Dérivation et convexité

Leçon 1 — De la variation moyenne à la variation instantanée

Avant de parler de dérivée, il faut comprendre une idée simple : entre deux points, une fonction peut varier plus ou moins vite.

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle, et deux nombres $a$ et $b$ avec $a\mathrm{\ne }b$.

Ce nombre mesure la variation moyenne de $f(x)$ lorsque $x$ passe de $a$ à $b$.

Exemple. Une voiture parcourt $180$ km en $2$ h.

Sa vitesse moyenne est : ${\displaystyle \frac{180}{2}}=90.$

Elle a donc roulé en moyenne à $90$ km/h.

En langage de fonction, si $d(t)$ désigne la distance parcourue au temps $t$, alors : ${\displaystyle \frac{d(2)-d(0)}{2-0}}=90.$

Le taux de variation est donc une pente moyenne.

Vers l'instantané

Mais souvent, la moyenne ne suffit pas. Sur la route, Yasmine peut rouler en moyenne à $90$ km/h sur deux heures, tout en étant parfois à $60$ km/h, parfois à $120$ km/h.

La question devient : quelle est la vitesse à un instant précis ?

En mathématiques, on cherche alors à faire se rapprocher les deux points $a$ et $b$. On écrit souvent $b=a+h$, puis on regarde ce qui se passe quand $h$ devient très petit.

Le taux de variation devient : ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\mathrm{.}$

Si ce taux se rapproche d'un nombre quand $h$ tend vers $0$, ce nombre est la dérivée en $a$.

Leçon 2 — Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé mesure la variation instantanée de la fonction au point d'abscisse $a$.

Graphiquement, il donne la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

Équation de la tangente

Exemple. Soit : $f(x)=x^2\mathrm{.}$

On admet pour l'instant que : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\mathrm{.}$

Au point d'abscisse $a=3$ : $f(3)=9$ et : $f^{\mathrm{\prime }}(3)=6.$

L'équation de la tangente est donc : $y=6(x-3)+9.$

On simplifie : $y=6x-18+9=6x-9.$

Le piège de la tangente

Karim croit qu'une tangente touche toujours la courbe en un seul point.

C'est faux. Une tangente peut recouper la courbe ailleurs. Ce qui compte, ce n'est pas le nombre de points d'intersection global, mais le fait qu'elle donne la meilleure approximation de la courbe au voisinage du point étudié.

Leçon 3 — Fonction dérivée et règles de calcul

Quand une fonction est dérivable en chaque point d'un intervalle, on peut associer à chaque $x$ son nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(x)$. On obtient une nouvelle fonction : la fonction dérivée.

Dérivées usuelles

Règles de calcul

Exemple 1. Soit : $f(x)=3x^2-5x+7.$

Alors : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\times 2x-5\times 1+0.$

Donc : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-5.$

Exemple 2. Soit : $g(x)=x^2\sqrt{x}\mathrm{.}$

On pose : $u(x)=x^2\text{et}v(x)=\sqrt{x}\mathrm{.}$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$ et : $v^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\mathrm{.}$

Donc : $g^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)+u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$

Ainsi : $g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\sqrt{x}+x^2\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\mathrm{.}$

Le piège du produit

Salma écrit : $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$

C'est faux.

La bonne formule est : $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

Leçon 4 — Dérivée et variations

La dérivée est l'outil principal pour étudier les variations d'une fonction.

L'idée est simple : si les pentes des tangentes sont positives, la courbe monte ; si elles sont négatives, la courbe descend.

Construire un tableau de variations

Exemple. Soit : $f(x)=x^2-4x+1.$

On calcule : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4.$

On résout : $2x-4=0.$

Donc : $x=2.$

Le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ :

• si $x<2$, alors $2x-4<0$ ;
• si $x>2$, alors $2x-4>0$.

Donc $f$ est décroissante sur $]-\mathrm{\infty };2]$, puis croissante sur $[2;+\mathrm{\infty }[$.

On calcule : $f(2)=2^2-4\times 2+1=4-8+1=-3.$

La fonction admet donc un minimum égal à $-3$ en $x=2$.

Le piège du signe

Karim trouve : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4$

puis dit : « comme $2x-4$ contient un $x$, la fonction est croissante ».

C'est faux. Il faut étudier le signe de $2x-4$ selon les valeurs de $x$.

Leçon 5 — Extremum local et global

Une fonction peut atteindre une valeur plus grande ou plus petite que les valeurs voisines. C'est un extremum.

Un extremum local est une notion de voisinage. Un maximum global ou minimum global concerne tout l'intervalle étudié.

Lien avec la dérivée

L'hypothèse « intervalle ouvert » est essentielle : à une borne de l'intervalle, un extremum peut apparaître sans que la dérivée s'y annule (la fonction $x\mapsto x$ sur $[0;1]$ atteint son maximum en $1$, où $f^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{\ne }0$).

Attention aussi à la réciproque, qui est fausse : $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ ne garantit pas un extremum. Il faut regarder le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ autour de $a$.

Exemple. Pour : $f(x)=x^2,$

on a : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\mathrm{.}$

Donc : $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0.$

La dérivée passe de négative à positive en $0$. La fonction décroît puis croît : $0$ est donc un minimum.

Cas sans extremum

Pour : $g(x)=x^3,$

on a : $g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\mathrm{.}$

Donc : $g^{\mathrm{\prime }}(0)=0.$

Mais $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ est positive des deux côtés de $0$. La fonction est croissante avant et après $0$. Il n'y a pas d'extremum en $0$.

Application économique

Une entreprise de Casablanca modélise son bénéfice, en milliers de dirhams, par une fonction $B(x)$, où $x$ désigne le nombre de centaines de produits vendus.

Pour maximiser le bénéfice, on cherche les variations de $B$.

Si $B^{\mathrm{\prime }}(x)>0$, vendre davantage augmente le bénéfice.

Si $B^{\mathrm{\prime }}(x)<0$, vendre davantage diminue le bénéfice, par exemple à cause des coûts supplémentaires.

Le maximum de bénéfice se trouve souvent au moment où la dérivée passe de positive à négative.

Leçon 6 — Convexité : lire la forme d'une courbe

La dérivée indique si une fonction monte ou descend. La convexité indique comment elle se courbe.

Une courbe peut monter de plus en plus vite, ou monter de moins en moins vite. Elle peut descendre en ralentissant, ou descendre en accélérant.

Graphiquement :

• une courbe convexe ressemble à un bol tourné vers le haut ;
• une courbe concave ressemble à un chapeau tourné vers le bas.

Tangentes et convexité

Cette propriété permet de comprendre la convexité géométriquement : la tangente sert de ligne de comparaison.

Convexité et dérivée

La convexité est liée à l'évolution de la dérivée.

L'idée est naturelle :

• si les pentes augmentent, la courbe se redresse : elle est convexe ;
• si les pentes diminuent, la courbe s'aplatit ou se retourne vers le bas : elle est concave.

Leçon 7 — Dérivée seconde et point d'inflexion

Pour étudier la convexité, on utilise souvent la dérivée seconde.

La dérivée seconde mesure la variation de la dérivée.

D'où vient ce critère ? La démonstration

Ce théorème ne s'ajoute pas au précédent : il en découle en une seule ligne d'idée. C'est une démonstration exigible — sache la refaire, elle relie tout ce que tu viens d'apprendre.

Tu disposes de deux résultats déjà établis dans ce chapitre :

• (R1) une fonction dérivable est convexe sur $I$ dès que sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $I$ (théorème « Convexité et dérivée ») ;
• (R2) une fonction dérivable dont la dérivée est positive sur un intervalle y est croissante (théorème « Signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ et variations », Leçon 5).

Démontrons le premier point. On suppose $f$ deux fois dérivable sur $I$ avec $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$ pour tout $x\in I$. Par définition, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ est la dérivée de $f^{\mathrm{\prime }}$ : dire $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$ sur $I$, c'est dire que la dérivée de la fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ est positive sur $I$. Applique alors (R2) non pas à $f$, mais à $f^{\mathrm{\prime }}$ elle-même : puisque $(f^{\mathrm{\prime }}{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\ge 0$ sur $I$, la fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $I$.

Il ne reste qu'à invoquer (R1) : $f^{\mathrm{\prime }}$ croissante sur $I$ entraîne que $f$ est convexe sur $I$. La chaîne est bouclée : $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\ge 0\text{ sur }I⟹f^{\mathrm{\prime }}\text{ croissante sur }I⟹f\text{ convexe sur }I\mathrm{.}$

Le second point (concavité) se démontre à l'identique en renversant les inégalités : $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\le 0$ signifie que la dérivée de $f^{\mathrm{\prime }}$ est négative, donc $f^{\mathrm{\prime }}$ est décroissante, donc $f$ est concave. Retiens le mécanisme : la dérivée seconde n'est rien d'autre que le signe de la variation de $f^{\mathrm{\prime }}$, et étudier la convexité de $f$, c'est étudier la monotonie de $f^{\mathrm{\prime }}$ — un cran de dérivation plus haut. Ce réflexe « monter d'un ordre de dérivation » te resservira en classes préparatoires, dans l'étude des développements limités et des inégalités de convexité.

Exemple 1. Soit : $f(x)=x^2\mathrm{.}$

On a : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\mathrm{.}$

Puis : $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2.$

Comme $2>0$, la fonction $x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Exemple 2. Soit : $g(x)=-x^2\mathrm{.}$

On a : $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x$ et : $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2.$

Comme $-2<0$, la fonction $-x^2$ est concave sur $\mathbb{R}$.

Point d'inflexion

Souvent, un point d'inflexion apparaît lorsque $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ change de signe.

Exemple. Soit : $f(x)=x^3\mathrm{.}$

On a : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$

et : $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x\mathrm{.}$

Le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ change en $0$ :

• si $x<0$, alors $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$, donc $f$ est concave ;
• si $x>0$, alors $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$, donc $f$ est convexe.

La courbe admet donc un point d'inflexion en $x=0$.

Le piège de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$

Karim pense que si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors il y a forcément un point d'inflexion.

C'est faux. Il faut que la convexité change réellement, donc que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ change de signe autour de $a$.

Pièges classiques

1. Confondre taux moyen et dérivée.
   Le taux de variation est une pente moyenne entre deux points. La dérivée est une pente instantanée.

2. Croire que la tangente ne coupe jamais la courbe ailleurs.
   Une tangente décrit un comportement local. Elle peut recouper la courbe plus loin.

3. Dériver un produit en multipliant les dérivées.
   La bonne formule est $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$, pas $u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}$.

4. Étudier les variations sans étudier le signe de la dérivée.
   La formule de $f^{\mathrm{\prime }}$ ne suffit pas. C'est son signe qui donne les variations.

5. Croire que $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ implique toujours un extremum.
   Il faut regarder si la dérivée change de signe.

6. Confondre convexe et croissante.
   Une fonction peut être convexe et décroissante. La convexité parle de la forme, pas seulement du sens de variation.

7. Croire que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$ suffit pour un point d'inflexion.
   Il faut vérifier un changement de convexité.

8. Confondre maximum local et maximum global.
   Un maximum local est le plus haut seulement autour du point. Un maximum global est le plus haut sur tout l'intervalle.

Application concrète

Yasmine étudie le bénéfice d'une petite entreprise qui produit des jus frais. On note $x$ le nombre de centaines de bouteilles vendues par jour, et $B(x)$ le bénéfice en milliers de dirhams.

On modélise le bénéfice par : $B(x)=-x^3+6x^2+15x-20$

pour $x$ compris entre $0$ et $8$.

Étape 1 — Calculer la dérivée.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+12x+15.$

Étape 2 — Étudier le signe de la dérivée.

On résout : $-3x^2+12x+15=0.$

On divise par $-3$ : $x^2-4x-5=0.$

On factorise : $(x-5)(x+1)=0.$

Donc : $x=5\text{ou}x=-1.$

Sur l'intervalle étudié $[0;8]$, seul $x=5$ compte.

La dérivée est positive avant $5$, puis négative après $5$.

Donc le bénéfice augmente sur $[0;5]$, puis diminue sur $[5;8]$.

Étape 3 — Interpréter le maximum.

Le bénéfice est maximal pour : $x=5.$

Comme $x$ représente des centaines de bouteilles, cela correspond à : $5\times 100=500$

bouteilles vendues par jour.

Étape 4 — Convexité.

On calcule : $B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x+12.$

On résout : $B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0.$

Donc : $-6x+12=0$ et : $x=2.$

La dérivée seconde est positive avant $2$, puis négative après $2$.

La courbe du bénéfice est donc convexe sur $[0;2]$, puis concave sur $[2;8]$.

Il y a un point d'inflexion en $x=2$.

Conclusion.
La dérivée permet de trouver le niveau de production qui maximise le bénéfice. La dérivée seconde permet de comprendre le rythme de croissance du bénéfice : au début, le bénéfice augmente de plus en plus vite, puis après un certain seuil, il augmente de moins en moins vite avant de finir par diminuer.

À retenir