Se repérer dans l'espace — exercices corrigés

Une droite graduée est définie par trois éléments. Lequel des éléments suivants n'en fait pas partie ?

Sur une droite graduée d'origine $O$ et d'unité $1$, un point $A$ est placé à 4 graduations à droite de l'origine.

Quelle est l'abscisse de $A$ ?

Sur une droite graduée d'origine $O$ et d'unité $1$, un point $B$ est placé à 3 graduations à gauche de l'origine.

Quelle est l'abscisse de $B$ ?

L'écriture $C(\mathrm{2,5})$ signifie que le point $C$ a pour abscisse $\mathrm{2,5}$ sur une droite graduée.

Dans un repère orthogonal du plan, comment s'appelle l'axe horizontal ?

Dans le couple de coordonnées $(x;y)$ d'un point, dans quel ordre les nombres sont-ils écrits ?

Dans un repère orthogonal, quelles sont les coordonnées de l'origine $O$ ?

Dans un repère orthogonal d'unité $1$, le point $M$ a pour coordonnées $(5;2)$.

Quelle est l'abscisse de $M$ ?

Dans un repère orthogonal d'unité $1$, le point $N$ a pour coordonnées $(4;-3)$.

Quelle est l'ordonnée de $N$ ?

En combien de quadrants les deux axes d'un repère orthogonal découpent-ils le plan ?

Le point $A(3;5)$ se trouve dans quel quadrant du repère ?

Le point $B(-2;-7)$ se trouve dans quel quadrant du repère ?

Le point $P(5;0)$ se trouve sur l'axe des abscisses.

Les couples de coordonnées $(2;5)$ et $(5;2)$ désignent le même point dans un repère orthogonal.

Pour placer le point $C(-3;4)$ dans un repère orthogonal, en partant de l'origine, dans quels sens dois-tu te déplacer ?

Pour repérer un point sur la sphère terrestre, on utilise deux coordonnées qui s'appellent :

Quelle est la latitude des points situés sur l'équateur, en degrés ?

Quelle est la longitude des points situés sur le méridien de Greenwich, en degrés ?

Le Maroc est situé au Nord de l'équateur, donc ses villes ont toutes une latitude Nord.

Voici les latitudes approximatives de quatre villes marocaines :

Quelle est la ville la plus au Nord ?

Sur une droite graduée d'origine $O$ et d'unité $1$, un point $A$ est placé à mi-chemin entre les graduations $2$ et $3$.

Quelle est l'abscisse de $A$ ? (Réponds sous forme décimale.)

Sur une droite graduée d'unité $1$, le point $B$ a pour abscisse ${\displaystyle \frac{7}{2}}$.

Entre quelles graduations entières $B$ se trouve-t-il ?

Sur une droite graduée, un grand carreau correspond à $5$ unités. Le point $D$ est placé à $7$ grands carreaux à droite de l'origine.

Quelle est l'abscisse de $D$ ?

Le point $E(7;2)$ est situé plus haut que le point $F(2;7)$.

Dans un repère orthogonal, le symétrique du point $A(3;5)$ par rapport à l'axe des abscisses a pour coordonnées :

Dans un repère orthogonal, le symétrique du point $B(-4;2)$ par rapport à l'axe des ordonnées a pour coordonnées :

Dans un repère orthogonal d'unité $1$, on considère deux points $G(2;4)$ et $H(10;4)$.

Quelle est la distance entre $G$ et $H$ ?

Dans un repère orthogonal d'unité $1$, on considère deux points $I(3;-2)$ et $J(3;5)$.

Quelle est la distance entre $I$ et $J$ ?

Dans quel quadrant se trouve le point $K(0;4)$ ?

Le point $L(7;-3)$ se trouve dans quel quadrant du repère ?

Le point $M(\mathrm{\square };\mathrm{\square })$ se trouve dans le quadrant 3 (en bas à gauche).

Lequel de ces couples de coordonnées est possible pour $M$ ?

Tous les points qui ont la même abscisse sont alignés sur une même droite verticale.

Dans un repère orthogonal, le symétrique du point $N(3;-4)$ par rapport à l'origine $O$ a pour coordonnées :

Yasmine dessine le plan de son quartier dans un repère orthogonal d'unité 1 (un carreau = 100 mètres). Sa maison est au point $M(2;3)$ et l'école est au point $E(2;7)$.

Combien de carreaux Yasmine doit-elle parcourir pour aller de chez elle à l'école, en supposant que le chemin va tout droit ?

Sur la sphère terrestre, laquelle de ces mesures indique l'écart Est-Ouest d'un point par rapport au méridien de Greenwich ?

Casablanca ($33\mathrm{°}$ N, $8\mathrm{°}$ O) et Marrakech ($32\mathrm{°}$ N, $8\mathrm{°}$ O) sont alignées sur le même méridien.

Voici les coordonnées de quatre villes :

Lesquelles de ces villes sont sur le même parallèle ?

Voici les latitudes de quatre villes marocaines :

Classe ces villes du plus au Sud au plus au Nord.

Tanger se trouve à une latitude de $35\mathrm{°}$ N et Agadir à une latitude de $30\mathrm{°}$ N.

Quelle est la différence de latitude entre les deux villes, en degrés ?

Amine consulte un planisphère et observe que Le Caire (capitale de l'Égypte) a pour longitude environ $31\mathrm{°}$ E.

Que peut-il dire de la position du Caire par rapport au méridien de Greenwich ?

Salma lit un point placé à gauche de l'origine et $2$ carreaux au-dessus. Elle écrit $(3;2)$. Son écriture est-elle correcte ?

Sur la carte de Karim, un grand carreau vaut $50$ km. Une ville est à $4$ carreaux de Casablanca. Karim dit qu'elle est à $4$ km. Quelle distance a-t-il oubliée ?

Sur une droite graduée d'origine $O$ et d'unité $1$, on considère cinq points dont les abscisses sont :

$A:-2;B:{\displaystyle \frac{3}{2}};C:-{\displaystyle \frac{1}{2}};D:\mathrm{2,25};E:-\mathrm{1,75}$

Range ces cinq points dans l'ordre croissant de leurs abscisses.

Sur une droite graduée d'unité $1$, le point $P$ a pour abscisse $-3$ et le point $Q$ a pour abscisse $\mathrm{4,5}$.

Calcule la distance entre $P$ et $Q$, en unités.

Dans un repère orthogonal d'unité $1$, on considère deux points $A(2;3)$ et $B(8;11)$.

Calcule les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$.

Dans un repère orthogonal d'unité $1$, on considère deux points $C(1;2)$ et $D(5;5)$.

a) Quelle est la différence entre les abscisses de $C$ et $D$ ? b) Quelle est la différence entre les ordonnées de $C$ et $D$ ?

Les questions a) et b) ne demandent que des outils de 5ᵉ. La question suivante est un bonus « pour aller plus loin », hors-programme de 5ᵉ : elle utilise un théorème que tu apprendras en 4ᵉ et n'est pas exigible cette année.

c) (Bonus, anticipation 4ᵉ.) Imagine un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit ont pour longueurs ces deux différences. Quelle serait la longueur de l'hypoténuse de ce triangle ?

(Indication : utilise le théorème de Pythagore, que tu verras en 4ᵉ : si les deux côtés de l'angle droit mesurent $a$ et $b$, l'hypoténuse mesure $\sqrt{a^2+b^2}$. Ici, les nombres sont choisis pour tomber juste.)

Dans un repère orthogonal d'unité $1$, on considère trois sommets d'un rectangle $ABCD$ :

• $A(2;1)$
• $B(7;1)$
• $C(7;4)$

a) Quelles sont les coordonnées du quatrième sommet $D$ ? b) Quel est le périmètre du rectangle ?

Karim doit lire les coordonnées d'un point $P$ dans un repère. Il dit : « Je trace une ligne oblique depuis $P$ vers l'axe horizontal, puis je lis le nombre où la ligne touche l'axe. Ça me donne l'abscisse. »

La méthode de Karim est-elle correcte ? Si non, explique l'erreur et donne la bonne méthode.

Salma propose le point $S(-4;0)$. Karim affirme : « $S$ est dans le quadrant 2, parce que son abscisse est négative. »

Karim a-t-il raison ? Justifie ta réponse.

Soit le point $A(3;-5)$. On effectue successivement :

• étape 1 : la symétrie de $A$ par rapport à l'axe des abscisses, qui donne un point $B$ ;
• étape 2 : la symétrie de $B$ par rapport à l'axe des ordonnées, qui donne un point $C$.

Donne les coordonnées de $B$, puis de $C$.

Yasmine se déplace dans son quartier modélisé en repère orthogonal d'unité $1$ (un carreau = 100 mètres). Elle part de chez elle, $M(2;1)$, passe à la boulangerie $B(2;5)$, puis chez son amie $A(8;5)$, et enfin au café $C(8;2)$ avant de rentrer chez elle.

a) Calcule la longueur de chaque tronçon : $MB$, $BA$, $AC$, $CM$. b) Quelle est la longueur totale du parcours de Yasmine, en carreaux ?

Dans un repère orthogonal d'unité $1$, on considère les quatre sommets d'un rectangle :

• $A(-3;-2)$
• $B(3;-2)$
• $C(3;2)$
• $D(-3;2)$

Quelle est l'aire de ce rectangle, en unités² ?

Le point $T(\mathrm{0,001};-150)$ se trouve dans quel quadrant du repère ?

Les trois points $E(2;5)$, $F(2;-3)$ et $G(2;100)$ sont alignés sur une même droite verticale.

Karim veut placer dans un repère orthogonal d'unité $1$ les sommets d'un carré $KLMN$ dont :

• le sommet $K$ est au point $(1;2)$ ;
• le côté du carré mesure $4$ unités ;
• les côtés du carré sont parallèles aux axes.

Donne les coordonnées des trois autres sommets, en suivant l'ordre $K\to L\to M\to N$ (en tournant dans le sens trigonométrique : $L$ à droite de $K$, $M$ au-dessus de $L$, $N$ au-dessus de $K$).

Yasmine prépare le voyage scolaire de sa classe, qui passe par trois villes :

a) En allant de Casablanca à Tanger, comment évolue la latitude ? Et la longitude ? b) Que peux-tu en déduire sur la direction générale du voyage ?

Casablanca a pour longitude $8\mathrm{°}$ O et Le Caire a pour longitude $31\mathrm{°}$ E.

Quelle est la différence de longitude totale entre les deux villes, en degrés ?

Salma regarde une carte ancienne où le Nord est dessiné en bas (pas en haut comme sur les cartes modernes). Elle repère deux villes : Tanger et Marrakech, et constate que Tanger est dessinée plus bas sur la carte.

Salma en déduit : « Donc Tanger est plus au Sud que Marrakech. »

A-t-elle raison ? Justifie.

Le symétrique d'une ville par rapport à l'équateur est le point obtenu en gardant la même longitude, mais en inversant l'hémisphère (Nord devient Sud, ou inversement) avec la même valeur de latitude.

Quelle serait la latitude et la longitude du symétrique de Casablanca ($33\mathrm{°}$ N, $8\mathrm{°}$ O) par rapport à l'équateur ?

Voici cinq villes mondiales avec leur longitude approximative :

Classe ces villes de la plus à l'Ouest à la plus à l'Est.

Casablanca ($33\mathrm{°}$ N, $8\mathrm{°}$ O) et Marrakech ($32\mathrm{°}$ N, $8\mathrm{°}$ O) sont sur le même méridien.

Sachant qu'à la surface de la Terre, $1\mathrm{°}$ de latitude correspond à environ $111$ kilomètres, calcule la distance approximative à vol d'oiseau entre Casablanca et Marrakech, en kilomètres.

Karim crée la carte de son quartier dans un repère orthogonal d'unité $1$ (un carreau = 50 mètres). Il place :

• sa maison $M(2;3)$
• l'école $E(2;9)$
• le terrain de foot $F(8;9)$
• la boulangerie $B(8;5)$

a) Indique le quadrant ou l'axe de chaque point. b) Calcule la distance $ME$, $EF$ et $FB$, en mètres. c) Karim affirme : « En partant de chez moi, je vais à l'école, puis au foot, puis à la boulangerie, et je rentre chez moi en ligne droite. Mon trajet total est plus court que si j'allais directement de chez moi à la boulangerie. »

A-t-il raison ? Justifie sans calculer la distance directe (elle nécessiterait Pythagore).