Les statistiques

Le vocabulaire : de quoi parle-t-on ?

Avant de calculer quoi que ce soit, il faut nommer précisément ce qu'on étudie. Les statistiques ont un vocabulaire exact, et la moitié des erreurs vient d'un mot mal compris.

Dans l'enquête de Yasmine, la population est la classe (28 élèves), un individu est un élève, et un caractère est par exemple « le nombre de frères et sœurs ».

Tous les caractères ne sont pas de même nature, et cette distinction commande la suite.

Le sport préféré est qualitatif : « football », « natation » ne se calculent pas. Le nombre de frères et sœurs est quantitatif : 0, 1, 2, 3 sont des nombres qu'on pourra additionner ou moyenner.

La distinction qui piège tout le monde : valeur et effectif

Reprenons les frères et sœurs. « 2 » est une valeur (c'est une réponse possible). Si 7 élèves de la classe ont répondu « 2 », alors l'effectif de la valeur 2 est 7.

Karim mélange constamment les deux : il lit « 7 élèves ont 2 frères et sœurs » et retient « 2 ». Garde la phrase test en tête : la valeur, c'est ce qu'on a répondu ; l'effectif, c'est combien de fois on l'a répondu.

Organiser : le tableau d'effectifs

Une liste brute ne se lit pas. La première arme du statisticien, c'est le tableau d'effectifs : une ligne pour les valeurs, une ligne pour leurs effectifs.

Voici les réponses brutes de la classe à « combien de frères et sœurs ? », dans l'ordre où elles ont été données :

$2,1,0,3,2,1,2,0,1,2,3,1,2,0,1,2,1,3,2,0,1,2,1,0,2,1,3,2$

Impossible d'en dire quoi que ce soit à l'œil nu. On compte combien de fois apparaît chaque valeur, et on range :

Nombre de frères et sœurs	0	1	2	3
Effectif	5	9	10	4

D'un coup, la classe « parle » : la situation la plus fréquente est 2 frères et sœurs (10 élèves), et très peu d'élèves sont enfants uniques avec 3 frères et sœurs.

Ici : $5+9+10+4=28$. C'est bien le nombre d'élèves de la classe — et c'est une vérification systématique : si la somme des effectifs ne redonne pas le nombre d'individus, tu as oublié ou compté deux fois une donnée.

Les fréquences : passer aux proportions

Savoir que 10 élèves ont 2 frères et sœurs, c'est utile. Mais pour comparer deux classes de tailles différentes, l'effectif brut ne suffit pas : 10 élèves sur 28, ce n'est pas la même chose que 10 élèves sur 40. Il faut raisonner en proportion — c'est la fréquence.

C'est exactement la proportionnalité du chapitre précédent : on ramène chaque effectif au même total de référence. Pour la valeur 2 (effectif 10, total 28) :

$\text{fr}\acute{\text{e}}\text{quence}={\displaystyle \frac{10}{28}}\approx \mathrm{0,36}=36\mathrm{\%}\mathrm{.}$

Autrement dit, environ 36 % de la classe a 2 frères et sœurs.

Salma, elle, écrit directement « fréquence = 10 » — elle oublie de diviser par le total. Mais une fréquence n'est jamais un effectif : c'est toujours une part du tout, donc un nombre entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 %).

La somme des fréquences vaut 1

Si on additionne les fréquences de toutes les valeurs, on additionne en fait toutes les parts du tout : on retombe forcément sur le tout entier.

${\displaystyle \frac{5}{28}}+{\displaystyle \frac{9}{28}}+{\displaystyle \frac{10}{28}}+{\displaystyle \frac{4}{28}}={\displaystyle \frac{28}{28}}=1.$

En pourcentages, la somme fait 100 %. C'est un excellent contrôle : si tes fréquences ne totalisent pas 1 (ou 100 %), il y a une erreur de calcul quelque part.

Représenter : les diagrammes

Un tableau est précis, mais un dessin se comprend d'un seul regard. Deux représentations dominent au collège : le diagramme en bâtons et le diagramme circulaire.

Le diagramme en bâtons

Pour chaque valeur, on dresse un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif. Les valeurs se lisent sur l'axe horizontal, les effectifs sur l'axe vertical.

L'œil compare immédiatement les hauteurs : le football domine, le tennis est minoritaire. C'est idéal pour un caractère qualitatif (les sports) comme pour un caractère quantitatif à peu de valeurs.

Le piège du diagramme en bâtons. Salma lit la hauteur d'un bâton sur le mauvais axe et confond l'effectif (axe vertical) avec la valeur (axe horizontal). Repère toujours : la hauteur se lit à gauche (effectif), l'étiquette se lit en bas (valeur).

Le diagramme circulaire

Ici, le disque entier représente la classe entière, et chaque valeur reçoit une part du disque proportionnelle à son effectif. Comme le tour complet fait $360\mathrm{°}$, l'angle d'une valeur se calcule ainsi :

Reprenons les sports (effectif total 28). Pour le football (effectif 12) :

$\text{angle}={\displaystyle \frac{12}{28}}\times 360\mathrm{°}\approx 154\mathrm{°}\mathrm{.}$

C'est la grande utilité du circulaire : il montre les parts du tout bien mieux que les bâtons. On voit d'emblée que le football occupe presque la moitié du disque.

Attention à l'erreur de Karim : il calcule l'angle « sur 100 » (comme un pourcentage) au lieu de « sur 360° ». Mais un disque complet, c'est $360\mathrm{°}$, pas 100. C'est toujours $\times 360\mathrm{°}$.

Résumer : la moyenne

Organiser et représenter, c'est bien. Mais souvent on veut un seul nombre qui résume toute la série : la moyenne.

Si Yasmine a eu aux quatre derniers contrôles 12, 14, 11 et 15, sa moyenne est :

${\displaystyle \frac{12+14+11+15}{4}}={\displaystyle \frac{52}{4}}=13.$

La moyenne pondérée par les effectifs

Quand les données sont rangées dans un tableau d'effectifs, on ne réécrit pas la liste entière : une valeur qui apparaît plusieurs fois doit compter autant de fois que son effectif. C'est la moyenne pondérée.

Reprenons les frères et sœurs (total 28) :

$\text{moyenne}={\displaystyle \frac{0\times 5+1\times 9+2\times 10+3\times 4}{28}}={\displaystyle \frac{0+9+20+12}{28}}={\displaystyle \frac{41}{28}}\approx \mathrm{1,5.}$

En moyenne, un élève de la classe a environ 1,5 frère ou sœur.

Karim, lui, fait l'erreur classique : il calcule ${\displaystyle \frac{0+1+2+3}{4}}=\mathrm{1,5}$ — il fait la moyenne des valeurs sans tenir compte de leurs effectifs. Ici le résultat tombe juste par coïncidence, mais c'est faux dans le principe : il faut pondérer. Pour t'en convaincre, imagine que 27 élèves aient 3 frères et sœurs et un seul en ait 0 : la vraie moyenne serait proche de 3, pas de 1,5.

Pièges classiques

1. Confondre valeur et effectif. La valeur est une réponse possible du caractère ; l'effectif est le nombre d'individus qui ont donné cette réponse. « 7 élèves ont 2 frères et sœurs » : la valeur est 2, l'effectif est 7.

2. Oublier de diviser par l'effectif total pour une fréquence. Une fréquence n'est jamais un effectif brut : c'est une part du tout, donc ${\displaystyle \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}}$, comprise entre 0 et 1.

3. Calculer une moyenne sans pondérer par les effectifs. Quand les données viennent d'un tableau d'effectifs, chaque valeur compte autant de fois que son effectif. Faire la simple moyenne des valeurs ignore que certaines sont bien plus fréquentes.

4. Calculer l'angle du diagramme circulaire « sur 100 » au lieu de 360°. Le disque complet vaut $360\mathrm{°}$, pas 100. L'angle d'une valeur est ${\displaystyle \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}}\times 360\mathrm{°}$.

5. Obtenir une somme de fréquences différente de 1. La somme de toutes les fréquences vaut toujours 1 (ou 100 %). Si ce n'est pas le cas, c'est un signal d'erreur de calcul, exactement comme un ordre de grandeur absurde.

6. Mal lire un diagramme en bâtons. La hauteur (axe vertical) donne l'effectif ; l'étiquette (axe horizontal) donne la valeur. Confondre les deux axes mène à des contresens.

Application concrète

Yasmine dépouille l'enquête « sport préféré » de sa classe de 28 élèves, à Casablanca. Les réponses sont : 12 pour le football, 7 pour la natation, 6 pour le basket, 3 pour le tennis. Elle veut en faire une affiche pour le panneau de la classe.

Étape 1 — Construire le tableau d'effectifs.

Sport	Football	Natation	Basket	Tennis
Effectif	12	7	6	3

Vérification : $12+7+6+3=28$. C'est bien l'effectif total de la classe.

Étape 2 — Calculer les fréquences en pourcentage.

Pour chaque sport, on divise l'effectif par 28, puis on exprime en pourcentage. Football : ${\displaystyle \frac{12}{28}}\approx \mathrm{0,43}=43\mathrm{\%}$. Natation : ${\displaystyle \frac{7}{28}}=\mathrm{0,25}=25\mathrm{\%}$. Basket : ${\displaystyle \frac{6}{28}}\approx \mathrm{0,21}=21\mathrm{\%}$. Tennis : ${\displaystyle \frac{3}{28}}\approx \mathrm{0,11}=11\mathrm{\%}$. La somme fait bien environ 100 %.

Étape 3 — Calculer les angles du diagramme circulaire.

Chaque angle vaut ${\displaystyle \frac{\text{effectif}}{28}}\times 360\mathrm{°}$. Football : ${\displaystyle \frac{12}{28}}\times 360\mathrm{°}\approx 154\mathrm{°}$. Natation : ${\displaystyle \frac{7}{28}}\times 360\mathrm{°}=90\mathrm{°}$. Basket : ${\displaystyle \frac{6}{28}}\times 360\mathrm{°}\approx 77\mathrm{°}$. Tennis : ${\displaystyle \frac{3}{28}}\times 360\mathrm{°}\approx 39\mathrm{°}$. La somme fait bien environ $360\mathrm{°}$.

Étape 4 — Calculer une moyenne pondérée (le second caractère).

Yasmine veut aussi afficher le nombre moyen de frères et sœurs. Karim propose : « il y a quatre valeurs possibles, 0, 1, 2, 3, donc la moyenne c'est ${\displaystyle \frac{0+1+2+3}{4}}=\mathrm{1,5}$. » Yasmine n'est pas d'accord : Karim a oublié les effectifs. Le bon calcul pondère chaque valeur par son effectif :

${\displaystyle \frac{0\times 5+1\times 9+2\times 10+3\times 4}{28}}={\displaystyle \frac{41}{28}}\approx \mathrm{1,5.}$

Conclusion. Le résultat est proche, mais le raisonnement de Karim est faux : il ne tient que par hasard ici. Une fois ses effectifs, fréquences, angles et moyenne calculés, Yasmine a tout pour son affiche — et elle a compris au passage que la même série peut se lire de quatre façons complémentaires : brute, en tableau, en image, et en un seul nombre. Cette manière de résumer des données reviendra en 4ᵉ avec la médiane et l'étendue, puis bien plus loin en statistiques au lycée.

À retenir