Aires et volumes

Aire ou périmètre ? Deux mesures, deux unités

Avant tout calcul, il faut lever une confusion qui piège énormément d'élèves — et qui coûte cher quand on commande du carrelage. Le périmètre et l'aire ne mesurent pas la même chose, et ne s'expriment pas dans les mêmes unités.

Un mètre carré, $1{\text{m}}^2$, c'est l'aire d'un carré de $1\text{ m}$ de côté. C'est pour cela que l'unité s'écrit avec un petit « carré » : elle correspond à une vraie surface carrée.

Prenons le sol de la pièce de Yasmine : un rectangle de $5\text{ m}$ de long sur $3\text{ m}$ de large.

• Son périmètre est la longueur de ses quatre côtés : $5+3+5+3=16\text{ m}$. C'est ce qu'il faudrait, par exemple, pour poser une plinthe tout autour.
• Son aire est $5\times 3=15{\text{m}}^2$. C'est cette surface qu'il faut carreler.

Karim, lui, voulait commander « $16$ » de carrelage. Mauvaise mesure : $16$ est le périmètre, pas l'aire. Avec $16{\text{m}}^2$ de carreaux pour une pièce de $15{\text{m}}^2$, il en achète trop ; mais le danger inverse est pire — confondre dans l'autre sens, c'est se retrouver à court au milieu du chantier.

Les aires des figures usuelles

Maintenant qu'on sait ce qu'on mesure, voyons comment le calculer pour les figures que tu rencontres le plus souvent. On ne va pas se contenter de formules à apprendre par cœur : pour chacune, tu vas comprendre d'où elle vient.

Le rectangle et le carré

C'est le point de départ de tout le reste.

Pourquoi cette multiplication ? Parce qu'un rectangle de $5\text{ cm}$ sur $3\text{ cm}$ se quadrille exactement en $5$ colonnes et $3$ rangées de petits carrés de $1{\text{cm}}^2$, soit $5\times 3=15$ carreaux. L'aire compte ces carreaux unités.

Le triangle

D'où sort le « divisé par $2$ » ? Imagine ton triangle. Recopie-le, retourne la copie, et accole les deux : tu obtiens un parallélogramme, et même un rectangle si le triangle est rectangle. Le triangle occupe donc exactement la moitié de la surface — d'où la division par $2$.

Attention à un mot crucial : la hauteur $h$. Ce n'est pas n'importe quelle longueur du triangle.

Salma, en faisant ses exercices, prend systématiquement la longueur du côté penché du triangle pour faire son calcul. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le côté oblique est presque toujours plus long que la vraie hauteur perpendiculaire : utiliser le côté oblique surestime l'aire. La hauteur, c'est la mesure « verticale » prise à l'équerre, pas la longueur du bord incliné.

Calculons : un triangle de base $b=8\text{ cm}$ et de hauteur $h=5\text{ cm}$ a pour aire $A={\displaystyle \frac{8\times 5}{2}}={\displaystyle \frac{40}{2}}=20{\text{cm}}^2\mathrm{.}$

Le parallélogramme

Là encore, comprends plutôt que de retenir. Prends ton parallélogramme et découpe le triangle qui dépasse à l'une de ses extrémités. Glisse ce triangle de l'autre côté : les deux bords obliques se recollent parfaitement, et tu obtiens… un rectangle de base $b$ et de hauteur $h$. Le découpage-recollage ne change pas la surface, donc l'aire du parallélogramme est celle de ce rectangle : $b\times h$.

Et ici aussi, $h$ est la hauteur perpendiculaire entre les deux bases, jamais la longueur du côté incliné.

Le cercle et le disque

Le réservoir de Yasmine est rond : impossible de l'étudier sans savoir mesurer ce qui est circulaire. Et comme pour aire/périmètre, il faut d'abord distinguer deux objets qu'on confond trop vite.

Le cercle, c'est le bord ; le disque, c'est la galette pleine. On parle du périmètre (ou circonférence) du cercle, et de l'aire du disque.

Deux longueurs à connaître : le rayon $r$ (du centre au bord) et le diamètre $d$ (d'un bord à l'autre en passant par le centre). Le diamètre vaut deux rayons : $d=2\times r\mathrm{.}$

Pour mesurer cercle et disque, on a besoin d'un nombre célèbre : $\pi$ (« pi »). C'est un nombre qui ne « tombe jamais juste » ; on utilise sa valeur approchée $\pi \approx \mathrm{3,14}$.

Calculons pour un disque de rayon $r=4\text{ cm}$ : $P=2\times \mathrm{3,14}\times 4=\mathrm{25,12}\text{ cm},A=\mathrm{3,14}\times 4^2=\mathrm{3,14}\times 16=\mathrm{50,24}{\text{cm}}^2\mathrm{.}$

Karim, fidèle à lui-même, a écrit $A=\mathrm{3,14}\times 8^2$ en prenant le diamètre ($8\text{ cm}$) au lieu du rayon. Il trouve $\mathrm{200,96}{\text{cm}}^2$ — quatre fois trop. Dans la formule de l'aire, c'est toujours le rayon qu'on élève au carré, jamais le diamètre.

Unités d'aire, de volume et de capacité

Avant de passer à l'espace, réglons une question qui fait perdre des points en silence : les conversions. La règle des longueurs (chaque cran vaut $\times 10$) ne marche pas pour les aires et les volumes.

Les unités d'aire : chaque cran vaut $\times 100$

Pourquoi ? Parce qu'un carré de $1\text{ dm}$ de côté, c'est aussi un carré de $10\text{ cm}$ de côté. Son aire vaut donc $10\times 10=100{\text{cm}}^2$. Quand la longueur est multipliée par $10$, l'aire est multipliée par $10\times 10=100$.

$1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2=10000{\text{cm}}^2\mathrm{.}$

Karim convertit une aire comme une longueur : il écrit $1{\text{m}}^2=100{\text{cm}}^2$ (en faisant $\times 100$ une seule fois, comme pour passer de m à cm). Faux : entre m² et cm², il y a deux crans, donc $\times 100\times 100=10000$.

Les unités de volume : chaque cran vaut $\times 1000$

Même raisonnement avec une dimension de plus. Un cube de $1\text{ dm}$ de côté contient $10\times 10\times 10=1000$ petits cubes de $1{\text{cm}}^3$.

$1{\text{m}}^3=1000{\text{dm}}^3=1000000{\text{cm}}^3\mathrm{.}$

La capacité : le pont entre volume et litres

Le volume mesure l'espace ; la capacité mesure ce qu'un récipient peut contenir, en litres (L) et millilitres (mL). Les deux sont reliés par une égalité fondamentale, qu'il faut connaître par cœur :

C'est ce pont qui transformera, à la fin du chapitre, le volume du réservoir de Yasmine (en dm³) directement en litres d'eau.

Le volume du pavé droit et du prisme droit

On entre dans l'espace. Le solide le plus simple est le pavé droit (une boîte), comme les colis que Yasmine doit ranger dans un carton.

Calculons le volume d'un colis de $4\text{ dm}\times 3\text{ dm}\times 2\text{ dm}$ : $V=4\times 3\times 2=24{\text{dm}}^3\mathrm{.}$

Et comme $1{\text{dm}}^3=1\text{ L}$, ce colis occupe l'équivalent de $24\text{ L}$ d'espace.

Regarde bien la formule autrement : $L\times \mathrm{\ell }$, c'est l'aire de la base (le rectangle du dessous), et on la multiplie par la hauteur. Cette idée — aire de la base $\times$ hauteur — n'est pas réservée au pavé. Elle vaut pour tous les prismes droits : les solides dont les deux bases sont identiques et reliées par des faces rectangulaires.

Exemple : un prisme dont la base est un triangle d'aire $6{\text{cm}}^2$, et de hauteur $h=10\text{ cm}$, a pour volume $V=6\times 10=60{\text{cm}}^3$.

Le volume du cylindre de révolution

Nous y voilà : le réservoir de Yasmine. Un cylindre de révolution est le solide obtenu en faisant « monter » un disque le long d'une hauteur — comme une boîte de conserve, ou un réservoir d'eau.

Sa base n'est plus un rectangle ni un triangle : c'est un disque, d'aire $\pi r^2$ (leçon 3). Et le principe aire de la base $\times$ hauteur s'applique encore.

Le cylindre cache une belle idée : son patron. Si tu déroulais sa surface, tu obtiendrais deux disques (le dessus et le dessous) et un rectangle — la paroi déroulée, dont la longueur est exactement la circonférence du cercle, $2\pi r$.

Calculons pour le réservoir, un cylindre de rayon $r=3\text{ dm}$ et de hauteur $h=10\text{ dm}$ : $V=\mathrm{3,14}\times 3^2\times 10=\mathrm{3,14}\times 9\times 10=\mathrm{282,6}{\text{dm}}^3\mathrm{.}$

Comme $1{\text{dm}}^3=1\text{ L}$, le réservoir contient environ $\mathrm{282,6}\text{ L}$ d'eau.

Karim, encore lui, a calculé $V=\mathrm{3,14}\times 3\times 10=\mathrm{94,2}$ — il a oublié de mettre le rayon au carré. Dans le volume du cylindre comme dans l'aire du disque, le rayon est toujours élevé au carré.

Pièges classiques

1. Confondre aire et périmètre, et leurs unités. Le périmètre est une longueur (m, cm) ; l'aire est une surface (m², cm²). Une réponse d'aire sans le « carré » dans l'unité est une réponse fausse.

2. Prendre le côté oblique pour la hauteur. Dans le triangle et le parallélogramme, $h$ est la hauteur perpendiculaire à la base, mesurée à l'équerre — pas la longueur du bord incliné, qui est plus long.

3. Mettre le diamètre au lieu du rayon dans $\pi r^2$. L'aire du disque et le volume du cylindre utilisent le rayon au carré. Si on te donne le diamètre, commence par le diviser par $2$.

4. Convertir les aires en $\times 10$ et les volumes en $\times 10$. Chaque cran vaut $\times 100$ pour les aires et $\times 1000$ pour les volumes. $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$, pas $100$.

5. Calculer sans avoir tout mis dans la même unité. Avant de multiplier des longueurs entre elles, vérifie qu'elles sont toutes dans la même unité. Mélanger des cm et des m donne un résultat absurde.

6. Confondre volume et capacité, ou oublier $1\text{ L}=1{\text{dm}}^3$. Le volume se mesure en m³, dm³, cm³ ; la capacité en L, mL. Le pont est $1\text{ L}=1{\text{dm}}^3$ et $1\text{ mL}=1{\text{cm}}^3$ : c'est lui qui transforme un volume en litres.

Application concrète

Reprenons les deux chantiers de Yasmine, de bout en bout.

Carreler le sol. La pièce est un rectangle de $5\text{ m}$ sur $3\text{ m}$, soit une aire de $5\times 3=15{\text{m}}^2$. Les carreaux choisis sont des carrés de $50\text{ cm}$ de côté, soit $\mathrm{0,5}\text{ m}$ : chaque carreau couvre $\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,25}{\text{m}}^2$. Il faut donc $15÷\mathrm{0,25}=60$ carreaux. À $40$ dirhams le carreau, le carrelage coûte $60\times 40=2400$ dirhams (avant la marge de découpe que tout carreleur prévoit en plus).

Dimensionner le réservoir. Le réservoir cylindrique a un rayon $r=3\text{ dm}$ et une hauteur $h=10\text{ dm}$. Karim propose : « le diamètre fait $6\text{ dm}$, donc $V=\mathrm{3,14}\times 6^2\times 10=\mathrm{1130,4}\text{ L}$ — plus de mille litres ! » Yasmine n'est pas dupe : Karim a utilisé le diamètre au lieu du rayon dans la formule. Le bon calcul est $V=\mathrm{3,14}\times 3^2\times 10=\mathrm{282,6}{\text{dm}}^3=\mathrm{282,6}\text{ L}\mathrm{.}$ Le réservoir contient donc environ $282\text{ L}$, pas $1130$ : largement assez pour la famille, mais quatre fois moins que l'estimation fausse de Karim. Une erreur de rayon contre diamètre, et on commande une cuve démesurée.

À retenir

Avant de passer aux exercices, voici les cinq idées essentielles de ce chapitre.