Se repérer dans l'espace

Repérage sur une droite graduée

Tu connais déjà la droite graduée depuis l'école primaire : une droite sur laquelle on a marqué l'origine $0$, choisi un sens (la flèche), et reporté une unité de longueur pour graduer la suite. En 5e, on étend cet outil aux nombres relatifs (vus au chapitre 1) et aux nombres rationnels (vus au chapitre 3) — donc à tout nombre que tu connais.

Sur la droite graduée ci-dessus, le point $A$ a pour abscisse $-3$, le point $B$ a pour abscisse $-\mathrm{1,5}$, le point $C$ a pour abscisse $2$, et le point $D$ a pour abscisse ${\displaystyle \frac{7}{2}}$ (soit $\mathrm{3,5}$).

Lire et placer un point

Pour lire l'abscisse d'un point déjà placé, tu repères sa position et tu lis le nombre correspondant sur la droite. Pour placer un point d'abscisse donnée, tu fais l'inverse : tu pars de l'origine et tu te déplaces de ce nombre d'unités, dans le sens positif si l'abscisse est positive, dans le sens contraire si elle est négative.

Exemple. Place sur une droite graduée le point $E$ d'abscisse $-\mathrm{2,5}$.

Tu pars de l'origine $0$, tu te diriges dans le sens des nombres négatifs (à gauche, par convention), et tu avances de $\mathrm{2,5}$ unités — soit deux unités complètes, puis la moitié de l'unité suivante. Tu obtiens un point situé entre $-2$ et $-3$, plus précisément à mi-chemin.

Repérage dans le plan : le repère orthogonal

Une droite graduée permet de repérer un point sur une ligne. Pour repérer un point dans un plan (une feuille de papier, une carte), une seule droite ne suffit plus : il faut deux nombres pour distinguer les points.

Pour le point $A$ situé à $3$ unités à droite de l'origine et $2$ unités au-dessus, on note $A(3;2)$. Le $3$ est l'abscisse de $A$, le $2$ est son ordonnée.

L'ordre des coordonnées est strict

Le couple $(3;2)$ et le couple $(2;3)$ ne désignent pas le même point. Dans un repère, l'abscisse vient toujours en premier, l'ordonnée en second. Cette convention est universelle en mathématiques, et tu la retrouveras à tous les niveaux suivants.

Astuce pour ne plus l'oublier : les deux mots sont dans l'ordre alphabétique, abscisse avant ordonnée. Et les deux axes sont dans l'ordre alphabétique aussi : $x$ vient avant $y$.

Lire les coordonnées d'un point

Pour lire les coordonnées d'un point $M$ déjà placé dans un repère, tu fais deux projections perpendiculaires :

1. Tu projettes $M$ sur l'axe horizontal en traçant une ligne verticale depuis $M$ : le pied de cette ligne donne l'abscisse.
2. Tu projettes $M$ sur l'axe vertical en traçant une ligne horizontale depuis $M$ : le pied de cette ligne donne l'ordonnée.

C'est la procédure systématique. Elle marche même si le point est dans une zone "négative" du repère.

Placer un point et identifier son quadrant

Pour placer un point dont on connaît les coordonnées, c'est exactement l'opération inverse de la lecture. Tu pars de l'origine, tu avances horizontalement de l'abscisse (dans le sens positif si elle est positive, négatif sinon), puis tu avances verticalement de l'ordonnée. Le point obtenu est unique.

Exemple 1. Place le point $D(4;-3)$.

Depuis $O$, tu avances de $4$ unités vers la droite (abscisse positive), puis de $3$ unités vers le bas (ordonnée négative). Le point $D$ est dans la zone "en bas à droite" du repère.

Exemple 2. Place le point $E(-{\displaystyle \frac{3}{2}};2)$.

L'abscisse est $-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-\mathrm{1,5}$. Depuis $O$, tu avances de $\mathrm{1,5}$ unité vers la gauche, puis de $2$ unités vers le haut. Le point $E$ est entre les graduations $-2$ et $-1$ horizontalement, et à $2$ verticalement.

Les quatre quadrants

Les deux axes du repère découpent le plan en quatre régions, appelées quadrants. Chaque quadrant correspond à une combinaison de signes pour les coordonnées.

Quadrant	Position	Signe de $x$	Signe de $y$
1	en haut à droite	$+$	$+$
2	en haut à gauche	$-$	$+$
3	en bas à gauche	$-$	$-$
4	en bas à droite	$+$	$-$

Astuce. Pour identifier rapidement le quadrant d'un point, regarde uniquement les signes des coordonnées, pas leurs valeurs. Le point $(127;-3)$ et le point $(\mathrm{0,1};-1000)$ sont tous les deux dans le quadrant 4, parce que leur abscisse est positive et leur ordonnée négative.

Cas particulier : un point sur un axe

Si une coordonnée est nulle, le point est sur l'un des axes :

• $(x;0)$ : ordonnée nulle, donc le point est sur l'axe des abscisses (horizontal).
• $(0;y)$ : abscisse nulle, donc le point est sur l'axe des ordonnées (vertical).
• $(0;0)$ : c'est l'origine $O$ elle-même.

Se repérer sur la sphère terrestre

Le plan d'un repère orthogonal a deux dimensions, mais la Terre est une sphère. Pour repérer un point à sa surface, on utilise un système de coordonnées adapté à cette géométrie particulière : la latitude et la longitude.

Le cas du Maroc

Le Maroc est entièrement situé au Nord de l'équateur (latitudes entre 21° N et 36° N) et à l'Ouest du méridien de Greenwich (longitudes entre 1° O et 17° O). Voici les coordonnées approximatives de quelques villes :

Ville	Latitude	Longitude
Tanger	$35\mathrm{°}$ N	$6\mathrm{°}$ O
Casablanca	$33\mathrm{°}$ N	$8\mathrm{°}$ O
Ifrane	$33\mathrm{°}$ N	$5\mathrm{°}$ O
Marrakech	$32\mathrm{°}$ N	$8\mathrm{°}$ O

À la lecture de ce tableau, tu peux déjà tirer plusieurs informations. Tanger a la latitude la plus élevée : c'est la ville la plus au nord. Casablanca et Marrakech ont la même longitude $8\mathrm{°}$ O : elles sont alignées sur le même méridien, l'une au nord de l'autre. Casablanca et Ifrane ont la même latitude $33\mathrm{°}$ N : elles sont alignées sur le même parallèle, l'une à l'ouest de l'autre.

Lien avec le repère orthogonal

Sur une carte plate (un planisphère, ou une carte du Maroc affichée dans un manuel), la latitude se lit comme une ordonnée : plus on monte sur la carte, plus la latitude augmente. La longitude se lit comme une abscisse : plus on va vers la droite, plus la longitude augmente vers l'Est. Donc passer d'une carte à un repère orthogonal n'est pas si compliqué — c'est simplement un changement d'unités.

Pièges classiques

Six erreurs récurrentes en classe sur ce chapitre.

Piège 1 : inverser abscisse et ordonnée. L'erreur n°1 du chapitre. Le couple $(3;5)$ et le couple $(5;3)$ désignent deux points différents. Réflexe à acquérir : abscisse en premier, toujours ; pense à l'ordre alphabétique, abscisse avant ordonnée.

Piège 2 : oublier le signe d'une coordonnée négative. Quand un point est à gauche de l'origine, son abscisse est négative ; quand il est en dessous, son ordonnée est négative. Si tu lis la coordonnée d'un point à gauche et que tu écris $(2;3)$ au lieu de $(-2;3)$, tu places le point au mauvais endroit.

Piège 3 : confondre latitude et longitude. La latitude mesure le Nord-Sud (écart à l'équateur), la longitude mesure l'Est-Ouest (écart à Greenwich). Un moyen de retenir : "latitude" rime avec "largeur du globe nord-sud", "longitude" comme "long tour de la Terre d'est en ouest".

Piège 4 : lire une coordonnée sur la mauvaise graduation. Quand tu projettes un point sur un axe, fais bien attention à projeter perpendiculairement à cet axe (donc verticalement pour l'axe des abscisses, horizontalement pour l'axe des ordonnées). Une projection oblique donne un faux résultat.

Piège 5 : mal compter quand l'unité n'est pas 1. Les graduations principales d'un repère ne valent pas toujours 1. Sur une carte, un carreau peut représenter 5 km, 10 km, 50 km. Lis toujours l'échelle ou la valeur d'un grand carreau avant de placer ou lire un point.

Piège 6 : confondre "Nord" et "haut". Sur les cartes courantes, le Nord est en haut par convention typographique. Mais ce n'est pas une règle mathématique : on peut très bien tracer un repère où le Nord serait à gauche, ou en bas. Vérifie toujours l'orientation indiquée par la rose des vents ou l'étiquette des axes.

Application concrète

Yasmine prépare un voyage scolaire avec sa classe : la 5ᵉ B part de Casablanca pour visiter Tanger pendant le week-end, avec une étape déjeuner à Rabat. Le professeur leur fournit deux représentations différentes du Maroc — une carte régionale dans un repère orthogonal (échelle simple, un carreau = 50 km), et un atlas avec les coordonnées géographiques exactes.

Étape 1 — Lire les coordonnées du point de départ.

Sur la carte régionale, Casablanca est marquée par un point. Yasmine projette ce point sur les deux axes : l'axe horizontal donne $4$, l'axe vertical donne $5$. Donc, sur cette carte, Casablanca a pour coordonnées $(4;5)$.

Étape 2 — Placer la destination.

Le professeur indique que Tanger a pour coordonnées $(5;11)$ sur la même carte. Yasmine part de l'origine, avance de $5$ carreaux vers la droite, puis de $11$ carreaux vers le haut, et marque le point. Tanger est bien plus haut que Casablanca, ce qui est cohérent avec sa position géographique : Tanger est plus au nord.

Étape 3 — Placer l'étape intermédiaire.

Rabat se trouve entre Casablanca et Tanger sur le trajet. Sur la carte, ses coordonnées sont $(\mathrm{4,5};7)$. L'abscisse $\mathrm{4,5}$ se lit "à mi-chemin entre 4 et 5", et l'ordonnée $7$ correspond à 7 carreaux vers le haut. Yasmine place le point.

Étape 4 — Comparer avec les coordonnées géographiques.

Sur l'atlas, Yasmine relève les coordonnées géographiques des trois villes :

Ville	Carte régionale (carreaux)	Atlas (degrés)
Casablanca	$(4;5)$	$33\mathrm{°}$ N, $8\mathrm{°}$ O
Rabat	$(\mathrm{4,5};7)$	$34\mathrm{°}$ N, $7\mathrm{°}$ O
Tanger	$(5;11)$	$35\mathrm{°}$ N, $6\mathrm{°}$ O

Yasmine remarque que les deux représentations sont cohérentes : sur les deux, Tanger est la plus au nord (ordonnée la plus grande sur la carte, latitude la plus grande dans l'atlas) et Casablanca la plus au sud. De même, Tanger est la plus à l'est sur la carte (abscisse la plus grande), et c'est aussi la plus à l'est en longitude ($6\mathrm{°}$ O est moins "à l'ouest" que $8\mathrm{°}$ O).

Conclusion.

Yasmine a utilisé deux systèmes de coordonnées différents — l'un en carreaux sur une carte locale, l'autre en degrés sur le globe — et elle a vérifié qu'ils racontent la même chose. C'est exactement ça, le pouvoir d'un système de coordonnées : représenter une position de manière fiable, qu'on travaille à l'échelle d'un quartier, d'un pays ou de la planète. Tu retrouveras cette même logique au lycée, en physique pour repérer un mouvement, et en géographie pour étudier les climats.

À retenir