Les symétries

La symétrie axiale : quand une droite joue le rôle de miroir

Imagine une feuille de papier pliée le long d'une droite. Si un point $A$ de la feuille coïncide exactement avec un point $A^{\mathrm{\prime }}$ après le pli, on dit que $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$ sont symétriques par rapport à cette droite. La droite s'appelle l'axe de symétrie.

Deux cas particuliers importants :

• si $A$ est sur $d$, alors $A^{\mathrm{\prime }}=A$ : un point de l'axe est son propre symétrique ;
• si $A$ n'est pas sur $d$, alors $A^{\mathrm{\prime }}$ est de l'autre côté de $d$, à la même distance.

Comment trouver le symétrique d'un point : la méthode

Pour construire $A^{\mathrm{\prime }}$, le symétrique de $A$ par rapport à une droite $d$ :

Étape 1. Trace la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ (à l'équerre ou au compas). Appelle $I$ son pied, c'est-à-dire le point d'intersection avec $d$.

Étape 2. Reporte la distance $AI$ de l'autre côté de $I$ sur cette perpendiculaire : $I{A}^{\mathrm{\prime }}=IA$.

Le point $A^{\mathrm{\prime }}$ obtenu est le symétrique de $A$.

Exemple 1. Sur du papier quadrillé, $A$ a pour coordonnées $(1;3)$ et l'axe $d$ est la droite verticale d'équation $x=4$. Le pied de la perpendiculaire depuis $A$ est $I(4;3)$. On a $AI=3$ unités. Le symétrique est donc $A^{\mathrm{\prime }}(7;3)$ (on reporte 3 unités à droite de $I$).

Exemple 2. $A(2;1)$, axe $d$ : l'axe des ordonnées ($x=0$). Le pied est $I(0;1)$, $AI=2$. Le symétrique est $A^{\mathrm{\prime }}(-2;1)$. Retiens : la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées change le signe de l'abscisse et laisse l'ordonnée inchangée.

Le piège de l'axe oblique

Quand l'axe $d$ n'est pas horizontal ou vertical, la tentation est de compter des cases « parallèlement » à $d$. C'est faux. La perpendiculaire à $d$ n'est pas forcément horizontale ou verticale. La bonne démarche reste toujours : tracer la perpendiculaire à $d$, trouver $I$, reporter la distance. Ne jamais « déplacer en diagonale » sans vérifier la perpendicularité.

Construire le symétrique d'une figure

Le symétrique d'une figure (segment, triangle, polygone) s'obtient en prenant le symétrique de chacun de ses points. En pratique, il suffit de prendre le symétrique des points clés (sommets, extrémités) puis de les relier dans le même ordre.

Méthode. Pour construire le symétrique d'un polygone par rapport à $d$ :

1. construire le symétrique de chaque sommet ;
2. relier les images dans le même ordre que les sommets d'origine.

Exemple. Triangle $ABC$ avec $A(1;4)$, $B(3;1)$, $C(5;3)$, axe $d$ : droite $x=6$.

• $A^{\mathrm{\prime }}=(11;4)$ car $I_A=(6;4)$ et $A{I}_A=5$, donc $I_A{A}^{\mathrm{\prime }}=5$ ;
• $B^{\mathrm{\prime }}=(9;1)$ car $I_B=(6;1)$ et $B{I}_B=3$, donc $I_B{B}^{\mathrm{\prime }}=3$ ;
• $C^{\mathrm{\prime }}=(7;3)$ car $I_C=(6;3)$ et $C{I}_C=1$, donc $I_C{C}^{\mathrm{\prime }}=1$.

On relie $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ dans l'ordre : le triangle image est bien formé.

Axe de symétrie d'une figure

Une figure a un axe de symétrie si elle coïncide avec elle-même après la symétrie par rapport à cet axe. Autrement dit : plier la figure le long de cet axe fait coïncider les deux moitiés exactement.

Exemples courants :

• un triangle isocèle a exactement 1 axe de symétrie : la médiatrice de sa base ;
• un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie ;
• un rectangle non carré a 2 axes de symétrie (les deux médiatrices des côtés) ;
• un losange non carré a 2 axes de symétrie (les deux diagonales) ;
• un carré a 4 axes de symétrie (les deux médiatrices et les deux diagonales) ;
• un cercle a une infinité d'axes de symétrie : tout diamètre en est un.

Propriétés de la symétrie axiale

La symétrie axiale est une isométrie : elle conserve toutes les mesures. Ce résultat est fondamental et se retrouve dans de nombreuses démonstrations.

En particulier, le symétrique d'un segment est un segment de même longueur, le symétrique d'un triangle est un triangle qui lui est superposable.

Ce que la symétrie ne conserve pas

La symétrie axiale retourne la figure : elle change l'orientation. Si tu parcours un triangle $ABC$ dans le sens direct (antihoraire), son image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ se parcourt dans le sens indirect (horaire). Pour les figures sans orientation marquée (segments, cercles), ça n'a pas d'importance. Pour les triangles et polygones orientés, c'est une différence notable.

Exemple. Un « R » majuscule et son symétrique par rapport à un axe vertical donnent un « Я » — la lettre est une image miroir, pas la même lettre. C'est la conservation des longueurs et des angles, mais le retournement change l'aspect.

La médiatrice comme axe de symétrie d'un segment

Voici un résultat élégant : la médiatrice d'un segment $[AB]$ est exactement l'axe de symétrie qui envoie $A$ sur $B$ et $B$ sur $A$. Tu l'as déjà vu sous un autre angle au chapitre des triangles (la médiatrice est le lieu des points équidistants de $A$ et $B$). C'est la même idée, exprimée différemment.

La symétrie centrale : tourner autour d'un point

La symétrie centrale est une transformation différente : au lieu d'un axe miroir, on a un point pivot. On « retourne » la figure à 180° autour de ce point.

Autrement dit : $O$ est exactement à mi-chemin entre $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$. En 2nde, tu apprendras à écrire cette idée avec des vecteurs : $\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=-\overrightarrow{OA}$.

Comment trouver le symétrique par rapport à un point

Sur papier quadrillé (méthode des déplacements). Pour aller de $O$ à $A$, on se déplace de $\mathrm{\Delta }x$ cases horizontalement et $\mathrm{\Delta }y$ cases verticalement. Pour trouver $A^{\mathrm{\prime }}$, on repart de $O$ en faisant exactement l'opposé : $-\mathrm{\Delta }x$ horizontalement et $-\mathrm{\Delta }y$ verticalement.

Formule en coordonnées. Si $O(x_O;y_O)$ et $A(x_A;y_A)$, alors $A^{\mathrm{\prime }}$ a pour coordonnées :

$A^{\mathrm{\prime }}(2x_O-x_A;2y_O-y_A)$

(car $O$ est le milieu de $[A{A}^{\mathrm{\prime }}]$, donc $x_O={\displaystyle \frac{x_A+x^{\mathrm{\prime }}}{2}}$, d'où $x^{\mathrm{\prime }}=2x_O-x_A$).

Exemple 1. $O(0;0)$, $A(3;-2)$. Le symétrique de $A$ par rapport à $O$ est $A^{\mathrm{\prime }}(-3;2)$ : on change les deux signes (symétrie par rapport à l'origine).

Exemple 2. $O(2;1)$, $B(5;4)$. Alors $B^{\mathrm{\prime }}(2\times 2-5;2\times 1-4)=B^{\mathrm{\prime }}(-1;-2)$.

Le piège entre symétrie axiale et symétrie centrale

Ce sont deux transformations distinctes. Dans la symétrie axiale, l'axe est une droite et on cherche un point de l'autre côté de cette droite. Dans la symétrie centrale, le centre est un point et on cherche un point « à l'opposé ». Une erreur fréquente : traiter un axe comme un centre ou inversement. Mémo : axe = droite, centre = point.

Figures ayant un centre de symétrie

Une figure a un centre de symétrie si elle coïncide avec elle-même après la symétrie par rapport à ce point. Autrement dit : tourner la figure de 180° autour de ce point la laisse inchangée.

Figures avec un centre de symétrie :

• le parallélogramme : son centre de symétrie est le point d'intersection de ses diagonales (tu l'as démontré au chapitre précédent, sur les parallélogrammes) ;
• le rectangle, le losange, le carré (cas particuliers du parallélogramme) : même centre ;
• le cercle : son centre est centre de symétrie ;
• le segment $[AB]$ : son milieu est centre de symétrie.

Figures sans centre de symétrie :

• un triangle, quel qu'il soit — même équilatéral — n'a pas de centre de symétrie : une rotation de 180° envoie toujours un sommet là où il n'y en a pas.

Lien entre symétrie axiale et symétrie centrale

Ce ne sont pas les mêmes transformations, mais elles peuvent coexister. Le carré a à la fois 4 axes de symétrie et un centre de symétrie. Le rectangle non carré a 2 axes de symétrie et un centre de symétrie. Le losange non carré a 2 axes de symétrie (ses diagonales) et un centre de symétrie. En revanche, un triangle isocèle non équilatéral a 1 axe de symétrie mais pas de centre de symétrie.

Pièges classiques

1. Confondre axe et centre. La symétrie axiale utilise une droite comme référence, la symétrie centrale utilise un point. Ce ne sont pas deux noms pour la même chose.

2. Croire que tout axe de symétrie passe par le centre d'une figure. C'est vrai pour les figures régulières (carré, losange, rectangle), mais c'est une propriété de ces figures particulières, pas une règle générale.

3. Penser qu'un triangle a toujours un axe de symétrie. Un triangle quelconque (scalène) n'a aucun axe de symétrie. Seul le triangle isocèle (au moins deux côtés égaux) en a un, et le triangle équilatéral en a trois.

4. Croire qu'une figure avec un centre de symétrie a forcément des axes. Un parallélogramme quelconque (non rectangle, non losange) a un centre de symétrie mais aucun axe.

5. Oublier que les longueurs et angles sont conservés. Après une symétrie (axiale ou centrale), la figure image est superposable à la figure d'origine : mêmes longueurs, mêmes angles. Si tu obtiens une figure déformée, il y a une erreur de construction.

6. Sur papier quadrillé, déplacer « en diagonale » quand l'axe est oblique. La perpendiculaire à un axe oblique n'est pas une ligne de cases : elle doit être tracée à l'équerre. Sur quadrillé, si l'axe est oblique à 45°, la perpendiculaire l'est aussi à 45°, et le décompte de cases change de direction.

Application concrète

Salma visite avec sa classe le musée Dar Si Saïd à Marrakech. Dans la salle principale, un grand panneau en bois sculpté attire son attention : un motif géométrique répété en bandeau sur toute la hauteur du mur. Elle sort son carnet et décide d'analyser mathématiquement ce qu'elle voit.

Le motif de base est un losange $ABCD$ avec $A(0;2)$, $B(2;0)$, $C(4;2)$, $D(2;4)$. Le bandeau est obtenu en répétant ce motif vers la droite, mais Salma réalise qu'il y a en fait deux opérations différentes à l'œuvre.

Étape 1 — Identifier l'axe de symétrie du losange de base. Salma commence par chercher les axes de symétrie du losange $ABCD$ lui-même. Elle trace les diagonales : $[AC]$ horizontale et $[BD]$ verticale. Elle vérifie que $[AC]$ est bien un axe de symétrie en cherchant le symétrique de $B(2;0)$ par rapport à la droite $y=2$ (qui contient $[AC]$).

Le pied de la perpendiculaire depuis $B$ vers la droite $y=2$ est $I(2;2)$. La distance $BI=2$, donc le symétrique de $B$ est $B^{\mathrm{\prime }}(2;4)=D$. De même, le symétrique de $D$ est $B$. L'axe $y=2$ échange bien $B$ et $D$, et laisse $A$ et $C$ fixes (ils sont sur l'axe). Le losange a bien cet axe de symétrie.

Étape 2 — Construire le losange symétrique pour compléter le bandeau. Pour générer le motif suivant dans le bandeau, Salma prend le symétrique du losange $ABCD$ par rapport à la droite verticale $x=4$ (qui passe par $C$). L'idée est simple : chaque sommet « saute » de l'autre côté de l'axe, à la même distance. Un point à $4$ unités à gauche de l'axe se retrouve à $4$ unités à droite. Elle applique cette règle à chaque sommet, un par un.

Symétriques des sommets par rapport à $x=4$ :

• $A(0;2)\to A_1(8;2)$ ;
• $B(2;0)\to B_1(6;0)$ ;
• $C(4;2)\to C_1(4;2)=C$ (point sur l'axe, fixe) ;
• $D(2;4)\to D_1(6;4)$.

Le second losange $A_1{B}_{1}C{D}_1$ est donc de sommets $(8;2)$, $(6;0)$, $(4;2)$, $(6;4)$. Les deux losanges partagent le sommet $C$ et forment une « fleur » symétrique autour de $x=4$.

Étape 3 — Trouver le centre de symétrie du motif composé. Salma cherche maintenant si le motif composé des deux losanges a un centre de symétrie. Chaque losange a un centre de symétrie (le point d'intersection de ses diagonales). Le centre de $ABCD$ est $O_1(2;2)$ et le centre de $A_1{B}_{1}C{D}_1$ est $O_2(6;2)$. Le milieu de $[O_1{O}_2]$ est $M(4;2)=C$.

Salma vérifie : le symétrique de $A(0;2)$ par rapport à $C(4;2)$ est $A_1(8;2)$. Celui de $B(2;0)$ est $B_1(6;0)$. Celui de $D(2;4)$ est $D_1(6;4)$. En effet, le motif composé est symétrique par rapport au point $C$ : tout sommet du premier losange a son image dans le second.

Étape 4 — Dénombrer les symétries totales. Salma récapitule les symétries du motif composé : 2 axes de symétrie (les droites $y=2$ et $x=4$), et 1 centre de symétrie ($C$). Elle remarque un résultat général : quand une figure a deux axes de symétrie perpendiculaires, leur point d'intersection est toujours un centre de symétrie.

Conclusion. Ce que les artisans marocains construisaient à l'œil et à la main depuis des siècles, tu peux maintenant le décrire avec la rigueur des mathématiques. La beauté des zelliges n'est pas dans l'ornement seul — elle est dans la structure. Tu retrouveras cette combinaison d'axes et de centres au lycée, quand tu étudieras les transformations du plan.

À retenir