourquoi la droite obtenue est bien la médiatrice de (et non une autre droite quelconque).
On considère un triangle ABC rectangle en . Où se trouve le centre du cercle circonscrit à ce triangle ?
Une compagnie de drones veut installer une antenne de relais radio qui couvre simultanément trois villes du Maroc — Casablanca, Rabat et El Jadida — avec la même puissance, donc à la même distance des trois villes.
a) Quel est l'objet géométrique qui correspond à la position de l'antenne ? b) Sur une carte, comment construire concrètement cette position avec une règle et un compas ? c) La position obtenue est-elle nécessairement à l'intérieur du triangle formé par les trois villes ? Justifie.
On considère un triangle équilatéral . On trace les trois médiatrices de ses côtés (la médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté en son milieu). Que peut-on affirmer ?
Yasmine vit dans une maison de Marrakech avec un terrain triangulaire. Les trois bornes du terrain (notées , , ) ont été mesurées par un géomètre : m, m, m.
a) Vérifie que le terrain triangulaire existe bien (inégalité triangulaire). b) Quelle est la nature du triangle formé par les trois angles ? Pour cela, mesure soigneusement les angles sur un croquis à l'échelle cm = m, et déduis-en si le triangle te paraît rectangle, isocèle, équilatéral ou quelconque. c) Yasmine veut planter un arbre équidistant des trois bornes pour le placer en plein milieu visuel de son terrain. Décris où elle doit planter cet arbre.
Amine est apprenti dans une entreprise de télécommunications à Tanger. Il doit dimensionner une structure de soutien triangulaire pour un pylône. Le pylône a une base de mètres, ancrée au sol horizontalement. Le sommet du pylône est relié au sol à chaque extrémité de la base par deux haubans (câbles), tendus de manière à former un triangle isocèle en avec . L'angle au sommet du pylône doit valoir .
a) Calcule les deux angles à la base ( et ). b) Démontre que les deux haubans ont la même longueur (sans calculer cette longueur). c) Vérifie qu'il existe une longueur réelle possible pour ces haubans : c'est-à-dire que le triangle peut bien être construit avec m, , et le triangle isocèle en .
Karim observe un dallage d'une cour à Fès, recouvert entièrement de petits carreaux équilatéraux identiques. Il remarque qu'autour de chaque sommet (point où plusieurs carreaux se rencontrent), il y a toujours exactement six carreaux qui se touchent.
a) Justifie mathématiquement pourquoi il y a exactement six carreaux autour de chaque sommet, et pas un autre nombre. b) Si on remplaçait les carreaux équilatéraux par des carreaux rectangles isocèles (45-45-90), combien y aurait-il de carreaux autour d'un sommet de dallage ? Justifie. c) Pourrait-on paver de la même manière avec des carreaux dont les angles seraient , , ? Pourquoi ?