Les expressions littérales

Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Tu manipules déjà des expressions littérales depuis des années sans le savoir. Les formules de périmètre et d'aire du primaire en sont remplies : $P=2\times L+2\times \mathrm{\ell }$ pour le rectangle, $A=c\times c$ pour le carré, $V=L\times \mathrm{\ell }\times h$ pour le pavé droit. Dans toutes ces formules, les lettres ne sont pas des inconnues à trouver : elles désignent un nombre quelconque, qu'on choisira au moment du calcul.

Par exemple, $3x+2$ est une expression littérale. La lettre $x$ peut désigner $5$ (et alors $3x+2=17$), ou $-2$ (et alors $3x+2=-4$), ou n'importe quel autre nombre. La force d'une expression littérale, c'est justement de couvrir tous les cas en une seule écriture.

Les conventions d'écriture

En calcul littéral, on simplifie l'écriture pour aller plus vite. Trois règles à mémoriser :

• Devant une lettre, le signe $\times$ disparaît. On écrit $3a$ au lieu de $3\times a$, et $5x$ au lieu de $5\times x$.
• Entre deux lettres, le signe $\times$ disparaît aussi. On écrit $ab$ au lieu de $a\times b$, et $xy$ au lieu de $x\times y$.
• Devant une parenthèse, le signe $\times$ disparaît. On écrit $3(a+b)$ au lieu de $3\times (a+b)$.

Mais attention : entre deux nombres, le $\times$ reste obligatoire. Si tu écris $3\times 5$ sans le $\times$, tu obtiens $35$, ce qui n'a plus rien à voir.

Les puissances en notation simplifiée

Quand une lettre est multipliée par elle-même, on utilise une puissance : $a\times a$ s'écrit $a^2$ (qui se lit "a au carré"), et $a\times a\times a$ s'écrit $a^3$ ("a au cube"). C'est exactement la même règle que pour les nombres ($5^2=25$).

Donc l'aire d'un carré de côté $c$ s'écrit aussi bien $c\times c$ que $c^2$. Les deux écritures sont équivalentes ; on préfère $c^2$ qui est plus compact.

Calculer la valeur d'une expression littérale

Une expression littérale prend une valeur numérique précise dès qu'on remplace ses lettres par des nombres. Cette opération s'appelle la substitution.

Exemple. Calcule la valeur de $3x+2$ pour $x=4$.

On remplace : $3\times 4+2=12+2=14$. Donc l'expression vaut $14$ quand $x=4$.

Note bien que le signe $\times$ réapparaît au moment de la substitution. La règle "le $\times$ disparaît devant une lettre" ne s'applique qu'au calcul littéral. Dès qu'on remplace la lettre par un nombre, on est de retour entre deux nombres, et le $\times$ redevient obligatoire.

Le piège des nombres relatifs

Quand tu remplaces une lettre par un nombre négatif, il faut toujours mettre le nombre entre parenthèses. Sinon tu confonds le signe du nombre avec une opération.

Exemple 1. Calcule $3x+2$ pour $x=-5$.

Bonne méthode : $3\times (-5)+2=-15+2=-13$.

Mauvaise méthode : $3\times -5+2$ — cette écriture est ambiguë, on ne sait plus si le $-$ est un signe ou une opération. Au chapitre 1 sur les nombres relatifs, tu as vu que les parenthèses servent justement à distinguer signe et opération. C'est exactement le même réflexe ici.

Exemple 2. Calcule $a^2-4$ pour $a=-3$.

Bonne méthode : $(-3{)}^2-4=9-4=5$.

Si tu écris $-3^2-4$, la priorité fait calculer $3^2=9$ d'abord, puis on applique le signe : $-9-4=-13$. Le résultat n'est pas le même. Donc les parenthèses changent vraiment le résultat ; ne les oublie jamais quand tu substitues un nombre négatif.

Plusieurs lettres, plusieurs valeurs

Quand une expression contient plusieurs lettres, il faut une valeur pour chacune.

Exemple. Calcule $2a+3b$ pour $a=5$ et $b=-2$.

$2\times 5+3\times (-2)=10+(-6)=4$

L'expression vaut $4$ pour ce choix de $a$ et $b$. Pour d'autres valeurs, le résultat serait différent — c'est ça la flexibilité du calcul littéral.

Tester une égalité

Quand on écrit une égalité entre deux expressions littérales, comme $3x+2=11$, deux questions se posent : cette égalité est-elle vraie pour toutes les valeurs de $x$, ou seulement pour certaines ?

Exemple 1. L'égalité $3x+2=11$ est-elle vraie pour $x=3$ ?

Membre de gauche : $3\times 3+2=11$. Membre de droite : $11$. Les deux donnent $11$, donc l'égalité est vraie pour $x=3$.

Exemple 2. Même égalité, est-elle vraie pour $x=5$ ?

Membre de gauche : $3\times 5+2=17$. Membre de droite : $11$. Les deux résultats, $17$ et $11$, ne sont pas égaux. L'égalité est fausse pour $x=5$.

Cette égalité $3x+2=11$ n'est donc vraie que pour certaines valeurs de $x$. Trouver la valeur exacte qui rend l'égalité vraie, c'est résoudre une équation — un sujet que tu étudieras en détail en 4e.

Les égalités toujours vraies

Certaines égalités sont vraies pour toutes les valeurs des lettres. Par exemple, $2(a+3)=2a+6$ est vraie quel que soit $a$. Tu peux le tester pour $a=0$ ($2\times 3=6$ ✓), pour $a=5$ ($2\times 8=16$ et $2\times 5+6=16$ ✓), ou pour $a=-1$ ($2\times 2=4$ et $-2+6=4$ ✓). Ce genre d'égalité est en fait une règle de calcul déguisée — celle de la distributivité, qu'on étudiera à la dernière leçon.

Réduire une expression

Quand une expression contient plusieurs termes "du même type", on peut la réduire : la réécrire en moins de termes, sans en changer la valeur.

Quelques exemples de termes semblables :

• $3x$ et $-7x$ (tous deux en $x$)
• $4ab$ et $-2ab$ (tous deux en $ab$)
• $5y^2$ et $y^2$ (tous deux en $y^2$)

Et de termes non semblables :

• $3x$ et $3x^2$ (l'un est en $x$, l'autre en $x^2$)
• $3a$ et $3b$ (lettres différentes)

Exemple 1. Réduis $3a+5a$.

Les deux termes sont semblables. On additionne les coefficients : $3+5=8$. Donc $3a+5a=8a$.

Exemple 2. Réduis $7x-4x+2x$.

Tous les termes sont en $x$. On calcule $7-4+2=5$. Donc $7x-4x+2x=5x$.

Exemple 3. Réduis $4a+3b+2a-5b$.

On regroupe les termes en $a$ et les termes en $b$ séparément. $4a+2a=6a$ et $3b-5b=-2b$. L'expression réduite est $6a-2b$.

Le piège de la lettre seule

Quand une lettre apparaît "toute seule", sans coefficient visible, son coefficient est $1$. De même, quand elle apparaît avec un signe $-$ devant elle, son coefficient est $-1$.

Exemple 1. Réduis $a+3a$.

La lettre $a$ "toute seule" compte comme $1a$. Donc $a+3a=1a+3a=4a$.

Exemple 2. Réduis $5x-x$.

Le $-x$ compte comme $-1x$. Donc $5x-x=5x-1x=4x$.

Cette convention est naturelle quand on y pense, mais elle piège souvent. Le réflexe à prendre : dès qu'une lettre est seule, lui imaginer mentalement un $1$ devant.

Distribuer et factoriser

Une dernière opération essentielle du calcul littéral, qu'on retrouvera dans tous les chapitres d'algèbre suivants : la distributivité.

C'est la règle qui permet de "supprimer" une parenthèse en multipliant chaque terme intérieur par le facteur extérieur.

Exemple 1. Développe $3(x+4)$.

On multiplie $3$ par chaque terme entre parenthèses : $3\times x+3\times 4=3x+12$.

Exemple 2. Développe $5(2a-3)$.

$5\times 2a-5\times 3=10a-15$.

Le piège du signe négatif

Quand le facteur extérieur est négatif, chaque terme entre parenthèses change de signe. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Exemple. Développe $-3(x-2)$.

On multiplie $-3$ par $x$ (donne $-3x$), puis $-3$ par $-2$ (donne $+6$, parce qu'un produit de deux négatifs est positif — règle vue au chapitre 1). Résultat : $-3x+6$.

L'erreur classique consiste à écrire $-3x-6$ en oubliant que le second produit est positif. Pour t'éviter ce piège, le bon réflexe est de toujours calculer le signe et la valeur séparément pour chaque terme.

La factorisation : l'opération inverse

Quand on a une expression sous la forme $ka+kb$, on peut la factoriser : la réécrire comme $k(a+b)$.

Exemple 1. Factorise $3x+3y$.

Le facteur commun est $3$. On l'écrit devant la parenthèse : $3x+3y=3(x+y)$.

Exemple 2. Factorise $7a-7$.

Le facteur commun est $7$. Attention au second terme : $7$ tout seul, c'est $7\times 1$. Donc $7a-7=7(a-1)$.

Exemple 3. Factorise $5x+10$.

Le facteur commun n'est pas immédiatement visible. Mais $10=5\times 2$, donc l'expression devient $5x+5\times 2=5(x+2)$.

Pièges classiques

Les six erreurs qui reviennent le plus en classe sur ce chapitre.

Piège 1 : oublier les parenthèses lors de la substitution d'un nombre négatif. Quand on remplace $x$ par $-3$ dans $2x+1$, on doit écrire $2\times (-3)+1$, pas $2\times -3+1$. Le risque : confondre le signe du nombre avec l'opération qui le précède. La parenthèse rend l'écriture sans ambiguïté.

Piège 2 : confondre $2a$ et $a^2$. Ce sont deux choses très différentes. $2a$ veut dire $a+a$ (deux fois la même quantité), et $a^2$ veut dire $a\times a$ (le carré). Pour $a=3$ : $2a=6$ mais $a^2=9$. Apprends à les distinguer en les calculant pour quelques valeurs.

Piège 3 : réduire des termes non semblables. $3a+5b$ ne se réduit pas. On ne peut pas écrire $8ab$, ni $8a$, ni $8b$. Tant que les parties littérales sont différentes, l'expression reste telle quelle. Réduire revient à compter ensemble des "objets identiques" — additionner $3$ pommes et $5$ oranges ne donne ni $8$ pommes ni $8$ oranges.

Piège 4 : se tromper de signe en distribuant un facteur négatif. Dans $-2(x-5)$, le $-2$ doit multiplier les deux termes : $-2\times x=-2x$ et $-2\times (-5)=+10$. Donc $-2(x-5)=-2x+10$, pas $-2x-10$. Le réflexe à prendre : traiter chaque terme séparément, signe par signe.

Piège 5 : oublier le coefficient $1$ devant une lettre seule. Quand on réduit $4x-x$, on doit voir le second terme comme $-1x$, pas comme un terme à ignorer. Donc $4x-x=3x$, pas $4x$. Pareil dans $a+5a$, où le $a$ tout seul vaut $1a$ : le résultat est $6a$.

Piège 6 : confondre développer et factoriser. "Développer", c'est passer de $k(a+b)$ à $ka+kb$ : on supprime la parenthèse. "Factoriser", c'est l'inverse : passer de $ka+kb$ à $k(a+b)$, on fait apparaître une parenthèse. Si l'énoncé demande "factorise", ne réponds pas avec une expression sans parenthèses.

Application concrète

Yasmine compare deux forfaits internet pour son téléphone. Le forfait A coûte $30$ dirhams d'abonnement par mois, plus $2$ dirhams par giga-octet consommé. Le forfait B est à tarif unique : $5$ dirhams par giga, sans abonnement.

Elle ne sait pas combien de gigas elle consommera ce mois-ci, donc elle décide d'écrire le coût de chaque forfait sous forme d'expression littérale, en notant $g$ le nombre de gigas consommés.

Étape 1 — Écrire les expressions.

Pour le forfait A : $30$ dirhams fixes, plus $2$ dirhams par giga, donc le coût est $30+2g$ dirhams.

Pour le forfait B : $5$ dirhams par giga, sans rien d'autre, donc le coût est $5g$ dirhams.

Étape 2 — Calculer pour quelques valeurs.

Yasmine teste pour $g=5$, $g=10$ et $g=15$ gigas, en substituant la valeur dans chaque expression.

Gigas $g$	Forfait A : $30+2g$	Forfait B : $5g$
$5$	$30+2\times 5=40$ dh	$5\times 5=25$ dh
$10$	$30+2\times 10=50$ dh	$5\times 10=50$ dh
$15$	$30+2\times 15=60$ dh	$5\times 15=75$ dh

À $5$ gigas, B est moins cher. À $15$ gigas, A est moins cher. Il y a donc un seuil où les deux forfaits coûtent la même chose.

Étape 3 — Tester l'égalité au seuil.

D'après le tableau, le seuil semble être à $10$ gigas. Yasmine vérifie : pour $g=10$, est-ce que $30+2g=5g$ ?

Membre de gauche : $30+2\times 10=50$. Membre de droite : $5\times 10=50$. Les deux valent $50$, donc l'égalité est vraie pour $g=10$. Le seuil est confirmé.

Étape 4 — Réduire une expression.

Si Yasmine cumule les forfaits A et B (par exemple parce qu'elle paie aussi celui de son frère), son coût total est $30+2g+5g$ dirhams. Elle réduit : $2g+5g=7g$, donc le coût total s'écrit $30+7g$ dirhams — beaucoup plus simple à manipuler.

Étape 5 — Factoriser.

Yasmine remarque que le forfait A peut s'écrire $30+2g$, mais aussi sous forme factorisée. Elle cherche un facteur commun à $30$ et à $2g$ : c'est $2$, puisque $30=2\times 15$ et $2g=2\times g$. Donc le forfait A se factorise en $2(15+g)$. Cette écriture met en évidence que le forfait coûte deux fois "quinze plus le nombre de gigas" — pas forcément plus utile au quotidien, mais ça reste une réécriture correcte du même prix.

Conclusion.

Avec une seule lettre $g$, Yasmine a couvert tous les cas en même temps — au lieu de refaire le calcul pour chaque nombre de gigas possible. C'est exactement ce que sert le calcul littéral : décrire en une seule fois une infinité de situations. Tu utiliseras ce même outil au lycée pour modéliser des situations en physique (distance parcourue en fonction du temps), en finance (intérêts en fonction du capital), et même en biologie (population en fonction du temps).

À retenir