63 exercices pour t'entraîner sur Les parallélogrammes en 5ᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
Quelle est la définition d'un parallélogramme ?
B
Un parallélogramme est défini par deux paires de côtés parallèles. Si tu as répondu A, tu as confondu avec le losange (côtés égaux). Si tu as répondu D, tu as décrit un trapèze : il suffit d'une seule paire de côtés parallèles pour avoir un trapèze, mais il en faut deux pour un parallélogramme. Réflexe : « parallélo-gramme » → « parallèles ».
Un quadrilatère qui a une seule paire de côtés parallèles est un parallélogramme.
B
C'est faux. Une seule paire de côtés parallèles définit un trapèze, pas un parallélogramme. Pour avoir un parallélogramme, il faut que les deux paires de côtés opposés soient parallèles. Tout parallélogramme est donc un trapèze (au sens large), mais l'inverse n'est pas vrai.
Dans le parallélogramme , quel côté est opposé à ?
C
Dans un quadrilatère , les côtés sont parcourus dans l'ordre : , , , . Les côtés opposés sont ceux qui ne se touchent pas, donc et d'une part, et d'autre part. Si tu as répondu A ou B, tu as donné un côté consécutif à (qui partage un sommet avec lui) ; si tu as répondu D, tu as donné une diagonale, pas un côté.
Quelles sont les deux diagonales du parallélogramme ?
B
Une diagonale relie deux sommets non consécutifs. Dans , les paires de sommets non consécutifs sont et ; les diagonales sont donc et . Les options A et C donnent au contraire des côtés (sommets consécutifs). Astuce : dans un quadrilatère, il y a toujours exactement 2 diagonales.
Dans un parallélogramme , on a cm. Combien vaut , en cm ?
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Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. Or et sont des côtés opposés, donc cm. Pas besoin de mesurer ni de calculer : la propriété donne le résultat directement.
Dans un parallélogramme , on a cm. Combien vaut , en cm ?
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et sont des côtés opposés du parallélogramme, donc ils ont la même longueur : cm. Si tu as cherché à appliquer un autre théorème, tu es allé trop loin — la propriété « côtés opposés égaux » donne la réponse en une ligne.
Dans un parallélogramme , on a . Combien vaut , en degrés ?
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Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux. Or et sont opposés, donc . Attention à ne pas confondre avec les angles consécutifs (qui, eux, sont supplémentaires : leur somme vaut ).
Dans un parallélogramme , on a . Combien vaut , en degrés ?
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et sont des angles consécutifs (ils partagent le sommet ne suffit pas à les rendre opposés — il faut deux sommets « éloignés »). Or, dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires : leur somme vaut . Donc . Si tu as répondu 80, tu as confondu avec un angle opposé ; les angles opposés à sont (égal à 80°), pas .
Dans un parallélogramme, les deux diagonales se coupent en leur milieu.
A
C'est l'une des trois grandes propriétés du parallélogramme : ses diagonales se coupent en un point qui est le milieu de chacune. Autrement dit, est à la fois milieu de et milieu de . Ce point d'intersection est aussi le centre de symétrie de la figure — tu réinvestiras cela au chapitre des symétries.
Dans un parallélogramme, le point d'intersection des deux diagonales est :
B
Le point où se croisent les deux diagonales est le milieu de chacune (propriété démontrable à partir de la définition) et c'est aussi le centre de symétrie du parallélogramme : faire tourner la figure de autour de la laisse identique à elle-même. Si tu as répondu D, attention à ne pas confondre avec les hauteurs, qui n'ont rien à voir avec l'intersection des diagonales.
Pour démontrer qu'un quadrilatère non croisé est un parallélogramme, laquelle des propriétés suivantes suffit à elle seule ?
B
Les trois caractérisations officielles du parallélogramme sont : (1) côtés opposés parallèles deux à deux, (2) côtés opposés de même longueur deux à deux, (3) diagonales qui se coupent en leur milieu. La réponse C définit un trapèze, pas un parallélogramme. La réponse D caractérise un losange (parmi les parallélogrammes), pas un parallélogramme quelconque. La réponse A est vraie pour tout parallélogramme, mais ne suffit pas dans le sens inverse.
D'après le programme de 5ᵉ, le seul fait que les angles opposés d'un quadrilatère soient égaux deux à deux suffit à conclure que c'est un parallélogramme.
B
C'est faux dans le programme de 5ᵉ. Les trois caractérisations officielles sont : parallélisme des côtés opposés, égalité des longueurs opposées, ou diagonales qui se coupent en leur milieu. L'égalité des angles opposés est une conséquence d'être un parallélogramme, mais elle n'est pas listée comme caractérisation suffisante à ce niveau. Pour conclure qu'un quadrilatère est un parallélogramme, vérifie toujours l'une des trois caractérisations officielles.
Parmi les propriétés suivantes, laquelle n'est pas une caractérisation officielle du parallélogramme dans le programme de 5ᵉ ?
D
Les caractérisations officielles sont A, B et C. La propriété D est bien vraie pour tout parallélogramme, mais elle ne figure pas dans la liste des caractérisations qui permettent de conclure qu'un quadrilatère est un parallélogramme dans le sens inverse. Garde en tête : caractérisation = propriété qui marche dans les deux sens.
Quelle est la définition d'un rectangle ?
B
Un rectangle est un parallélogramme avec un angle droit. Comme dans un parallélogramme les angles consécutifs sont supplémentaires et les opposés égaux, dès qu'un angle vaut , les quatre valent . Si tu as répondu A, tu as décrit un losange. Si tu as répondu C, tu as donné une caractérisation du losange, pas du rectangle.
Quelle est la définition d'un losange ?
B
Un losange est un parallélogramme avec quatre côtés égaux. Si tu as répondu A, tu as décrit un rectangle. Si tu as répondu D, tu as décrit un trapèze. Réflexe visuel : un losange « régulier » est ce qu'on appelle souvent un « diamant », mais attention — l'orientation sur la feuille ne change pas la nature de la figure : un losange tourné reste un losange.
Tout carré est un rectangle.
A
C'est vrai. Un carré est un parallélogramme à la fois rectangle (il a quatre angles droits) et losange (il a quatre côtés égaux). Donc, par définition, un carré est un cas particulier de rectangle. La hiérarchie est : carré ⊂ rectangle ⊂ parallélogramme. Cette question piège revient souvent en QCM : ne réponds jamais « non » à « est-ce un rectangle ? » devant un carré.
Tout carré est un losange.
A
C'est vrai. Le carré a ses quatre côtés égaux (puisqu'ils sont tous de la même longueur), donc il vérifie la définition du losange. La hiérarchie complète est : carré ⊂ rectangle ⊂ parallélogramme et carré ⊂ losange ⊂ parallélogramme. Le carré est l'intersection des deux familles : il est à la fois rectangle et losange.
Quelle propriété est spécifique au losange (parmi les parallélogrammes quelconques) ?
C
Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires — c'est la propriété qui le distingue des autres parallélogrammes. Les options B et D sont vraies pour tout parallélogramme, donc pas spécifiques. La A caractérise plutôt le rectangle (diagonales de même longueur). Le carré, qui est à la fois rectangle et losange, possède toutes ces propriétés à la fois.
Un parallélogramme a une base de cm et une hauteur associée de cm. Quelle est son aire, en cm² ?
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L'aire d'un parallélogramme est , où est la base choisie et la hauteur perpendiculaire associée. Ici : cm². Attention à toujours vérifier que est bien la hauteur perpendiculaire entre la base et le côté opposé — pas la longueur du côté oblique.
Dans un parallélogramme quelconque, la « hauteur » utilisée dans la formule est la longueur du côté oblique.
B
C'est faux, et c'est l'erreur la plus fréquente. La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé qui lui est parallèle — pas la longueur du côté oblique. Sauf dans le cas particulier du rectangle (où la hauteur coïncide avec un côté), la hauteur est strictement plus courte que le côté oblique. Si on te donne uniquement les longueurs des côtés sans indication d'angle ni de hauteur, tu n'as pas assez d'informations pour calculer l'aire d'un parallélogramme.
Lequel des quadrilatères suivants est assurément un parallélogramme ?
Dans un parallélogramme , on a cm et cm. Quel est son périmètre, en cm ?
Dans un parallélogramme , on sait que . Quels sont les valeurs de , et ?
Dans un parallélogramme , on a . Combien vaut , en degrés ?
Karim affirme : « Dans un quadrilatère , dès que , on est sûr que est un parallélogramme. » A-t-il raison ?
Dans un parallélogramme , les diagonales se coupent en . On a cm. Combien vaut , en cm ?
Dans un parallélogramme , les diagonales se coupent en . On a cm. Combien vaut , en cm ?
Tu disposes d'un quadrilatère et tu as mesuré au double-décimètre les quatre côtés : tu trouves cm et cm. Quelle caractérisation est la plus efficace pour conclure que est un parallélogramme ?
Si dans un quadrilatère non croisé, les deux diagonales se coupent en leur milieu, alors on peut affirmer que est un parallélogramme.
Salma vient de mesurer les quatre angles d'un quadrilatère : elle obtient et . Elle conclut : « C'est un parallélogramme, parce que les angles opposés sont égaux. » Que lui réponds-tu ?
Tout rectangle est un parallélogramme.
Dans un losange, les deux diagonales ont toujours la même longueur.
Quelle figure a forcément ses quatre côtés égaux ET ses quatre angles droits ?
Un parallélogramme a une base de cm et une hauteur associée de cm. Le côté oblique mesure cm. Quelle est son aire, en cm² ?
Un losange a ses deux diagonales de longueur cm et cm. Quelle est son aire, en cm² ?
est un rectangle dont la diagonale mesure cm. Que vaut la diagonale , et pourquoi ?
Un parallélogramme dont les diagonales sont à la fois perpendiculaires et de même longueur est nécessairement un carré.
Yasmine veut peindre une porte décorative qui a la forme d'un parallélogramme penché : sa base mesure cm et la hauteur perpendiculaire entre la base et le côté opposé mesure cm. Quelle est la surface à peindre ?
On te donne uniquement les longueurs des deux diagonales d'un parallélogramme quelconque (sans préciser sa nature). Peux-tu calculer son aire ?
Karim affirme : « Dans un losange, les deux diagonales sont aussi des axes de symétrie de la figure. » Que dois-tu lui répondre ?
Karim place quatre points et écrit son quadrilatère « ». Il dit : « C'est le même que , juste les lettres dans un autre ordre. » A-t-il raison ?
Salma calcule l'aire d'un parallélogramme de base cm. Elle prend la diagonale, qui mesure cm, et écrit : « Aire cm². » Que lui réponds-tu ?
Karim voit un losange posé « en diamant », une diagonale verticale et l'autre horizontale. Il affirme : « Comme il est droit sur la pointe, c'est forcément un carré. » A-t-il raison ?
Dans un quadrilatère non croisé, on a vérifié les deux faits suivants :
Karim affirme : « Ces deux conditions ne suffisent pas à conclure que est un parallélogramme. » A-t-il raison ?
Soit un triangle quelconque et un point du plan. On note le milieu de . Si est aussi le milieu de , alors est un parallélogramme.
Salma soutient : « Si dans un quadrilatère on a , alors est un parallélogramme. » Pour la convaincre du contraire, quel contre-exemple est le plus pertinent ?
On te donne un quadrilatère non croisé. Parmi les listes suivantes, laquelle suffit à elle seule à prouver que est un parallélogramme avec un raisonnement minimal ?
Un losange a un côté de cm, et l'une de ses diagonales mesure cm.
Calcule son périmètre, en cm.
Tout rectangle est un losange.
Soit un parallélogramme tel que . Que peux-tu en conclure ?
Un parallélogramme à la fois losange et rectangle est nécessairement un carré.
Un parallélogramme a pour base cm. Sa hauteur perpendiculaire associée vaut cm. La diagonale mesure cm. Quelle est l'aire de , en cm² ?
Un parallélogramme a une aire de cm² et une base de cm. Quelle est sa hauteur, en cm ?
Un losange a une aire de cm² et l'une de ses diagonales mesure cm. Quelle est la longueur de la deuxième diagonale, en cm ?
Un rectangle de dimensions cm × cm et un parallélogramme de base cm et de hauteur cm ont :
Deux parallélogrammes qui ont la même base et la même hauteur associée ont nécessairement la même aire, même s'ils n'ont pas la même forme.
Si tu doubles la base d'un parallélogramme et que tu gardes la même hauteur perpendiculaire, son aire :
Yasmine est au souk de Marrakech et négocie un tapis berbère qui a la forme d'un parallélogramme penché : sa base mesure m et la hauteur perpendiculaire associée mesure m. Le marchand lui annonce un prix de dh par mètre carré.
a) Calcule l'aire du tapis, en m². b) Calcule le prix demandé par le marchand. c) Yasmine voit ailleurs un tapis rectangulaire de mêmes dimensions ( m × m) vendu à dh. Lequel des deux est le moins cher au mètre carré ?
Amine veut carreler le sol de sa cuisine, qui a la forme d'un rectangle de m × m. Il choisit des carreaux en losange dont les diagonales mesurent cm et cm.
a) Calcule l'aire d'un carreau, en cm². b) Convertis l'aire totale de la cuisine en cm². c) Combien de carreaux Amine doit-il acheter au minimum (en supposant qu'il n'y a aucune perte à la coupe) ? d) En réalité, le poseur conseille toujours d'ajouter de carreaux supplémentaires pour compenser la casse et les coupes. Combien de carreaux Amine doit-il finalement commander ?
Salma regarde la carte cadastrale d'une parcelle agricole près de Meknès. La parcelle est représentée par un quadrilatère avec :
Salma s'écrie : « C'est un rectangle, parce que les côtés opposés sont égaux ! »
a) Salma a-t-elle raison de conclure « parallélogramme » à partir de ces mesures ? b) Salma a-t-elle raison de conclure « rectangle » ? c) Quelles informations supplémentaires faudrait-il pour confirmer (ou infirmer) que c'est un rectangle ?
On peut paver entièrement un sol (sans trou ni recouvrement) avec des copies d'un même parallélogramme quelconque, par simples translations.
Un parallélogramme a une base de cm et une hauteur associée égale aux de la base. Quelle est son aire, en cm² ?
Un losange a ses deux diagonales de longueur cm et cm. En 4ᵉ, tu sauras que le côté du losange mesure exactement cm (grâce au théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les demi-diagonales). En attendant, parmi les affirmations suivantes, laquelle est certainement vraie dès la 5ᵉ, sans avoir besoin de Pythagore ?