Les parallélogrammes

Une nouvelle figure : le parallélogramme

Au chapitre précédent, tu as étudié les triangles : trois côtés, trois sommets, et tout ce qui en découle — médiatrices, hauteurs, somme des angles. On passe maintenant au quadrilatère le plus important du programme : celui dont les côtés sont deux à deux parallèles.

Concrètement, dans un quadrilatère $ABCD$, on a deux paires de côtés opposés : $[AB]$ et $[CD]$ d'un côté, $[BC]$ et $[AD]$ de l'autre. La figure est un parallélogramme si et seulement si :

$(AB)\parallel (CD)\text{et}(BC)\parallel (AD)\mathrm{.}$

Une seule paire ne suffit pas : si tu n'as $(AB)\parallel (CD)$ mais pas l'autre paire, tu obtiens un trapèze (que tu étudieras en détail plus tard).

La notation $ABCD$

Quand on parle d'un quadrilatère « $ABCD$ », l'ordre des lettres a un sens précis : on doit pouvoir parcourir la figure de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, puis de $C$ à $D$, puis de $D$ à $A$, en suivant les côtés, sans sauter de sommet. Les côtés sont donc $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. Les diagonales — les segments qui relient deux sommets non consécutifs — sont $[AC]$ et $[BD]$.

Le piège du quadrilatère croisé

Si tu nommes les sommets dans le « mauvais ordre », tu obtiens une figure croisée qui n'est plus un parallélogramme — même si les quatre points sont les bons. Par exemple, si $A$, $B$, $C$, $D$ sont les quatre sommets d'un parallélogramme valide, alors $ABDC$ (avec $D$ et $C$ permutés) trace une figure « papillon » dont deux côtés se croisent. L'ordre des lettres compte.

Les trois grandes propriétés

À partir de la seule définition (côtés opposés parallèles), on peut démontrer trois propriétés importantes. Tu n'as pas à mémoriser les démonstrations en 5ᵉ, mais tu dois connaître les énoncés et savoir les utiliser sans hésiter.

Propriété 1 — Les côtés opposés sont de même longueur

L'intuition est simple : si deux droites parallèles sont coupées par deux autres droites parallèles, elles forment un « ruban » fermé dans lequel les côtés opposés ont nécessairement la même largeur. En 4ᵉ, tu démontreras ce fait proprement avec le théorème de Pythagore et la translation.

Exemple 1. Dans un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB=6$ cm et $BC=4$ cm, on déduit immédiatement que $CD=6$ cm et $AD=4$ cm — sans avoir à mesurer.

Propriété 2 — Les angles opposés sont égaux

La seconde partie découle directement des angles alternes-internes vus au chapitre des angles : deux droites parallèles coupées par une sécante font apparaître des angles égaux, et la somme des deux angles consécutifs « du même côté de la sécante » vaut $180\mathrm{°}$.

Exemple 2. Si dans le parallélogramme $ABCD$ on sait que $\widehat{A}=70\mathrm{°}$, alors :

• $\widehat{C}=70\mathrm{°}$ (angle opposé à $\widehat{A}$)
• $\widehat{B}=180\mathrm{°}-70\mathrm{°}=110\mathrm{°}$ (angle consécutif à $\widehat{A}$)
• $\widehat{D}=110\mathrm{°}$ (angle opposé à $\widehat{B}$)

Avec un seul angle connu, tu connais les quatre.

Propriété 3 — Les diagonales se coupent en leur milieu

Ce point d'intersection $O$ est en réalité le centre de symétrie du parallélogramme : si tu fais tourner la figure de $180\mathrm{°}$ autour de $O$, elle se superpose exactement à elle-même. C'est une propriété très utile, que tu réinvestiras au chapitre des symétries.

Reconnaître un parallélogramme : les caractérisations

Jusqu'ici, chaque propriété part de l'hypothèse « $ABCD$ est un parallélogramme » pour en déduire quelque chose. Mais en pratique, on est souvent dans la situation inverse : on a un quadrilatère sous les yeux et on veut savoir si c'est un parallélogramme, sans pouvoir vérifier directement le parallélisme des côtés.

La question devient : « Quelle propriété, prise en hypothèse, suffit pour conclure qu'on a affaire à un parallélogramme ? » La réponse est précieuse : chacune des trois propriétés ci-dessus marche dans les deux sens. On dit que ce sont des caractérisations.

Tu remarques qu'il n'y a pas de caractérisation par les angles seuls dans cette liste. C'est volontaire : avoir des angles opposés égaux ne suffit pas à conclure si l'on ne précise rien d'autre. La propriété des angles reste utile, mais une fois qu'on sait déjà qu'on a affaire à un parallélogramme.

Comment choisir la bonne caractérisation ?

Tu choisis selon les données dont tu disposes :

• Si tu connais les longueurs des quatre côtés (parce que tu les as mesurées), utilise la caractérisation 2.
• Si tu connais les milieux des diagonales (par exemple parce que ce sont des médianes d'un triangle, comme tu l'as vu au chapitre précédent), utilise la caractérisation 3.
• Si tu sais que des droites sont parallèles (par construction, par hypothèse, ou parce qu'elles sont perpendiculaires à une même droite), reviens à la définition.

Exemple 3. Soit $ABCD$ un quadrilatère tel que $AB=5$ cm, $BC=3$ cm, $CD=5$ cm et $AD=3$ cm. Les côtés opposés sont deux à deux égaux ; donc, par la caractérisation 2, $ABCD$ est un parallélogramme.

Exemple 4. Soit $ABCD$ un quadrilatère tel que ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en un point $O$ avec $OA=OC$ et $OB=OD$. Le point $O$ est milieu des deux diagonales ; donc, par la caractérisation 3, $ABCD$ est un parallélogramme.

Rectangle, losange, carré : la famille

Tous les parallélogrammes ne se ressemblent pas. Trois cas particuliers reviennent constamment, parce qu'ils correspondent à des situations naturelles : objets droits (rectangles), objets symétriques (losanges), objets parfaits (carrés).

Le rectangle

Comme il s'agit d'un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et les angles consécutifs sont supplémentaires. Donc, dès qu'un seul angle vaut $90\mathrm{°}$, tous les autres valent $90\mathrm{°}$. C'est pour cela qu'on dit aussi : « un rectangle est un quadrilatère à quatre angles droits ».

Le rectangle hérite de toutes les propriétés du parallélogramme et en gagne une nouvelle :

Caractérisations du rectangle. Un parallélogramme $ABCD$ est un rectangle si et seulement si :

1. il a (au moins) un angle droit ;
2. ou bien ses diagonales sont de même longueur.

Le losange

Comme il s'agit d'un parallélogramme, on sait déjà que les côtés opposés sont égaux. Imposer que les quatre côtés soient égaux ajoute la contrainte que deux côtés consécutifs aussi soient de même longueur.

Le losange aussi gagne une propriété :

Caractérisations du losange. Un parallélogramme $ABCD$ est un losange si et seulement si :

1. ses quatre côtés sont égaux (deux côtés consécutifs égaux suffisent dans un parallélogramme) ;
2. ou bien ses diagonales sont perpendiculaires.

Le carré

Un carré combine donc toutes les propriétés des deux familles précédentes :

• quatre angles droits (héritage du rectangle) ;
• quatre côtés égaux (héritage du losange) ;
• diagonales de même longueur (héritage du rectangle) ;
• diagonales perpendiculaires entre elles (héritage du losange) ;
• diagonales qui se coupent en leur milieu (héritage commun du parallélogramme).

C'est la figure la plus régulière de la famille — et donc la plus rare en pratique.

Le piège de la confusion losange / rectangle

Beaucoup d'élèves voient un losange « en pointe » (avec une diagonale verticale) et le confondent avec un cerf-volant ou un trapèze. Inversement, un rectangle « en biais » (penché de quelques degrés sur la feuille) peut être confondu avec un parallélogramme quelconque. Ce qui définit la figure, ce sont ses propriétés, pas son orientation sur la feuille. Un losange tourné de $30\mathrm{°}$ reste un losange.

L'aire d'un parallélogramme : base × hauteur

Tu connais déjà l'aire du rectangle : longueur × largeur. Pour un parallélogramme quelconque, la formule est presque la même — à condition de définir précisément ce qu'on appelle « hauteur ».

La hauteur n'est donc pas un côté du parallélogramme (sauf dans le cas particulier du rectangle). C'est un segment perpendiculaire qui « traverse » la figure. Tu peux le tracer en n'importe quel point de la base — la distance est la même partout, puisque les deux côtés opposés sont parallèles.

Pourquoi cette formule ? L'idée du « triangle qu'on déplace »

L'idée pour comprendre la formule est élégante : on transforme le parallélogramme en rectangle de même aire, en déplaçant un triangle.

Imagine un parallélogramme $ABCD$ posé sur sa base $[AB]$. Le côté oblique de gauche, $[AD]$, descend en biais. Si tu coupes le triangle rectangle formé entre $A$, $D$ et le pied de la hauteur issue de $D$, et que tu le déplaces à droite contre $[BC]$, tu obtiens un rectangle parfait, de même longueur $b$ que la base et de même hauteur $h$. L'aire n'a pas changé — on a juste déplacé un morceau. Donc :

${\mathcal{A}}_{\text{parall}\acute{\text{e}}\text{logramme}}={\mathcal{A}}_{\text{rectangle}}=b\times h\mathrm{.}$

Exemple 5. Un parallélogramme a une base de $8$ cm et une hauteur associée de $5$ cm. Son aire vaut :

$\mathcal{A}=8\times 5=40{\text{ cm}}^2\mathrm{.}$

Cas particuliers

• Rectangle. La hauteur coïncide avec un côté ; on retrouve la formule habituelle longueur × largeur.
• Losange. Au-delà de la formule générale base × hauteur, on dispose d'une seconde formule très pratique : ${\mathcal{A}}_{\text{losange}}={\displaystyle \frac{D\times d}{2}},$ où $D$ et $d$ sont les longueurs des deux diagonales. Tu démontreras cette formule en 4ᵉ avec Pythagore.
• Carré. C'est un cas particulier des deux précédents ; aire $=c^2$, où $c$ est la longueur du côté.

Le piège de la mauvaise hauteur

L'erreur la plus fréquente est de prendre la longueur du côté oblique comme « hauteur ». Faux. La hauteur est toujours perpendiculaire à la base, donc strictement plus courte que le côté oblique (sauf dans le cas dégénéré du rectangle, où ils coïncident). Si on te donne uniquement les longueurs des côtés sans aucune indication d'angle ni de hauteur, tu n'as pas assez d'informations pour calculer l'aire.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre « parallélogramme » et « trapèze ». Un trapèze a une seule paire de côtés parallèles. Un parallélogramme en a deux. Tout parallélogramme est donc un trapèze (au sens large), mais l'inverse est faux. En contrôle, ne réponds jamais « parallélogramme » sans avoir vérifié les deux paires.

Piège 2 : croire que l'égalité des angles opposés caractérise le parallélogramme. Avoir $\widehat{A}=\widehat{C}$ et $\widehat{B}=\widehat{D}$ dans un quadrilatère convexe ne suffit pas, dans le programme de 5ᵉ, pour conclure qu'on a un parallélogramme : il manque toujours une vérification de longueur ou de parallélisme. Reviens aux trois caractérisations officielles : parallélisme des côtés opposés, égalité des longueurs opposées, ou diagonales qui se coupent en leur milieu.

Piège 3 : confondre la diagonale et la hauteur dans le calcul d'aire. La diagonale d'un parallélogramme n'a en général rien à voir avec sa hauteur. La formule $\mathcal{A}=b\times h$ utilise une hauteur perpendiculaire à la base, pas une diagonale. Le seul cas où la diagonale intervient directement dans la formule de l'aire est le losange, avec $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{D\times d}{2}}$.

Piège 4 : penser qu'un losange est forcément « en pointe ». Un losange dont une diagonale est horizontale et l'autre verticale (en « diamant ») n'est pas plus losange qu'un autre. L'orientation sur la feuille ne change pas la nature géométrique d'une figure. Un losange tourné de $45\mathrm{°}$ peut visuellement ressembler à un carré sans en être un — vérifie toujours les angles ou les diagonales avant de conclure.

Piège 5 : oublier qu'un carré est aussi un rectangle (et un losange). Quand on te demande « cette figure est-elle un rectangle ? » et que tu vois un carré, la réponse est oui — un carré est un cas particulier de rectangle. La famille fonctionne par inclusion : carré ⊂ rectangle, carré ⊂ losange, rectangle ⊂ parallélogramme, losange ⊂ parallélogramme. Ce genre de question piège revient souvent en QCM.

Piège 6 : nommer les sommets dans le mauvais ordre. Si tu écris « $ABDC$ » au lieu de « $ABCD$ », tu décris une figure croisée, pas un parallélogramme. Quand tu nommes un quadrilatère, parcours toujours les sommets dans l'ordre, en suivant les côtés — sens horaire ou anti-horaire, peu importe, mais sans sauter de sommet.

Application concrète

Le grand-père de Yasmine possède une parcelle de terre à Tafraout, dans l'Anti-Atlas, qu'il veut clôturer pour y planter des amandiers. Le terrain n'est pas rectangulaire — comme souvent dans les zones de montagne, le cadastre a suivi les pentes naturelles, et la parcelle a la forme d'un quadrilatère $ABCD$ que le grand-père soupçonne être un parallélogramme. Yasmine, armée de son cours de 5ᵉ, vient l'aider à vérifier et à chiffrer le projet.

Étape 1 — Mesurer et identifier la forme. Yasmine mesure chaque côté du terrain au décamètre. Elle trouve : $AB=30$ m, $BC=22$ m, $CD=30$ m, $AD=22$ m. Les côtés opposés sont deux à deux de même longueur. Par la caractérisation par les longueurs, le terrain est bel et bien un parallélogramme. Karim, son cousin, suggère : « Donc c'est un rectangle ! » Yasmine le corrige : il faudrait vérifier qu'un angle est droit pour conclure cela. Sans cette information supplémentaire, on a seulement un parallélogramme général.

Étape 2 — Vérifier qu'il ne s'agit pas d'un cas particulier. Yasmine vérifie l'angle $\widehat{A}$ avec une grande équerre adossée à un poteau-borne : il vaut environ $75\mathrm{°}$. Donc $ABCD$ n'est pas un rectangle. Les quatre côtés ne sont pas tous égaux ($30\mathrm{\ne }22$), donc ce n'est pas non plus un losange. Conclusion : c'est un parallélogramme « ordinaire », sans cas particulier.

Étape 3 — Calculer le périmètre pour la clôture. Le périmètre d'un parallélogramme se calcule en additionnant les quatre côtés. Comme les côtés opposés sont égaux deux à deux, on peut écrire :

$\mathcal{P}=2\times (AB+BC)=2\times (30+22)=2\times 52=104\text{ m}\mathrm{.}$

À $45$ dh le mètre de grillage installé, la clôture coûtera $104\times 45=4680$ dh.

Étape 4 — Calculer l'aire pour estimer la production. Pour calculer l'aire, Yasmine prend $[AB]$ comme base et mesure la hauteur perpendiculaire entre $(AB)$ et $(CD)$. Elle obtient $h=\mathrm{21,3}$ m (un peu moins que $BC=22$ m, ce qui est cohérent avec un angle de $75\mathrm{°}$ : la hauteur est plus courte que le côté oblique, comme prévu). L'aire vaut donc :

$\mathcal{A}=b\times h=30\times \mathrm{21,3}=639{\text{ m}}^2\mathrm{.}$

Étape 5 — Conclure et budgéter la plantation. Avec une densité moyenne de $40$ amandiers par $1000$ m², la parcelle peut accueillir environ $639\times {\displaystyle \frac{40}{1000}}\approx 25$ amandiers. Le grand-père peut commander ses plants en connaissance de cause. La même méthode fonctionnera sur n'importe quelle parcelle ayant la forme d'un parallélogramme — et cette formule « base × hauteur », tu la réutiliseras en 4e et au lycée, dès que tu calculeras des aires en géométrie.

À retenir