La proportionnalité

Reconnaître une situation de proportionnalité

Toute situation où deux grandeurs varient ensemble n'est pas proportionnelle. Apprendre à reconnaître la proportionnalité, c'est la moitié du travail.

Le test infaillible : si tu doubles la première, la seconde doit doubler aussi. Si tu triples la première, la seconde doit tripler. Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas proportionnel.

Trois exemples qui le sont

• Le prix au kilo. 1 kg de tomates à 8 dh, 2 kg à 16 dh, 3 kg à 24 dh, 5 kg à 40 dh. Le prix est proportionnel à la masse achetée.
• La distance à vitesse constante. Un train roule à 100 km/h. En 1 h il parcourt 100 km, en 2 h il parcourt 200 km, en 3 h il parcourt 300 km. La distance est proportionnelle à la durée.
• Une recette. Si une recette pour 4 personnes demande 200 g de farine, alors pour 8 personnes elle demande 400 g. La quantité de farine est proportionnelle au nombre de personnes.

Trois exemples qui ne le sont pas

• L'âge et la taille. Un enfant de 4 ans ne mesure pas le double d'un enfant de 2 ans. La taille n'est pas proportionnelle à l'âge.
• Le périmètre et l'aire d'un carré. Un carré de côté 2 a un périmètre de 8 et une aire de 4. Un carré de côté 4 a un périmètre de 16 (le double) mais une aire de 16 (le quadruple). L'aire n'est pas proportionnelle au côté.
• Un abonnement avec frais fixes. Un forfait téléphonique à 50 dh par mois plus 0,5 dh par appel. Le coût total n'est pas proportionnel au nombre d'appels, à cause des 50 dh fixes au départ.

Le tableau de proportionnalité

Quand deux grandeurs sont proportionnelles, on les présente souvent dans un tableau où chaque colonne montre une paire de valeurs qui se correspondent.

Masse de tomates (kg)	1	2	3	5
Prix (dh)	8	16	24	40

C'est un tableau de proportionnalité : on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre (ici $\times 8$).

Le coefficient de proportionnalité

Le nombre qui permet de passer d'une ligne à l'autre dans un tableau de proportionnalité a un nom.

Dans l'exemple des tomates, le coefficient est $8$ : pour passer de la masse au prix, on multiplie par 8. Et ce coefficient a un sens concret : c'est le prix d'un kilo.

Comment trouver le coefficient

Si une colonne du tableau te donne déjà une valeur de la première ligne et la valeur correspondante de la seconde, le coefficient s'obtient par division.

Exemple. Dans le tableau suivant, trouve le coefficient.

Nombre de cahiers	4	7	10
Prix (dh)	12	21	30

Pour passer de $4$ à $12$, on multiplie par combien ? On divise : $12÷4=3$. Le coefficient est $3$, c'est-à-dire 3 dh par cahier. On peut vérifier : $7\times 3=21$ ✓, $10\times 3=30$ ✓.

Utiliser le coefficient pour compléter

Une fois le coefficient connu, compléter le tableau devient mécanique : on multiplie ou on divise.

Exemple. Si le coefficient est $3$ dh par cahier et qu'on cherche le prix de 25 cahiers : $25\times 3=75$ dh.

Inversement, si on connaît le prix total et qu'on cherche le nombre de cahiers : on divise par le coefficient. Par exemple, avec 60 dh, on peut acheter $60÷3=20$ cahiers.

Calculer une quatrième proportionnelle

Le problème typique de proportionnalité est : on a 3 valeurs, on en cherche une quatrième. Cette quatrième valeur s'appelle la quatrième proportionnelle. Tu disposes de trois méthodes pour la calculer, et tu choisis celle qui colle le mieux à la situation.

Méthode 1 — Le coefficient de proportionnalité

Si le coefficient est facile à calculer (un nombre simple), c'est souvent la méthode la plus rapide.

Exemple. Si 4 kg de pommes coûtent 24 dh, combien coûtent 7 kg ?

D'abord le coefficient : $24÷4=6$ dh par kg. Puis le prix de 7 kg : $7\times 6=42$ dh.

Méthode 2 — Le retour à l'unité

Tu calcules la valeur correspondant à 1 unité, puis tu multiplies. C'est en fait la même idée que le coefficient, présentée différemment.

Exemple. Si 5 stylos coûtent 12 dh, combien coûtent 8 stylos ?

Prix d'un stylo : $12÷5=\mathrm{2,4}$ dh. Prix de 8 stylos : $8\times \mathrm{2,4}=\mathrm{19,2}$ dh.

Méthode 3 — Le produit en croix

C'est la méthode la plus puissante, qui marche même quand le coefficient n'est pas un nombre simple. Elle se présente dans un tableau de 4 cases, où la quatrième valeur est inconnue.

Concrètement, si le tableau est :

	Colonne 1	Colonne 2
Ligne 1	$a$	$b$
Ligne 2	$c$	$d$

Alors $a\times d=b\times c$. Cette égalité te permet de retrouver une valeur inconnue.

Exemple. 9 m de tissu coûtent 54 dh. Combien coûtent 15 m ?

Tableau :

Longueur (m)	9	15
Prix (dh)	54	$x$

Produit en croix : $9\times x=15\times 54$, donc $9x=810$, donc $x=810÷9=90$ dh.

Choisir la bonne méthode

• Si le coefficient est un entier ou un décimal simple (genre 6, 2,5, 0,8) : méthode 1 ou 2.
• Si le coefficient est moche (par exemple $54÷9=6$ va, mais $73÷11$ donne un nombre à virgule infinie) : méthode 3, le produit en croix.
• En examen ou en contrôle, la méthode 3 est toujours acceptée et fonctionne dans tous les cas.

Les pourcentages

Un pourcentage est un cas particulier de proportionnalité que tu rencontres tous les jours : soldes en magasin, taux d'intérêt, statistiques sportives, taux d'humidité.

Par exemple, $25\mathrm{\%}$ veut dire ${\displaystyle \frac{25}{100}}$, soit $\mathrm{0,25}$, soit "25 sur 100".

Calculer un pourcentage d'une quantité

Pour calculer $p\mathrm{\%}$ d'une quantité $N$, tu multiplies $N$ par ${\displaystyle \frac{p}{100}}$.

Exemple. Combien font $30\mathrm{\%}$ de 80 ?

Calcul : $80\times {\displaystyle \frac{30}{100}}=80\times \mathrm{0,3}=24$. Donc $30\mathrm{\%}$ de 80, c'est 24.

Astuce mentale : pour $10\mathrm{\%}$ d'un nombre, on divise par 10. Pour $50\mathrm{\%}$, on divise par 2. Pour $25\mathrm{\%}$, on divise par 4. Apprendre ces raccourcis fait gagner beaucoup de temps.

Augmentation et réduction

Quand on augmente une quantité de $p\mathrm{\%}$, on lui ajoute $p\mathrm{\%}$ de sa valeur. Quand on la réduit de $p\mathrm{\%}$, on lui soustrait $p\mathrm{\%}$ de sa valeur.

Exemple. Un produit coûte 200 dh. Le magasin propose une réduction de $15\mathrm{\%}$. Quel est le nouveau prix ?

Réduction : $200\times {\displaystyle \frac{15}{100}}=30$ dh. Nouveau prix : $200-30=170$ dh.

Autre exemple. Le loyer mensuel d'un appartement est de 4500 dh. Il augmente de $8\mathrm{\%}$ cette année. Quel sera le nouveau montant ?

Augmentation : $4500\times {\displaystyle \frac{8}{100}}=360$ dh. Nouveau loyer : $4500+360=4860$ dh.

Représentation graphique

La proportionnalité a une signature graphique très reconnaissable, qui te permet de la détecter au premier coup d'œil.

Cette propriété est très puissante : tracer le graphique, c'est tester la proportionnalité.

Exemple — un graphique proportionnel

Voici un tableau et son graphique :

Durée (h)	1	2	3	4
Distance (km)	60	120	180	240

Les points $(1;60)$, $(2;120)$, $(3;180)$, $(4;240)$ sont alignés et la droite qui les relie passe par l'origine $(0;0)$ — logique : à 0 h, on n'a parcouru aucun km. C'est bien une situation proportionnelle.

Exemple — un graphique non proportionnel

Imagine maintenant un forfait téléphonique à 30 dh par mois plus 0,5 dh par appel.

Nombre d'appels	0	10	20	30
Coût (dh)	30	35	40	45

Les points sont alignés sur une droite, mais cette droite ne passe pas par l'origine (elle commence à $(0;30)$). Donc le coût n'est pas proportionnel au nombre d'appels, à cause des 30 dh d'abonnement de base.

Lecture inverse : extraire des valeurs

Quand tu as un graphique de proportionnalité tracé, tu peux lire des valeurs sans calcul. Tu repères une valeur sur l'axe horizontal, tu remontes verticalement jusqu'à la droite, puis tu lis horizontalement la valeur sur l'axe vertical. Cette compétence te servira beaucoup en sciences (graphiques expérimentaux).

Vitesses et grandeurs composées

La vitesse est l'application la plus classique de la proportionnalité. C'est aussi celle où l'élève fait le plus d'erreurs, parce que les unités sont piégeuses.

La vitesse comme rapport

L'unité dépend des unités utilisées :

• Si la distance est en km et la durée en h, la vitesse est en km/h (kilomètres par heure).
• Si la distance est en m et la durée en s, la vitesse est en m/s (mètres par seconde).

Exemple. Une voiture parcourt 360 km en 4 h. Quelle est sa vitesse moyenne ?

$v={\displaystyle \frac{360}{4}}=90$ km/h.

Calculer une distance ou une durée

Si tu connais deux des trois grandeurs (distance, durée, vitesse), tu peux retrouver la troisième en isolant la bonne formule.

• Distance = vitesse $\times$ durée → $d=v\times t$
• Durée = distance ÷ vitesse → $t={\displaystyle \frac{d}{v}}$

Exemple. Un train roule à $120$ km/h. Combien de km parcourt-il en $\mathrm{2,5}$ h ?

$d=120\times \mathrm{2,5}=300$ km.

Autre exemple. Tu pars en voiture pour un trajet de $450$ km à une vitesse moyenne de $90$ km/h. Combien de temps mettras-tu ?

$t={\displaystyle \frac{450}{90}}=5$ h.

Convertir des unités

Le piège classique est de mélanger les unités. Si tu calcules une vitesse avec une distance en km et une durée en minutes, tu n'obtiens pas une vitesse en km/h. Il faut d'abord convertir la durée en heures.

Exemple. Tu cours 5 km en 30 minutes. Quelle est ta vitesse en km/h ?

30 minutes = ${\displaystyle \frac{30}{60}}=\mathrm{0,5}$ h. Donc $v={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{0,5}}}=10$ km/h.

Pièges classiques

Piège 1 : « ça augmente régulièrement » ne veut pas dire « proportionnel ». Un taxi à Casablanca démarre à $5$ dh de prise en charge, puis compte $3$ dh par kilomètre. Le prix monte à un rythme régulier, mais il n'est pas proportionnel à la distance. Pour $2$ km tu paies $5+2\times 3=11$ dh ; pour $4$ km tu paies $5+4\times 3=17$ dh. Tu as doublé la distance, mais le prix n'a pas doublé ($17\mathrm{\ne }22$) : le $5$ dh de départ casse la proportionnalité. La proportionnalité exige qu'« à $0$ corresponde $0$ » — ici, à $0$ km tu paies déjà $5$ dh. Le prix au kilo d'oranges au souk, lui, est bien proportionnel.

Piège 2 : croire que doubler une dimension double tout. Si tu doubles le côté d'un carré, le périmètre double, mais l'aire quadruple. L'aire et le côté ne sont pas proportionnels. C'est un piège qui revient en géométrie.

Piège 3 : ajouter les pourcentages au lieu de les multiplier. Augmenter de $20\mathrm{\%}$ puis réduire de $20\mathrm{\%}$ ne ramène pas à la valeur initiale. Exemple : 100 dh + 20 % = 120 dh ; 120 dh - 20 % = 96 dh. On a perdu 4 dh ! Les pourcentages successifs s'appliquent sur des valeurs différentes.

Piège 4 : confondre $x\mathrm{\%}$ et ${\displaystyle \frac{x}{100}}$ dans un calcul. Si tu vois $30\mathrm{\%}$, tu ne dois pas écrire 30 dans un calcul, mais ${\displaystyle \frac{30}{100}}=\mathrm{0,3}$. C'est une source d'erreur fréquente quand on enchaîne plusieurs opérations.

Piège 5 : oublier la conversion d'unités dans une vitesse. Calculer la vitesse en faisant $\text{distance}÷\text{dur}\acute{\text{e}}\text{e}$ sans vérifier les unités donne un résultat absurde. 100 km en 60 min, ça ne fait pas 100 / 60 ≈ 1,67 km/h — ça fait 100 km/h, parce qu'on a oublié que 60 min = 1 h.

Application concrète

Yasmine prépare un voyage de Casablanca à Marrakech, distance environ $240$ km. Elle veut estimer son budget et son timing.

Étape 1 — La durée du trajet. Sur autoroute, elle roulera à une vitesse moyenne de $100$ km/h. Durée prévue : $t={\displaystyle \frac{240}{100}}=\mathrm{2,4}$ h, soit 2 h 24 min.

Étape 2 — La consommation d'essence. Sa voiture consomme $7$ L pour 100 km. Cette consommation est proportionnelle à la distance parcourue. Pour $240$ km : ${\displaystyle \frac{240}{100}}\times 7=\mathrm{16,8}$ L. À 12,5 dh le litre, ça fait $\mathrm{16,8}\times \mathrm{12,5}=210$ dh d'essence.

Étape 3 — Le péage. Le péage Casablanca → Marrakech coûte $80$ dh. Aujourd'hui, une promo offre une réduction de $15\mathrm{\%}$ aux abonnés. Yasmine est abonnée :

• Réduction : $80\times {\displaystyle \frac{15}{100}}=12$ dh
• Péage à payer : $80-12=68$ dh

Étape 4 — Le budget total. Essence + péage = $210+68=278$ dh. Plus la part raisonnable pour un café à Settat ($20$ dh), le budget transport ressort à environ $300$ dh.

Poste	Calcul	Montant
Essence	${\displaystyle \frac{240}{100}}\times 7\times \mathrm{12,5}$	$210$ dh
Péage (réduit)	$80\times (1-\mathrm{0,15})$	$68$ dh
Café	—	$20$ dh
Total		$298$ dh

Trois choses à noter dans ce calcul réel :

• La proportionnalité apparaît partout (consommation, prix de l'essence, durée).
• Le pourcentage sert à appliquer la réduction sur le péage.
• Le calcul de durée combine vitesse et distance, en cohérence avec la leçon 6.

Voilà comment un seul chapitre de 5e te donne les outils pour gérer un vrai problème de la vie quotidienne.

À retenir

Avant de passer aux exercices, voici les six règles essentielles à mémoriser.