Les probabilités

Le vocabulaire du hasard

Tout commence par une situation où l'on ne peut pas prévoir ce qui va arriver. Les mathématiques lui donnent un nom précis.

Lancer un dé, lancer une pièce, tirer une bille dans un sac sans regarder : ce sont des expériences aléatoires. On sait à l'avance ce qui peut arriver, jamais ce qui va arriver.

Pour un dé à six faces, les issues sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ; l'univers compte 6 issues. Pour une pièce, les issues sont « pile » et « face » ; l'univers en compte 2.

Le hasard ne se prévoit pas, ne se « sent » pas

Karim est convaincu qu'avec de l'entraînement, il pourrait « sentir » le résultat d'un lancer. C'est une illusion tenace. Dans une vraie expérience aléatoire, aucune technique, aucun pressentiment, aucune série passée ne permet de prévoir l'issue suivante. C'est précisément ce qui définit le hasard.

L'événement

Souvent, on ne s'intéresse pas à une seule issue, mais à un ensemble d'issues qui partagent une propriété. C'est un événement.

Avec un dé, « obtenir un nombre pair » est un événement : il regroupe les issues 2, 4 et 6. Si tu lances et que tu obtiens 4, l'événement « pair » est réalisé.

Salma confond souvent « issue » et « événement ». Retiens la nuance : une issue est un résultat unique de l'expérience (le 4) ; un événement est une question qu'on se pose sur le résultat (« est-ce pair ? »), et il peut rassembler plusieurs issues.

Trois événements particuliers

Ces trois cas seront les bornes de notre mesure du hasard : l'impossible et le certain encadrent tout le reste.

La probabilité d'un événement

On arrive au cœur du chapitre : mettre un nombre sur la chance qu'un événement se réalise. Mais ce calcul repose sur une condition essentielle.

Un dé bien équilibré : chaque face a la même chance, on est en équiprobabilité. Une pièce non truquée : pile et face sont également probables. C'est seulement dans ce cas que la formule suivante s'applique.

Les issues « favorables » sont celles qui réalisent l'événement. Reprenons le dé et l'événement « obtenir un nombre pair ». Les issues favorables sont 2, 4, 6 (il y en a 3) ; les issues possibles sont 1 à 6 (il y en a 6). Donc :

$P(\text{pair})={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$

Une chance sur deux. On exprime souvent la probabilité sous forme de fraction irréductible, comme ici, mais elle peut aussi s'écrire en décimal ($\mathrm{0,5}$) ou en pourcentage ($50\mathrm{\%}$) — exactement comme une fréquence en statistiques.

Une probabilité est toujours entre 0 et 1

Le nombre d'issues favorables ne peut pas dépasser le nombre d'issues possibles, ni être négatif. Donc une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

Si tu trouves une probabilité de ${\displaystyle \frac{7}{6}}$ ou de $\mathrm{1,3}$, tu as forcément fait une erreur : aucune chance ne peut dépasser la certitude.

La somme des probabilités des issues vaut 1

Si on additionne les probabilités de toutes les issues d'une expérience, on couvre tout l'univers : on retombe sur la certitude.

Pour le dé : ${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{6}{6}}=1$.

C'est exactement l'idée vue en statistiques, où la somme des fréquences valait 1. Probabilités et fréquences partagent cette propriété de « part du tout ».

L'échelle des probabilités et le langage du hasard

Une probabilité se situe sur une règle graduée de 0 à 1. Cet axe donne une intuition immédiate de ce que « probable » veut dire.

• Une probabilité proche de 0 : l'événement est peu probable.
• Une probabilité de 0,5 (${\displaystyle \frac{1}{2}}$) : il y a une chance sur deux.
• Une probabilité proche de 1 : l'événement est très probable.

Traduire et comparer

Comme pour les fréquences, on passe d'une écriture à l'autre. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, c'est $\mathrm{0,25}$, c'est $25\mathrm{\%}$ : trois façons de dire « une chance sur quatre ».

Comparer deux événements revient à comparer deux nombres. Sur un dé, « obtenir un nombre pair » (${\displaystyle \frac{1}{2}}$) est plus probable qu'« obtenir un 6 » (${\displaystyle \frac{1}{6}}$), car ${\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{6}}$. La probabilité transforme une intuition floue (« j'ai plus de chances ») en une comparaison de nombres précise.

Du hasard aux fréquences : que se passe-t-il sur un grand nombre d'essais ?

Voici la question qui relie ce chapitre au précédent. Si la probabilité d'obtenir « pile » est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, est-ce qu'en lançant une pièce 10 fois j'obtiens exactement 5 piles ?

Non. Sur 10 lancers, tu peux très bien obtenir 7 piles, ou 3. Le hasard ne « répartit » pas les résultats à l'avance. Mais quelque chose de remarquable se produit quand le nombre d'essais devient grand.

Sur 10 lancers de pièce, la fréquence de « pile » peut être très éloignée de $\mathrm{0,5}$. Sur 1 000 lancers, elle en sera presque toujours très proche. C'est ce qu'on appelle, de façon intuitive, la loi des grands nombres. Elle fait le pont entre les deux chapitres : la probabilité est une prévision théorique (calculée avant l'expérience) ; la fréquence est un constat (mesurée après l'expérience) ; et plus on répète, plus les deux se rejoignent.

L'erreur du joueur

Karim observe trois « pile » de suite et déclare : « maintenant, face est obligé de sortir, pour rééquilibrer ». C'est faux, et c'est une erreur classique. La pièce n'a pas de mémoire : à chaque lancer, la probabilité de « face » reste ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, quels que soient les résultats précédents. Les lancers sont indépendants.

La loi des grands nombres ne dit pas que les résultats se compensent au fur et à mesure ; elle dit que, sur un très grand nombre d'essais, les écarts deviennent négligeables en proportion. Ce n'est pas la même chose.

Pièges classiques

1. Croire qu'on peut prévoir une issue. Dans une expérience aléatoire, aucune technique ni aucun pressentiment ne permet de connaître le résultat d'un essai à l'avance. On peut seulement mesurer des probabilités.

2. Confondre issue et événement. Une issue est un résultat unique (le 4) ; un événement est une propriété du résultat (« être pair ») qui peut regrouper plusieurs issues. « Obtenir un nombre pair » n'est pas une issue, c'est un événement à trois issues.

3. Oublier qu'une probabilité est entre 0 et 1. Une probabilité ne peut être ni négative, ni supérieure à 1. Un résultat comme ${\displaystyle \frac{7}{6}}$ ou $\mathrm{1,2}$ signale une erreur de calcul (souvent un mauvais dénombrement).

4. Appliquer la formule sans équiprobabilité. ${\displaystyle \frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}}$ ne vaut que si toutes les issues ont la même chance. Avec un dé pipé ou un sac où une couleur est plus présente par bille, ce raisonnement ne tient plus tel quel.

5. Commettre l'erreur du joueur. Après plusieurs « pile », « face » n'est pas « dû ». Chaque lancer est indépendant : la probabilité reste la même, sans mémoire des essais passés.

6. Confondre probabilité et fréquence. La probabilité est une prévision théorique calculée avant l'expérience ; la fréquence est mesurée après, sur des essais réels. Elles se rapprochent sur un grand nombre d'essais, mais ne sont pas identiques sur un petit nombre.

Application concrète

Yasmine a préparé un sac pour un jeu à la kermesse de son collège, à Casablanca. Le sac contient 6 billes : 3 rouges, 2 vertes et 1 bleue. On tire une bille au hasard, sans regarder. Toutes les billes ont la même chance d'être tirées : on est en équiprobabilité.

Étape 1 — Décrire l'univers.

L'expérience « tirer une bille » a 6 issues possibles (les 6 billes). L'univers compte donc 6 issues équiprobables.

Étape 2 — Calculer la probabilité de chaque couleur.

On applique $P={\displaystyle \frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}}$ avec 6 issues possibles. Rouge : ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Verte : ${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Bleue : ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Étape 3 — Vérifier que la somme vaut 1.

${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{6}{6}}=1.$

La somme des probabilités de toutes les couleurs vaut 1 : c'est le contrôle qui confirme qu'on n'a oublié aucune bille.

Étape 4 — Placer sur l'échelle et corriger Karim.

Tirer rouge (${\displaystyle \frac{1}{2}}$) est l'événement le plus probable, tirer bleu (${\displaystyle \frac{1}{6}}$) le moins probable. Karim, lui, affirme : « il y a 3 rouges, donc la probabilité de rouge est 3 ». Yasmine corrige : une probabilité ne peut pas valoir 3, elle est toujours entre 0 et 1. Karim a confondu le nombre de billes favorables (3) avec la probabilité (le rapport ${\displaystyle \frac{3}{6}}$). La probabilité, c'est toujours favorables divisé par possibles.

Conclusion. Avec une seule formule et un contrôle par la somme, Yasmine a entièrement décrit le hasard de son jeu. Cette logique du « favorables sur possibles » te suivra longtemps : en 3ᵉ avec des expériences à plusieurs étapes, puis au lycée où les probabilités deviendront un domaine à part entière des mathématiques.

À retenir