Géométrie dans l'espace

Leçon 1 — Repérer un point dans l'espace

Dans un repère de l'espace, un point est décrit par trois coordonnées.

La première coordonnée indique une direction, la deuxième une autre direction, et la troisième représente souvent la hauteur.

Exemple. Dans un immeuble, on peut modéliser un point par : $A(4;2;7)\mathrm{.}$

Cela peut signifier : $4$ mètres vers l'est, $2$ mètres vers le nord, et $7$ mètres de hauteur.

Coordonnées d'un vecteur

Exemple. Soient : $A(1;3;2)\text{et}B(5;1;6)\mathrm{.}$

Alors : $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}5-1\\ 1-3\\ 6-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)\mathrm{.}$

Le piège du sens

Karim calcule $\overrightarrow{AB}$ en faisant coordonnées de $A$ moins coordonnées de $B$.

Il obtient donc l'opposé.

Attention : $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\mathrm{.}$

Leçon 2 — Norme et distance dans l'espace

La distance entre deux points dans l'espace prolonge la formule du plan.

Exemple. Soient : $A(1;2;3)\text{et}B(4;6;3)\mathrm{.}$

Alors : $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2+(3-3{)}^2}\mathrm{.}$

Donc : $AB=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5.$

Tu peux te représenter cette norme sur un pavé droit : la distance $AB$ n'est rien d'autre que sa grande diagonale.

Le piège de la troisième coordonnée

Salma oublie souvent la coordonnée $z$ et calcule seulement : $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}\mathrm{.}$

C'est la distance dans le plan, pas dans l'espace.

Leçon 3 — Droites dans l'espace

Une droite de l'espace peut être décrite par un point et un vecteur directeur.

Si une droite passe par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$, alors un point $M(x;y;z)$ appartient à la droite si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que : $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}\mathrm{.}$

Cela donne la représentation paramétrique : $x=x_A+ta,y=y_A+tb,z=z_A+tc\mathrm{.}$

Exemple. La droite passant par $A(1;2;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ admet pour représentation : $x=1+2t,y=2-t,z=3+4t\mathrm{.}$

Appartenance d'un point à une droite

Exemple. Le point $M(5;0;11)$ appartient-il à cette droite ?

On cherche un réel $t$ tel que : $5=1+2t,0=2-t,11=3+4t\mathrm{.}$

La première équation donne : $t=2.$

La deuxième donne aussi : $t=2.$

La troisième donne : $t=2.$

Le même paramètre fonctionne dans les trois équations. Donc $M$ appartient à la droite.

Le piège du paramètre

Karim trouve un $t$ qui marche pour $x$ et un autre $t$ qui marche pour $y$. Il conclut trop vite que le point appartient à la droite.

C'est faux : il faut le même $t$ pour $x$, $y$ et $z$.

Leçon 4 — Plans dans l'espace

Un plan peut être décrit par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par une équation cartésienne.

Plan défini par un point et deux directions

Cela signifie qu'à partir de $A$, on peut atteindre n'importe quel point du plan en combinant deux directions indépendantes.

Équation cartésienne d'un plan

Le vecteur : $\vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$

est un vecteur normal au plan, c'est-à-dire un vecteur perpendiculaire au plan.

D'où vient cette équation ? La démonstration

Ce théorème se démontre — et la démonstration te donne en prime la méthode pour écrire l'équation d'un plan. C'est un résultat exigible : sache le refaire. On utilise le fait, développé à la leçon suivante, que deux vecteurs sont orthogonaux exactement lorsque la somme des produits de leurs coordonnées est nulle (le produit scalaire est nul).

Caractérisons le plan $\mathcal{P}$ par l'un de ses points $A(x_A;y_A;z_A)$ et un vecteur normal $\vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ non nul. Puisque $\vec{n}$ est perpendiculaire au plan, un point $M(x;y;z)$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$ : $M\in \mathcal{P}⟺\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0.$

Or $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}x-x_A\\ y-y_A\\ z-z_A\end{array}\right)$, donc la condition d'orthogonalité s'écrit en coordonnées : $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.$

Développe et regroupe les constantes en posant $d=-(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A)$ : $ax+by+cz\underset{=d}{\underbrace{-(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A)}}=0⟺ax+by+cz+d=0.$

Tout plan admet donc bien une équation de cette forme, et $(a;b;c)\mathrm{\ne }(0;0;0)$ car $\vec{n}$ est non nul. Réciproquement, une telle équation avec $(a;b;c)\mathrm{\ne }(0;0;0)$ est celle du plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$. Retiens la méthode qui en découle : pour l'équation d'un plan, il te faut un point et un vecteur normal ; les coefficients $a$, $b$, $c$ sont les coordonnées du vecteur normal, et $d$ s'obtient en imposant que le point appartienne au plan.

Exemple. Le plan d'équation : $2x-y+3z-5=0$

a pour vecteur normal : $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\mathrm{.}$

Appartenance d'un point à un plan

Exemple. Le point $A(1;0;1)$ appartient-il au plan $2x-y+3z-5=0$ ?

On remplace : $2\times 1-0+3\times 1-5=0.$

Donc $A$ appartient au plan.

Le piège du vecteur normal

Salma pense que le vecteur normal est un vecteur du plan.

C'est l'inverse : le vecteur normal est perpendiculaire au plan.

Leçon 5 — Produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire permet d'étudier l'orthogonalité et les angles.

Exemple. Soient : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\text{et}\vec{v}\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -1\end{array}\right)\mathrm{.}$

Alors : $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times 4+(-1)\times 5+3\times (-1)=8-5-3=0.$

Comme le produit scalaire vaut $0$, les deux vecteurs sont orthogonaux.

Application aux droites et plans

Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan.

Si une droite a pour vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan a pour vecteur normal $\vec{n}$, alors :

• si $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{n}$, la droite est perpendiculaire au plan ;
• si $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$, la droite est parallèle au plan ou incluse dans le plan.

Le piège du produit coordonnée par coordonnée

Karim multiplie seulement les premières coordonnées pour conclure.

C'est faux. Il faut additionner les trois produits : $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$

Leçon 6 — Positions relatives

Dans l'espace, les objets peuvent se croiser, être parallèles, confondus, ou même ne jamais se rencontrer sans être parallèles.

Deux droites

Deux droites de l'espace peuvent être :

• sécantes ;
• parallèles ;
• confondues ;
• non coplanaires.

Deux droites non coplanaires ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. C'est une situation propre à l'espace.

Une droite et un plan

Une droite et un plan peuvent être :

• sécants ;
• parallèles ;
• la droite peut être incluse dans le plan.

Deux plans

Deux plans peuvent être :

• parallèles ;
• confondus ;
• sécants selon une droite.

Pièges classiques

1. Oublier la coordonnée $z$.
   Dans l'espace, tous les calculs utilisent trois coordonnées.

2. Inverser le sens d'un vecteur.
   $\overrightarrow{AB}$ n'est pas $\overrightarrow{BA}$.

3. Utiliser des paramètres différents pour une même droite.
   Pour appartenir à une droite paramétrée, un point doit donner le même $t$ dans les trois équations.

4. Confondre vecteur normal et vecteur du plan.
   Le vecteur normal est perpendiculaire au plan.

5. Croire que deux droites qui ne se coupent pas sont forcément parallèles.
   Dans l'espace, elles peuvent être non coplanaires.

6. Oublier un terme dans le produit scalaire.
   En 3D, $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}$.

Application concrète

Yasmine modélise une rampe d'accès dans un immeuble. Le début de la rampe est le point : $A(0;0;0)\mathrm{.}$

Le haut de la rampe est le point : $B(6;8;2)\mathrm{.}$

Le vecteur de la rampe est donc : $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 2\end{array}\right)\mathrm{.}$

La longueur réelle de la rampe est : $AB=\sqrt{6^2+8^2+2^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}\mathrm{.}$

Cette longueur est environ : $\mathrm{10,2}\text{ m}\grave{\text{e}}\text{tres}\mathrm{.}$

Le sol peut être modélisé par le plan : $z=0.$

La rampe n'est pas horizontale, car sa coordonnée verticale passe de $0$ à $2$.

Interprétation.
La géométrie dans l'espace permet de transformer une situation réelle — une rampe, un mur, une terrasse, une grue — en objets mathématiques : points, vecteurs, droites et plans. On peut alors calculer des distances, vérifier des alignements, étudier des directions et contrôler des angles.

À retenir