Durées, vitesses et grandeurs composées

Leçon 1 — Lire, convertir et comparer des durées

Les durées utilisent un système en base 60. C’est pour cela qu’on ne les manipule pas exactement comme des nombres décimaux classiques.

Conversions essentielles. $1\text{ min}=60\text{ s}$, $1\text{ h}=60\text{ min}$, donc $1\text{ h}=3600\text{ s}$.

Pourquoi les durées ne fonctionnent pas comme les nombres décimaux

En base 10, après la virgule, tu comptes des dixièmes, des centièmes, etc. En durée, tu changes d’unité avec 60.

• $1\text{ h }30\text{ min}=\mathrm{1,5}\text{ h}$ car 30 min = 0,5 h.
• Mais $\mathrm{1,30}\text{ h}=1\text{ h}+\mathrm{0,30}\text{ h}=1\text{ h}+18\text{ min}=1\text{ h }18\text{ min}$.

Convertir des minutes en heures et minutes

Convertir des heures et minutes en minutes

Écritures équivalentes à connaître

Pour une même durée, plusieurs écritures peuvent être justes :

• $1\text{ h }30\text{ min}$
• $90\text{ min}$
• $\mathrm{1,5}\text{ h}$

L’objectif n’est pas de toutes les utiliser en même temps, mais de choisir celle qui simplifie ton calcul.

Leçon 2 — Additionner et soustraire des durées

Durée et horaire : deux notions différentes

Un horaire donne un instant précis (par exemple 8 h 35). Une durée donne un temps écoulé (par exemple 1 h 30). Une durée est donc l’écart entre deux horaires.

• 8 h 35 et 10 h 05 sont des horaires.
• 1 h 30 est une durée.

Si tu confonds les deux, tu risques des erreurs de sens.

Additionner des durées

Méthode efficace. Soit tu calcules directement en h/min, soit tu convertis tout en minutes, puis tu reconvertis.

Calculer une durée entre deux horaires

Méthode pas à pas.

1. Avance jusqu’à l’heure entière suivante.
2. Avance ensuite d’heure entière en heure entière.
3. Termine avec les minutes restantes.
4. Additionne tous les morceaux.

Leçon 3 — Comprendre la vitesse moyenne

La vitesse moyenne relie une distance et une durée totale. Elle ne raconte pas chaque seconde du trajet.

Lire correctement l’unité km/h

$60\text{ km/h}$ se lit « 60 kilomètres par heure ». Cela signifie : en moyenne, 60 km en 1 h.

Si le trajet dure 2 h à cette moyenne, tu imagines 120 km. Le mot clé est par.

La vitesse est un quotient

Calculer une vitesse, c’est diviser une distance par une durée :

$v={\displaystyle \frac{d}{t}}$

Vitesse constante et vitesse moyenne

• Si la vitesse est constante, distance et durée sont proportionnelles.
• Dans la vraie vie (tramway, bus, train), la vitesse varie : arrêts, circulation, accélérations.
• La vitesse moyenne résume tout le trajet par une seule valeur utile.

Exemple piégeux

Karim parcourt 30 km en 30 min. Il dit : « $30÷30=1\text{ km/h}$. »

C’est faux, car il mélange km et min sans cohérence d’unité.

Correction. $30\text{ min}=\mathrm{0,5}\text{ h}$, donc

$v={\displaystyle \frac{30}{\mathrm{0,5}}}=60\text{ km/h}\mathrm{.}$

Avant de diviser, vérifie l’unité de temps.

Leçon 4 — Calculer une distance, une durée ou une vitesse

Les trois relations sont :

$v={\displaystyle \frac{d}{t}}d=v\times tt={\displaystyle \frac{d}{v}}$

Retrouver les formules sans les apprendre par cœur

Tu peux partir de l’idée de base : vitesse = distance « par » durée, donc $v=d÷t$.

Ensuite :

• si tu veux la distance, tu « défais » la division en multipliant par $t$ : $d=v\times t$ ;
• si tu veux la durée, tu divises la distance par la vitesse : $t=d÷v$.

Tu comprends la logique, au lieu de réciter mécaniquement.

Choisir la bonne formule

Ce que tu cherches	Ce que tu connais	Formule
Vitesse	distance et durée	$v={\displaystyle \frac{d}{t}}$
Distance	vitesse et durée	$d=v\times t$
Durée	distance et vitesse	$t={\displaystyle \frac{d}{v}}$

Les unités doivent être cohérentes

Si la vitesse est en km/h, alors :

• distance en km ;
• durée en h.

Si la vitesse est en m/s, alors :

• distance en m ;
• durée en s.

Leçon 5 — Comprendre les grandeurs composées

Une grandeur composée compare deux grandeurs. Son unité te dit immédiatement la question posée.

Grandeur composée	Question posée	Exemple
Vitesse	combien de km en 1 h ?	$80\text{ km/h}$
Prix unitaire	combien de dh pour 1 kg ?	$14\text{ dh/kg}$
Débit	combien de L en 1 min ?	$6\text{ L/min}$
Cadence	combien de pages en 1 min ?	$3\text{ pages/min}$
Consommation	combien de L pour 100 km ?	$7\text{ L/100 km}$

Prix unitaire : dh/kg

Débit : L/min

Consommation : L/100 km

Méthode générale — Choisir l’opération

Quand tu hésites entre multiplier et diviser, pose cette question : « Est-ce que je cherche une valeur par unité ou un total ? »

• Si tu cherches une grandeur « par unité », tu divises.
• Si tu connais la valeur pour 1 unité et que tu cherches un total, tu multiplies.

Exemples guidés

Exemple guidé 1 — Calculer une vitesse avec conversion

Énoncé. Yasmine parcourt 84 km en 1 h 24 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Étape 1. Convertir la durée.

$1\text{ h }24\text{ min}=84\text{ min}$, puis

$84\text{ min}={\displaystyle \frac{84}{60}}\text{ h}=\mathrm{1,4}\text{ h}$.

Étape 2. Appliquer la formule.

$v={\displaystyle \frac{84}{\mathrm{1,4}}}=60\text{ km/h}$

Sa vitesse moyenne est donc 60 km/h.

Exemple guidé 2 — Trouver une durée

Énoncé. Karim veut parcourir 36 km à vélo à 12 km/h. Combien de temps lui faut-il ?

Calcul.

$t={\displaystyle \frac{36}{12}}=3\text{ h}$

Il lui faut donc 3 h.

Exemple guidé 3 — Utiliser un débit

Énoncé. Un robinet remplit 42 L en 7 min. Quel est son débit ?

Calcul.

$\text{d}\acute{\text{e}}\text{bit}=42÷7=6\text{ L/min}$

Le robinet verse donc 6 L chaque minute.

Exemple guidé 4 — Prix unitaire et prix total

Énoncé. Au souk de Rabat, 2,5 kg de dattes coûtent 95 dh. Quel est le prix pour 1 kg ? Puis pour 4 kg ?

Étape 1. Prix unitaire :

$95÷\mathrm{2,5}=38\text{ dh/kg}\mathrm{.}$

Étape 2. Prix pour 4 kg :

$38\times 4=152\text{ dh}\mathrm{.}$

Tu passes du total à l’unité par division, puis de l’unité au total par multiplication.

Pièges classiques

1. Confondre $1\text{ h }30\text{ min}$ et $\mathrm{1,30}\text{ h}$.

   • Erreur plausible : écrire directement $1\text{ h }30\text{ min}=\mathrm{1,30}\text{ h}$.
   • Correction : $1\text{ h }30\text{ min}=\mathrm{1,5}\text{ h}$ ; $\mathrm{1,30}\text{ h}=1\text{ h }18\text{ min}$.
   • Alerte : « après la virgule en heure, ce n’est pas des minutes ».

2. Oublier de convertir les minutes en heures.

   • Erreur plausible : $d=72\times 30=2160$.
   • Correction : 30 min = 0,5 h, donc $d=72\times \mathrm{0,5}=36\text{ km}$.
   • Alerte : « km/h impose des heures ».

3. Diviser dans le mauvais sens.

   • Erreur plausible : pour 90 km en 1,5 h, faire $\mathrm{1,5}÷90$.
   • Correction : vitesse $=90÷\mathrm{1,5}=60\text{ km/h}$.
   • Alerte : « vitesse = distance ÷ durée ».

4. Comparer des vitesses avec des unités différentes.

   • Erreur plausible : conclure que 20 m/s < 60 km/h parce que 20 < 60.
   • Correction : convertir : 20 m/s = 72 km/h, donc 20 m/s > 60 km/h.
   • Alerte : « pas de comparaison sans unités communes ».

5. Croire que la vitesse moyenne décrit chaque instant.

   • Erreur plausible : penser qu’un train à 60 km/h de moyenne roule toujours à 60.
   • Correction : la moyenne résume le trajet total ; la vitesse instantanée varie.
   • Alerte : « moyenne ≠ film seconde par seconde ».

6. Confondre prix total et prix unitaire.

   • Erreur plausible : « 52 dh pour 4 kg, donc 1 kg coûte 52 dh ».
   • Correction : prix unitaire $=52÷4=13\text{ dh/kg}$.
   • Alerte : « le prix pour 1 se trouve par division ».

7. Confondre débit et volume total.

   • Erreur plausible : « 6 L/min, donc 6 L au total ».
   • Correction : volume dépend du temps, par exemple en 5 min : $6\times 5=30\text{ L}$.
   • Alerte : « débit = rythme, pas quantité finale ».

8. Ne pas vérifier l’ordre de grandeur.

   • Erreur plausible : obtenir 600 km pour un trajet urbain de 30 min sans réagir.
   • Correction : estimer mentalement avant de conclure (à 60 km/h en 0,5 h, on attend ~30 km).
   • Alerte : « un résultat absurde signale souvent une erreur d’unité ou d’opération ».

Application concrète

Yasmine organise une sortie Casablanca–Rabat avec Amine, Salma et Karim. Elle doit comparer transport, durée d’arrivée et budget du goûter.

Étape 1 — Calculer la durée du trajet en train.

Départ 8 h 20, arrivée 9 h 50.

Durée : $1\text{ h }30\text{ min}=\mathrm{1,5}\text{ h}$.

Étape 2 — Calculer la vitesse moyenne du train.

Distance Casablanca–Rabat : 90 km.

$v={\displaystyle \frac{90}{\mathrm{1,5}}}=60\text{ km/h}\mathrm{.}$

Étape 3 — Comparer avec le bus.

Bus : 90 km en 2 h.

$v_{\text{bus}}={\displaystyle \frac{90}{2}}=45\text{ km/h}\mathrm{.}$

Conclusion : le train est plus rapide en moyenne (60 km/h contre 45 km/h).

Étape 4 — Prévoir une quantité avec un prix unitaire.

Amandes : 80 dh/kg. Quantité : 0,75 kg.

$\text{prix}=80\times \mathrm{0,75}=60\text{ dh}\mathrm{.}$

Étape 5 — Utiliser un débit.

Robinet : 6 L/min pendant 3 min 30 s.

$3\text{ min }30\text{ s}=\mathrm{3,5}\text{ min}$.

$\text{volume}=6\times \mathrm{3,5}=21\text{ L}\mathrm{.}$

Conclusion finale. Train, bus, souk, robinet : même logique mathématique. Tu compares deux grandeurs, tu convertis les unités, tu choisis l’opération, puis tu interprètes l’unité du résultat.

À retenir