Fonction logarithme — exercices corrigés

Par définition, $\ln (x)$ est l'unique réel $y$ tel que ${\mathrm{e}}^y=x$. Cherchons $y$ tel que : ${\mathrm{e}}^y=1.$

Or ${\mathrm{e}}^0=1$. Donc $\ln (1)=0$.

À retenir : $\ln (1)=0$. C'est la valeur charnière qui sépare les logarithmes négatifs (sur $]0;1[$) des logarithmes positifs (sur $]1;+\mathrm{\infty }[$).

Le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle. On cherche le réel $y$ tel que : ${\mathrm{e}}^y=\mathrm{e}\mathrm{.}$

Donc $y=1$. Ainsi $\ln (\mathrm{e})=1$.

À retenir : $\ln (\mathrm{e})=1$. C'est l'autre valeur de référence à connaître par cœur, avec $\ln (1)=0$.

On peut écrire ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}={\mathrm{e}}^{-1}$. Par identité fondamentale : $\ln ({\mathrm{e}}^{-1})=-1.$

Tu peux aussi utiliser la propriété $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)=-\ln (a)$ avec $a=\mathrm{e}$ : $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)=-\ln (\mathrm{e})=-1.$

À retenir : les trois valeurs phares sont $\ln (1)=0$, $\ln (\mathrm{e})=1$ et $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)=-1$.

La fonction $\ln$ est définie uniquement sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ : on ne peut prendre le logarithme que d'un nombre strictement positif.

Pourquoi pas $0$ ? Parce qu'aucune valeur de $y$ ne vérifie ${\mathrm{e}}^y=0$ — l'exponentielle est toujours strictement positive. Pourquoi pas les négatifs ? Pour la même raison : ${\mathrm{e}}^y>0$ pour tout réel $y$.

Si tu as répondu B, tu as inclus $0$ par erreur. Si tu as répondu D, tu inclus aussi les négatifs, ce qui est impossible.

À retenir : avant d'écrire $\ln (\text{quelque chose})$, vérifie toujours que ce « quelque chose » est strictement positif.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et s'annule en $1$. Donc pour tout $x$ tel que $0<x<1$ : $\ln (x)<\ln (1)=0.$

Par exemple $\ln (\mathrm{0,5})\approx -\mathrm{0,69}$ et $\ln (\mathrm{0,1})\approx -\mathrm{2,3}$ : on reste toujours sous zéro.

À retenir : le signe de $\ln (x)$ se lit autour de $1$. Négatif sur $]0;1[$, nul en $1$, positif sur $]1;+\mathrm{\infty }[$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et $\ln (1)=0$. Donc pour $x>1$ : $\ln (x)>\ln (1)=0.$

Concrètement, $\ln (2)\approx \mathrm{0,69}$, $\ln (10)\approx \mathrm{2,3}$, $\ln (\mathrm{e})=1$ : toutes ces valeurs sont strictement positives.

À retenir : pour repérer le signe de $\ln (x)$, compare $x$ à $1$. Plus grand que $1$ donne positif, plus petit donne négatif.

Quand $x$ se rapproche de $0$ par valeurs strictement positives, $\ln (x)$ descend sans s'arrêter vers $-\mathrm{\infty }$ : ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln (x)=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

La droite d'équation $x=0$ est donc une asymptote verticale à la courbe de $\ln$.

Si tu as répondu A, attention : $\ln (0)$ n'existe pas, et la limite ne vaut pas $0$ mais $-\mathrm{\infty }$. La fonction n'est même pas définie en $0$.

À retenir : à gauche, $\ln$ « plonge » vers $-\mathrm{\infty }$ ; à droite, elle monte vers $+\mathrm{\infty }$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante et non majorée sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. Elle finit par dépasser n'importe quel seuil, donc : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\ln (x)=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Attention au piège : $\ln$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, mais très lentement. Par exemple $\ln (1000000)\approx \mathrm{13,8}$ : le logarithme d'un million tient sur deux chiffres ! La croissance est réelle, mais beaucoup plus lente que celle de $x$ ou de ${\mathrm{e}}^x$.

À retenir : $\ln (x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$, mais lentement.

C'est l'une des formules de dérivation à connaître par cœur : $(\ln (x){)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{pour tout }x>0.$

Cette dérivée est toujours strictement positive sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, ce qui confirme que $\ln$ est strictement croissante.

Si tu as répondu D, attention : $-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ est la dérivée de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, pas celle de $\ln (x)$.

À retenir : la dérivée du logarithme est l'inverse de $x$. C'est cette formule qui te servira aussi à comprendre que $\ln$ est une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

C'est la propriété fondamentale du logarithme. Pour tous $a>0$ et $b>0$ : $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)\mathrm{.}$

Le logarithme transforme un produit en somme. C'est cette propriété qui a fait sa fortune historique : avant les calculatrices, multiplier de grands nombres revenait à additionner leurs logarithmes (échelles, règle à calcul, tables).

Si tu as répondu D, attention au piège : il n'existe aucune formule simple pour $\ln (a+b)$.

À retenir : produit dedans $\to$ somme dehors. C'est l'ADN du logarithme.

Le logarithme transforme un quotient en différence. Pour tous $a>0$ et $b>0$ : $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)=\ln (a)-\ln (b)\mathrm{.}$

C'est une conséquence directe de la formule du produit : ${\displaystyle \frac{a}{b}}=a\times {\displaystyle \frac{1}{b}}$, donc : $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)=\ln (a)+\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{b}}\right)=\ln (a)-\ln (b)\mathrm{.}$

Si tu as répondu A, attention au piège classique : ${\displaystyle \frac{\ln (a)}{\ln (b)}}$ n'a rien à voir avec $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)$.

À retenir : quotient dedans $\to$ différence dehors.

Le logarithme transforme une puissance en produit. Pour tout $a>0$ et tout entier relatif $n$ : $\ln (a^n)=n\ln (a)\mathrm{.}$

Démonstration intuitive : $a^n=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$, donc par la formule du produit : $\ln (a^n)=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{\ln (a)+\ln (a)+\cdots +\ln (a)}}=n\ln (a)\mathrm{.}$

Cette propriété s'étend même aux exposants rationnels (par exemple $\ln (\sqrt{a})={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (a)$).

À retenir : exposant dedans $\to$ coefficient devant. C'est cette règle qui rend le logarithme indispensable pour résoudre les équations exponentielles.

C'est un cas particulier de la formule du quotient : $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)=\ln (1)-\ln (a)=0-\ln (a)=-\ln (a)\mathrm{.}$

On peut aussi le voir comme la formule de la puissance avec $n=-1$ : $\ln (a^{-1})=-1\times \ln (a)=-\ln (a)\mathrm{.}$

Si tu as répondu C, attention : prendre l'inverse à l'intérieur du $\ln$ n'a rien à voir avec prendre l'inverse à l'extérieur.

À retenir : inverser à l'intérieur du logarithme revient à changer le signe à l'extérieur. C'est aussi cohérent avec le signe de $\ln$ : si $a>1$, alors ${\displaystyle \frac{1}{a}}<1$, donc $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)<0$.

Faux. Le domaine de définition de $\ln$ est $]0;+\mathrm{\infty }[$ : on ne peut prendre le logarithme que d'un nombre strictement positif.

$\ln (-3)$ n'a donc aucun sens dans $\mathbb{R}$. Aucun réel $y$ ne vérifie ${\mathrm{e}}^y=-3$, puisque ${\mathrm{e}}^y>0$ pour tout $y$.

Ne confonds pas avec $\ln (3)$, qui existe et vaut environ $\mathrm{1,1}$. Le signe à l'intérieur du logarithme et le signe du logarithme sont deux choses différentes : $\ln$ peut être négatif (par exemple $\ln (\mathrm{0,5})<0$), mais son argument doit toujours être positif.

À retenir : avant d'écrire $\ln (\text{expression})$, vérifie que l'expression est strictement positive.

Faux, et c'est l'erreur la plus fréquente sur le chapitre.

La formule correcte porte sur le produit, pas sur la somme : $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)\mathrm{.}$

Pour vérifier sur un exemple : avec $a=b=1$, on aurait $\ln (2)=\ln (1)+\ln (1)=0$. Or $\ln (2)\approx \mathrm{0,69}\mathrm{\ne }0$. La formule de l'énoncé est donc bien fausse.

À retenir : il n'existe aucune formule simple pour $\ln (a+b)$. Le logarithme transforme les produits, pas les sommes.

Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives, $\ln (x)$ tend vers $-\mathrm{\infty }$ : ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln (x)=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

C'est exactement la définition d'une asymptote verticale en $0$ : la droite $x=0$ (c'est-à-dire l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.

Si tu as répondu C, attention : une asymptote verticale a une équation de la forme $x=\text{constante}$, pas $y=\text{constante}$. Si tu as répondu D, $-\mathrm{\infty }$ n'est pas une équation de droite.

À retenir : la courbe de $\ln$ « colle » à l'axe des ordonnées en plongeant vers $-\mathrm{\infty }$. Pas d'asymptote horizontale en revanche, puisque $\ln (x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

Par l'identité fondamentale, pour tout réel $x$ : $\ln ({\mathrm{e}}^x)=x\mathrm{.}$

Donc avec $x=5$ : $\ln ({\mathrm{e}}^5)=5$.

Tu peux aussi le retrouver via la propriété $\ln (a^n)=n\ln (a)$ : $\ln ({\mathrm{e}}^5)=5\ln (\mathrm{e})=5\times 1=5.$

À retenir : le logarithme et l'exponentielle s'« annulent » l'un l'autre. C'est précisément ce qui les rend si utiles pour résoudre les équations à inconnue dans l'exposant.

Faux. La fonction $\ln$ tend bien vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$, mais elle croît très lentement.

Quelques repères pour s'en convaincre :

• $\ln (10)\approx \mathrm{2,3}$ ;
• $\ln (1000)\approx \mathrm{6,9}$ ;
• $\ln (1000000)\approx \mathrm{13,8}$.

Pour multiplier $\ln (x)$ par $1000$, il faut multiplier $x$ par ${\mathrm{e}}^{1000}$, un nombre astronomique. C'est l'inverse du comportement de l'exponentielle.

À retenir : à l'infini, $\ln (x)\ll x\ll x^2\ll {\mathrm{e}}^x$. Le logarithme est la fonction « lente » par excellence.

Au numérateur, par l'identité fondamentale : $\ln ({\mathrm{e}}^3)=3.$

Au dénominateur : $\ln (\mathrm{e})=1.$

Donc : ${\displaystyle \frac{\ln ({\mathrm{e}}^3)}{\ln (\mathrm{e})}}={\displaystyle \frac{3}{1}}=3.$

Attention au piège tentant : on n'a pas le droit de « simplifier » ${\displaystyle \frac{\ln ({\mathrm{e}}^3)}{\ln (\mathrm{e})}}$ en $\ln ({\mathrm{e}}^2)$. La formule $\ln (a)-\ln (b)=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)$ concerne une différence, pas un quotient de logarithmes.

À retenir : un quotient de logarithmes n'a aucune simplification générale. Calcule chaque morceau séparément.

La courbe de $\ln$ a trois signatures à reconnaître immédiatement :

• elle est définie uniquement sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ (rien à gauche de l'axe des ordonnées) ;
• elle passe par le point $(1;0)$ puisque $\ln (1)=0$ ;
• elle plonge vers $-\mathrm{\infty }$ quand $x\to 0^{+}$ (asymptote verticale $x=0$) et monte lentement vers $+\mathrm{\infty }$.

L'option A décrit plutôt la courbe de ${\mathrm{e}}^x$. L'option C décrit une parabole. L'option D évoque une décroissance, incompatible avec $\ln$ qui est croissante.

À retenir : pour reconnaître $\ln$, cherche le point $(1;0)$ et l'asymptote verticale en $0$. Et garde en tête qu'elle est symétrique de la courbe de ${\mathrm{e}}^x$ par rapport à la droite $y=x$.

Par l'identité fondamentale $\ln ({\mathrm{e}}^x)=x$ valable pour tout réel $x$ : $\ln ({\mathrm{e}}^7)=7.$

Tu peux aussi le retrouver via $\ln (a^n)=n\ln (a)$ : $\ln ({\mathrm{e}}^7)=7\ln (\mathrm{e})=7\times 1=7.$

À retenir : $\ln$ et $\exp$ se neutralisent. Dès que tu vois $\ln ({\mathrm{e}}^k)$, écris immédiatement $k$ — pas besoin de calculatrice, pas besoin de valeur approchée.