Géométrie dans l'espace — exercices corrigés

Dans un repère de l'espace, Yasmine place un point $A$ situé à $3$ mètres vers l'est, $5$ mètres vers le nord et $2$ mètres de hauteur.

Quelles sont les coordonnées de $A$ ?

Soient $A(1;2;3)$ et $B(4;6;5)$.

Donne les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Soit le vecteur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$.

Calcule $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }$.

Soient $A(1;2;3)$ et $B(4;6;3)$.

Calcule la distance $AB$.

La droite $d$ admet la représentation paramétrique : $x=2+3t,y=-1+t,z=4-2t\mathrm{.}$

Quel vecteur est un vecteur directeur de $d$ ?

Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $3x-2y+z-7=0.$

Quelles sont les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$ dans la forme $ax+by+cz+d=0$ ?

Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $2x-y+3z-5=0.$

Quel est un vecteur normal à $\mathcal{P}$ ?

Soient : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\text{et}\vec{v}\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -1\end{array}\right)\mathrm{.}$

Calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas sont forcément parallèles.

Pour tous points $A$ et $B$ de l'espace, on a $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$.

Yasmine modélise une rampe d'accès dans un immeuble de Casablanca. Le pied de la rampe est en $A(0;0;0)$ et le haut en $B(6;8;2)$, les coordonnées étant exprimées en mètres.

Donne les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Soit $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$.

Calcule $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }$ sous la forme $\sqrt{N}$ avec $N$ entier.

Soient : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\text{et}\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $x+2y-z+4=0.$

Quel est un vecteur normal à $\mathcal{P}$ ?

Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x-y+3z-5=0$.

Le point $A(1;0;1)$ appartient à $\mathcal{P}$.

Un vecteur normal à un plan est un vecteur qui appartient à ce plan.

Soit $A(1;2;3)$ et $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)$.

Donne une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.

Soient $A(1;2;3)$ et $B(3;8;6)$.

Calcule $AB$.

Dans l'espace, la distance entre deux points peut être calculée en oubliant la coordonnée $z$.

Deux plans de l'espace sont toujours sécants.

Soit la droite $d$ d'équations paramétriques : $x=1+2t,y=2-t,z=3+4t\mathrm{.}$

Le point $M(5;0;11)$ appartient à $d$.

Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+2y-3z+4=0$.

Le point $B(2;1;{\displaystyle \frac{8}{3}})$ appartient à $\mathcal{P}$.

Soit $A(1;2;-1)$ un point et $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ un vecteur normal.

Donne une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

Soient les plans : ${\mathcal{P}}_1:x+y+z-3=0\text{et}{\mathcal{P}}_2:x-y+z-1=0.$

Détermine une représentation paramétrique de la droite $d={\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2$.

Soient : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\text{et}\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

Calcule $\cos (\theta )$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$, puis donne la valeur de $\theta$ en degrés.

Soient les droites : $d_1:x=1+2t,y=3-t,z=4t$ $d_2:x=5-4s,y=-1+2s,z=3-8s\mathrm{.}$

Montre que $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

Soient les droites : $d_1:x=2+t,y=1+2t,z=-t$ $d_2:x=3-2s,y=4+s,z=5.$

Montre que $d_1$ et $d_2$ sont orthogonales.

Soient les plans : ${\mathcal{P}}_1:2x-y+3z-4=0\text{et}{\mathcal{P}}_2:-4x+2y-6z+5=0.$

Montre que ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont parallèles.

Soient les points $A(1;0;0)$, $B(2;1;0)$, $C(3;2;0)$ et $D(0;-1;0)$.

Montre que $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.

Soient $A(1;-1;2)$ et $B(4;1;5)$.

Donne une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

Soit la droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x-2y+3=0$ (équivalent à $x-2y+0\cdot z+3=0$).

Le vecteur directeur de $d$ est orthogonal au vecteur normal de $\mathcal{P}$.

Soit la droite $d:x=1+t,y=2-t,z=3+2t$ et le plan $\mathcal{P}:x+y+z-6=0$.

Quelle est la position relative de $d$ et $\mathcal{P}$ ?

Soient les plans : ${\mathcal{P}}_1:x+2y-z+3=0\text{et}{\mathcal{P}}_2:2x+4y-2z+6=0.$

Quelle est leur position relative ?

Soit le plan $\mathcal{P}:2x+y-2z=0$ et le point $A(3;0;0)$.

Calcule la distance de $A$ à $\mathcal{P}$.

Soient $A(1;3;-2)$ et $B(5;-1;4)$.

Donne les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.

Soient $A(1;0;2)$, $B(3;1;5)$, $C(5;3;6)$ et $D(3;2;3)$.

Montre que $ABCD$ est un parallélogramme.

Soit le point $A(4;-3;5)$.

Donne les coordonnées du projeté orthogonal de $A$ sur l'axe $(Oz)$.

Soient : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\vec{v}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),\vec{w}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right)\mathrm{.}$

Détermine si $\vec{w}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Soient les droites : $d_1:x=1+t,y=2t,z=3+t$ $d_2:x=2-s,y=1+s,z=4+s\mathrm{.}$

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont orthogonales.

On cherche à déterminer l'intersection d'une droite $d$ donnée par une représentation paramétrique et d'un plan $\mathcal{P}$ donné par une équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$.

Quelle est la méthode la plus directe ?

Salma modélise la trajectoire d'un drone à Casablanca par la droite $d$ d'équations paramétriques : $x=2+t,y=1+3t,z=4-t\mathrm{.}$

Elle veut savoir si le point $M(5;4;1)$ se trouve sur la trajectoire. Voici son raisonnement : « La première équation $5=2+t$ donne $t=3$. La deuxième équation $4=1+3t$ donne $t=1$. J'ai trouvé un $t$ qui marche pour $x$ et un $t$ qui marche pour $y$ : donc $M$ appartient à $d$. »

A-t-elle raison ?

Sur un chantier à Rabat, Karim veut vérifier si deux barres métalliques de directions $\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)\text{et}\vec{v}\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ sont orthogonales. Il écrit : « Le produit scalaire, c'est multiplier coordonnée par coordonnée, et la première donne $3\times 4=12$. Comme $12\mathrm{\ne }0$, les barres ne sont pas orthogonales. »

A-t-il raison de conclure ainsi ?

Yasmine modélise une rampe d'accès dans un immeuble de Casablanca. Le pied de la rampe est en $A(0;0;0)$ et le haut en $B(6;8;2)$ (en mètres).

1. Calcule la longueur réelle de la rampe.
2. Calcule la pente, définie comme le rapport entre la dénivelée verticale et la distance horizontale parcourue.

Sur un chantier de Rabat, Karim modélise une grue. Le pied de la grue est en $O(0;0;0)$, la cabine est au sommet du mât en $C(0;0;20)$, et le bout du câble qui descend une charge est en $M(6;8;5)$.

1. Calcule la longueur $CM$ du câble tendu.
2. Le sol est modélisé par le plan $z=0$. Le câble $(CM)$ est-il perpendiculaire au sol ?

Salma pilote un drone au-dessus de Marrakech. Le drone décolle du point $A(0;0;0)$ et se dirige en ligne droite vers le point $B(30;40;20)$ (coordonnées en mètres). La station de contrôle est située au point $S(50;0;5)$.

1. Donne une représentation paramétrique de la trajectoire $(AB)$.
2. Calcule la distance entre le drone, lorsqu'il est en $B$, et la station $S$.

Pour $A(1;2;3)$ et $B(4;6;5)$, Karim affirme : « Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ se calcule en faisant coordonnées de $A$ moins coordonnées de $B$, donc : $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}1-4\\ 2-6\\ 3-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -2\end{array}\right)\mathrm{.}$ »

Quelle est la critique correcte ?

Salma affirme : « Pour le plan $\mathcal{P}:2x-y+3z-5=0$, le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur du plan, car ses coordonnées sont celles qui apparaissent dans l'équation. »

Quelle est la critique correcte ?

Yasmine affirme : « Si deux droites de l'espace ne se coupent pas, alors elles sont forcément parallèles, comme dans le plan. »

Quelle est la critique correcte ?

Yasmine modélise une chambre rectangulaire dans un immeuble de Casablanca par le pavé droit de sommets opposés $O(0;0;0)$ et $S(6;5;4)$ (en mètres).

Calcule le volume de la chambre en mètres cubes.

Un avion en phase d'approche est modélisé par la droite : $d:x=10-2t,y=5-t,z=4-t\mathrm{.}$

La piste d'atterrissage est dans le plan $\mathcal{P}:z=0$.

1. À quel paramètre $t$ l'avion touche-t-il le sol ?
2. Quelles sont les coordonnées du point de contact ?

Soit la droite $d:x=2+t,y=1-2t,z=3+t$ et le plan $\mathcal{P}:x-2y+z-4=0$.

Démontre que $d$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$.

Soient les plans : ${\mathcal{P}}_1:x+y+z-6=0,{\mathcal{P}}_2:x-y+z-2=0,{\mathcal{P}}_3:2x+y-z-3=0.$

Détermine ${\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2\cap {\mathcal{P}}_3$.

Soit la droite $d$ passant par $A(1;0;0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ (c'est-à-dire l'axe horizontal $y=0$, $z=0$ translaté). Soit le point $M(2;3;4)$.

Calcule la distance de $M$ à $d$.

Soient $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ et $C(0;0;3)$.

Détermine une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

Soient $A(2;0;1)$ et $B(4;2;3)$.

Détermine une équation cartésienne du plan médiateur du segment $[AB]$.

Soit le plan $\mathcal{P}:x+y+z-3=0$ et le point $M(3;3;3)$.

Détermine les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal{P}$.

Soient $A(1;1;0)$, $B(1;0;1)$, $C(0;1;1)$ et $D(0;0;0)$.

Démontre que le tétraèdre $ABCD$ a toutes ses arêtes de même longueur.

On considère le cube unité $ABCDEFGH$ avec : $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),$ $E(0;0;1),F(1;0;1),G(1;1;1),H(0;1;1)\mathrm{.}$

1. Donne les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BH}$.
2. Calcule $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BH}$. Conclus sur l'angle entre les diagonales $(AG)$ et $(BH)$.

Karim empile des cubes identiques d'arête $1$ m sur un chantier. Le coin inférieur gauche est en $O(0;0;0)$. Il pose un câble entre les points $A(2;0;0)$ et $B(0;2;3)$ pour former une tension diagonale.

Calcule, à un degré près, l'angle que fait $\overrightarrow{OA}$ avec $\overrightarrow{OB}$.

Salma installe une caméra de sécurité le long d'un rail rectiligne modélisé par la droite : $d:x=t,y=0,z=2,t\in \mathbb{R}\mathrm{.}$

L'objet à surveiller est en $M(3;4;5)$. Salma cherche la position $C(t;0;2)$ sur le rail qui minimise la distance $CM$.

Détermine la valeur de $t$ et la distance minimale.

Yasmine installe un panneau solaire sur le toit d'un immeuble à Marrakech. Le panneau est modélisé par le plan d'équation : $\mathcal{P}:z=x\mathrm{.}$

Le sol est modélisé par le plan ${\mathcal{P}}_0:z=0$.

Calcule, à un degré près, l'angle entre le panneau et le sol.

Sur le plan d'un immeuble à Casablanca, Yasmine modélise :

• le sol par le plan $\mathcal{S}:z=0$ ;
• un mur porteur par le plan $\mathcal{M}:x=2$ ;
• un câble électrique tendu, modélisé par la droite $d:x=2+t,y=3,z=1+t$.

1. Détermine la position relative du câble $d$ et du mur $\mathcal{M}$.
2. Détermine la position relative du sol $\mathcal{S}$ et du mur $\mathcal{M}$.

Restitution organisée de connaissances. L'espace est muni d'un repère orthonormé. On admet le résultat suivant : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, le produit scalaire de $\vec{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\\ z^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)$ étant $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}+z{z}^{\mathrm{\prime }}$.

Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par le point $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ (non nul). Un point $M$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$.

Démontre que $\mathcal{P}$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0,$ et exprime $d$ en fonction de $a$, $b$, $c$ et des coordonnées de $A$. Justifie que $(a;b;c)\mathrm{\ne }(0;0;0)$.