Fonction logarithme

Leçon 1 — Le logarithme comme fonction réciproque de l'exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et prend toutes les valeurs strictement positives. Cela signifie qu'à chaque nombre positif correspond un unique antécédent par l'exponentielle.

Autrement dit : $\ln (x)=y\text{si et seulement si}{\mathrm{e}}^y=x\mathrm{.}$

Le logarithme répond donc à la question : « à quelle puissance faut-il élever $\mathrm{e}$ pour obtenir $x$ ? »

Exemple 1. $\ln (1)=0$

car : ${\mathrm{e}}^0=1.$

Exemple 2. $\ln (\mathrm{e})=1$

car : ${\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}\mathrm{.}$

Exemple 3. $\ln ({\mathrm{e}}^5)=5$

car l'exponentielle et le logarithme se neutralisent.

Les deux identités fondamentales

Comme $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, elles s'annulent lorsqu'elles sont composées.

Ces deux formules sont à connaître parfaitement.

Le piège du domaine

Karim écrit : $\ln (-3)\mathrm{.}$

Cette expression n'a pas de sens dans les réels. Le logarithme népérien est défini seulement pour les nombres strictement positifs.

On peut calculer $\ln (3)$, $\ln (\mathrm{0,5})$ ou $\ln (100)$, mais pas $\ln (0)$ ni $\ln (-3)$.

Leçon 2 — Propriétés algébriques du logarithme

Le logarithme transforme les produits en sommes. C'est sa propriété la plus importante.

D'où vient cette propriété ? La démonstration

Cette formule n'a rien de magique : elle est le reflet exact de la propriété de l'exponentielle ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^y$, lue à travers le miroir de la fonction réciproque. C'est une démonstration exigible — sache la refaire, elle éclaire pourquoi le logarithme transforme les produits en sommes.

Soient $a>0$ et $b>0$. L'idée est de calculer ${\mathrm{e}}^{\ln (a)+\ln (b)}$ de deux façons.

D'un côté, la relation fonctionnelle de l'exponentielle appliquée à $x=\ln (a)$ et $y=\ln (b)$ donne : ${\mathrm{e}}^{\ln (a)+\ln (b)}={\mathrm{e}}^{\ln (a)}\times {\mathrm{e}}^{\ln (b)}\mathrm{.}$

De l'autre, l'identité ${\mathrm{e}}^{\ln (x)}=x$ (valable car $a>0$ et $b>0$) simplifie chaque facteur : ${\mathrm{e}}^{\ln (a)}\times {\mathrm{e}}^{\ln (b)}=a\times b\mathrm{.}$

On a donc établi que ${\mathrm{e}}^{\ln (a)+\ln (b)}=ab$. Applique enfin $\ln$ aux deux membres et sers-toi de l'identité $\ln ({\mathrm{e}}^X)=X$ (valable pour tout réel $X$, ici $X=\ln (a)+\ln (b)$) : $\ln (ab)=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\mathrm{e}}^{\ln (a)+\ln (b)}\right)=\ln (a)+\ln (b)\mathrm{.}$

C'est exactement la formule annoncée. Retiens la mécanique : chaque propriété algébrique du logarithme est la traduction d'une propriété de l'exponentielle, obtenue en composant par la réciproque. Ce va-et-vient entre une fonction et sa réciproque est un outil que tu manieras sans cesse dans le supérieur.

Exemple. $\ln (2{\mathrm{e}}^3)=\ln (2)+\ln ({\mathrm{e}}^3)=\ln (2)+3.$

À partir de cette formule, on déduit les autres règles.

En particulier : $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)=-\ln (a)\mathrm{.}$

et : $\ln (\sqrt{a})={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (a)\mathrm{.}$

Exemple. $\ln \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^5}{2}}\right)=\ln ({\mathrm{e}}^5)-\ln (2)=5-\ln (2)\mathrm{.}$

Exemple. $\ln ({100}^3)=3\ln (100)\mathrm{.}$

Le piège de la somme

Salma écrit : $\ln (a+b)=\ln (a)+\ln (b)\mathrm{.}$

C'est faux.

La formule porte sur un produit, pas sur une somme : $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)\mathrm{.}$

Il n'existe pas de formule simple pour $\ln (a+b)$.

Leçon 3 — Variations, signe et limites de $\ln$

La fonction logarithme népérien est définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Cela vient du fait que $\ln$ est la réciproque de la fonction exponentielle, qui est elle-même strictement croissante.

Valeurs importantes

Trois valeurs sont essentielles : $\ln (1)=0.$

$\ln (\mathrm{e})=1.$

$\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)=-1.$

Comme $\ln$ est croissante :

• si $0<x<1$, alors $\ln (x)<0$ ;
• si $x=1$, alors $\ln (x)=0$ ;
• si $x>1$, alors $\ln (x)>0$.

Limites

Quand $x$ se rapproche de $0$ par valeurs positives, $\ln (x)$ descend vers $-\mathrm{\infty }$.

La droite d'équation $x=0$ est donc une asymptote verticale à la courbe de $\ln$.

Quand $x$ devient très grand, $\ln (x)$ devient aussi très grand, mais lentement.

Le piège de la lenteur

Karim pense que, puisque $\ln (x)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, il grandit aussi vite que $x$ ou que ${\mathrm{e}}^x$.

C'est faux. Le logarithme tend vers $+\mathrm{\infty }$, mais très lentement.

Par exemple, $\ln (1000000)$ vaut environ $\mathrm{13,8}$, alors que $1000000$ est déjà très grand.

Leçon 4 — Dériver avec le logarithme

La fonction logarithme est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Cette formule est centrale.

Pour une fonction composée, on utilise la règle suivante.

Exemple 1. Soit : $f(x)=\ln (3x+1)\mathrm{.}$

La fonction est définie lorsque : $3x+1>0.$

Donc : $x>-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$

On pose : $u(x)=3x+1.$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=3.$

Donc : $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3}{3x+1}}\mathrm{.}$

Exemple 2. Soit : $g(x)=\ln (x^2+1)\mathrm{.}$

Comme $x^2+1>0$ pour tout réel $x$, la fonction est définie sur $\mathbb{R}$.

On pose : $u(x)=x^2+1.$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\mathrm{.}$

Donc : $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\mathrm{.}$

Le piège de la composée

Salma dérive : $\ln (3x+1)$

et répond : ${\displaystyle \frac{1}{3x+1}}\mathrm{.}$

Elle a oublié de multiplier par la dérivée de $3x+1$.

La bonne réponse est : ${\displaystyle \frac{3}{3x+1}}\mathrm{.}$

Leçon 5 — Résoudre des équations avec $\ln$

Le logarithme permet de résoudre les équations où l'inconnue apparaît dans l'exposant.

Équation exponentielle

Exemple. Résoudre : ${\mathrm{e}}^{2x-1}=7.$

Comme $7>0$, on peut appliquer le logarithme aux deux membres : $\ln ({\mathrm{e}}^{2x-1})=\ln (7)\mathrm{.}$

Donc : $2x-1=\ln (7)\mathrm{.}$

Ainsi : $2x=1+\ln (7)\mathrm{.}$

Donc : $x={\displaystyle \frac{1+\ln (7)}{2}}\mathrm{.}$

Équation logarithmique

Exemple. Résoudre : $\ln (3x+2)=4.$

Première étape : vérifier le domaine. $3x+2>0.$

Donc : $x>-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$

Ensuite : $\ln (3x+2)=4$

équivaut à : $3x+2={\mathrm{e}}^4\mathrm{.}$

Donc : $3x={\mathrm{e}}^4-2.$

Ainsi : $x={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^4-2}{3}}\mathrm{.}$

Cette solution est bien supérieure à $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, donc elle est acceptée.

Le piège du domaine

Karim résout : $\ln (x-5)=\ln (2x+1)\mathrm{.}$

Il écrit directement : $x-5=2x+1.$

Puis il trouve : $x=-6.$

Mais il oublie le domaine.

Il faut avoir : $x-5>0\text{et}2x+1>0.$

Donc : $x>5.$

La solution $x=-6$ est impossible. L'équation n'a donc pas de solution.

Leçon 6 — Étudier une fonction avec logarithme

Les fonctions avec logarithme s'étudient comme les autres : domaine de définition, limites, dérivée, signe de la dérivée, variations.

Exemple guidé

Soit la fonction définie par : $f(x)=x\ln (x)$

sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Étape 1 — Domaine.

La fonction $\ln (x)$ est définie pour $x>0$.

Donc : ${\mathcal{D}}_f=]0;+\mathrm{\infty }[\mathrm{.}$

Étape 2 — Dérivée.

La fonction est un produit : $f(x)=x\ln (x)\mathrm{.}$

On pose : $u(x)=x\text{et}v(x)=\ln (x)\mathrm{.}$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=1\text{et}{v}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{.}$

Donc : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)+u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$

Ainsi : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln (x)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{.}$

Donc : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln (x)+1.$

Étape 3 — Signe de la dérivée.

On résout : $\ln (x)+1=0.$

Donc : $\ln (x)=-1.$

Ainsi : $x={\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\mathrm{.}$

Comme $\ln$ est croissante :

• si $0<x<{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$, alors $\ln (x)<-1$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ ;
• si $x>{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$, alors $\ln (x)>-1$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$.

Étape 4 — Variations.

La fonction $f$ est décroissante sur $]0;{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}]$, puis croissante sur $[{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}};+\mathrm{\infty }[$.

Elle admet un minimum en : $x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\mathrm{.}$

La valeur minimale est : $f\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\times (-1)=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\mathrm{.}$

0 avec minimum (1/e ; -1/e) puis croissance">

Le piège du domaine invisible

Salma étudie $f(x)=x\ln (x)$ comme si elle était définie sur tout $\mathbb{R}$.

C'est faux. La présence de $\ln (x)$ impose $x>0$.

Leçon 7 — Comparer logarithme, puissance et exponentielle

En Terminale, il faut connaître les ordres de croissance.

L'exponentielle grandit plus vite que toutes les puissances usuelles. Le logarithme, lui, grandit beaucoup plus lentement que les puissances.

On retient intuitivement : $\ln (x)\ll x\ll x^2\ll {\mathrm{e}}^x\text{quand }x\to +\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Cela signifie que, très loin, ${\mathrm{e}}^x$ finit par dépasser largement les puissances, tandis que $\ln (x)$ reste très lent.

Limites de comparaison à connaître

Ces résultats servent souvent dans les exercices de limites.

Exemple. Calculer : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x^2}}\mathrm{.}$

Comme $x^2$ grandit encore plus vite que $x$, et que $\ln (x)$ est très lent, on obtient : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x^2}}=0.$

Le piège de la calculatrice

Karim teste quelques petites valeurs et trouve que $\ln (10)>2$, donc il pense que $\ln (x)$ grandit vite.

Mais il oublie l'échelle. Même pour $x=1000000$, $\ln (x)$ reste autour de $\mathrm{13,8}$.

Pièges classiques

1. Calculer le logarithme d'un nombre négatif ou nul.
   $\ln (x)$ existe seulement si $x>0$.

2. Confondre $\ln (a+b)$ et $\ln (ab)$.
   On a $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$, mais il n'existe pas de formule simple pour $\ln (a+b)$.

3. Oublier que $\ln$ est la réciproque de l'exponentielle.
   $\ln ({\mathrm{e}}^x)=x$ et ${\mathrm{e}}^{\ln (x)}=x$ seulement si $x>0$ dans la deuxième formule.

4. Oublier la dérivée de l'intérieur.
   La dérivée de $\ln (u)$ est ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, pas simplement ${\displaystyle \frac{1}{u}}$.

5. Résoudre une équation logarithmique sans domaine.
   Toute solution trouvée doit vérifier les conditions de positivité.

6. Croire que $\ln (x)$ est toujours positif.
   $\ln (x)<0$ si $0<x<1$.

7. Croire que $\ln (x)$ croît vite.
   Le logarithme tend vers $+\mathrm{\infty }$, mais très lentement.

8. Confondre logarithme décimal et logarithme népérien.
   En Terminale, $\ln$ désigne le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle de base $\mathrm{e}$.

Application concrète

Yasmine veut savoir au bout de combien de temps une page atteindra $100000$ abonnés.

Elle modélise le nombre d'abonnés par : $N(t)=20000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,12}t},$

où $t$ est le temps en mois.

Elle cherche : $N(t)=100000.$

Donc : $20000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,12}t}=100000.$

On divise par $20000$ : ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,12}t}=5.$

On applique le logarithme : $\ln ({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,12}t})=\ln (5)\mathrm{.}$

Donc : $\mathrm{0,12}t=\ln (5)\mathrm{.}$

Ainsi : $t={\displaystyle \frac{\ln (5)}{\mathrm{0,12}}}\mathrm{.}$

Avec la calculatrice : $t\approx \mathrm{13,4.}$

Il faudra donc environ $14$ mois pour atteindre $100000$ abonnés.

Interprétation.
Le logarithme a permis de retrouver le temps caché dans l'exposant. C'est exactement son rôle dans les modèles exponentiels : transformer une équation exponentielle en équation classique.

À retenir