Fonction exponentielle

Leçon 1 — Pourquoi une nouvelle fonction ?

Tu connais déjà les puissances entières : $2^3$, ${10}^5$, ${\mathrm{1,2}}^n$. Dans les suites géométriques, une quantité peut être multipliée par le même facteur à chaque étape.

Mais en Terminale, on veut passer d'une évolution par étapes à une évolution continue. Au lieu de regarder seulement les années $0$, $1$, $2$, $3$, on veut pouvoir calculer la valeur au bout de $\mathrm{0,5}$ année, $\mathrm{2,7}$ années, ou à n'importe quel instant.

C'est là qu'apparaît la fonction exponentielle.

Autrement dit, la fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée.

C'est une propriété exceptionnelle : la vitesse de variation de la fonction est exactement égale à sa valeur.

On note aussi : $\exp (x)={\mathrm{e}}^x\mathrm{.}$

Le nombre $\mathrm{e}$ est la valeur de la fonction exponentielle en $1$ : $\mathrm{e}=\exp (1)\mathrm{.}$

Sa valeur approchée est : $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,718.}$

Le piège du nombre $\mathrm{e}$

Karim pense que $\mathrm{e}$ est une variable, comme $x$ ou $t$.

C'est faux. Le symbole $\mathrm{e}$ désigne un nombre fixe, comme $\pi$. Sa valeur approchée est $\mathrm{2,718}$.

Leçon 2 — Premières propriétés de l'exponentielle

La fonction exponentielle possède des propriétés proches des puissances.

Cette formule est fondamentale. Elle signifie que l'exponentielle transforme une somme en produit.

D'où vient cette formule ? La démonstration

Ce théorème ne repose que sur un seul fait : l'exponentielle est sa propre dérivée. C'est une démonstration exigible, courte et élégante — le prototype de la « fonction auxiliaire » que tu retrouveras dans tout le programme. Sache la refaire.

Rappelle d'abord comment se dérivent les exponentielles composées avec une fonction affine (règle vue en dérivation) : $x\mapsto {\mathrm{e}}^{x+y}$ (avec $y$ fixé) a pour dérivée ${\mathrm{e}}^{x+y}$, et $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$ a pour dérivée $-{\mathrm{e}}^{-x}$.

Un fait préliminaire. Considère $h(x)={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-x}$. En dérivant ce produit : $h^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^x\times (-{\mathrm{e}}^{-x})=0.$ La dérivée de $h$ est nulle sur $\mathbb{R}$, qui est un intervalle : $h$ est donc constante. Comme $h(0)={\mathrm{e}}^0\times {\mathrm{e}}^0=1$, on obtient ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-x}=1\text{pour tout r}\acute{\text{e}}\text{el }x\mathrm{.}(\ast )$

Le cœur de la preuve. Fixe maintenant un réel $y$ et pose la fonction auxiliaire $g(x)={\mathrm{e}}^{x+y}\times {\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{.}$ En dérivant ce produit avec les dérivées rappelées ci-dessus : $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^{x+y}\times {\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^{x+y}\times (-{\mathrm{e}}^{-x})=0.$ De nouveau, $g^{\mathrm{\prime }}$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc $g$ est constante. Or $g(0)={\mathrm{e}}^{0+y}\times {\mathrm{e}}^0={\mathrm{e}}^y$. Ainsi, pour tout réel $x$ : ${\mathrm{e}}^{x+y}\times {\mathrm{e}}^{-x}={\mathrm{e}}^y\mathrm{.}$

Conclusion. Multiplie les deux membres par ${\mathrm{e}}^x$ et utilise $(\ast )$ : ${\mathrm{e}}^{x+y}\times \underset{=1}{\underbrace{{\mathrm{e}}^{-x}\times {\mathrm{e}}^x}}={\mathrm{e}}^y\times {\mathrm{e}}^x,\text{d’o}\grave{\text{u}}{\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y\mathrm{.}$

Retiens le mécanisme, car il est universel : pour prouver une égalité entre deux expressions dépendant de $x$, on construit une fonction dont la dérivée est nulle et l'on identifie sa valeur en un point bien choisi. C'est exactement l'esprit des démonstrations d'équations différentielles que tu croiseras en classes préparatoires.

Exemple. ${\mathrm{e}}^{3+2}={\mathrm{e}}^3\times {\mathrm{e}}^2\mathrm{.}$

Comme pour les puissances, on en déduit d'autres règles.

Exemple. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^5}{{\mathrm{e}}^2}}={\mathrm{e}}^{5-2}={\mathrm{e}}^3\mathrm{.}$

Exemple. ${\left({\mathrm{e}}^{2x}\right)}^3={\mathrm{e}}^{6x}\mathrm{.}$

Le piège de la somme

Salma écrit : ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y\mathrm{.}$

C'est faux.

La bonne formule est : ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y\mathrm{.}$

L'exponentielle transforme une somme en produit, pas en somme.

Leçon 3 — Signe, variations et limites

La fonction exponentielle a une propriété très forte : elle est toujours strictement positive.

Cela signifie que la courbe de l'exponentielle est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

Elle ne coupe jamais l'axe horizontal.

Variations

On sait que : ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{e}}^x\mathrm{.}$

Or : ${\mathrm{e}}^x>0\text{pour tout r}\acute{\text{e}}\text{el }x\mathrm{.}$

Donc la dérivée de l'exponentielle est toujours positive.

Limites

Quand $x$ devient très grand, ${\mathrm{e}}^x$ devient très grand.

Quand $x$ devient très négatif, ${\mathrm{e}}^x$ se rapproche de $0$.

La droite d'équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en $-\mathrm{\infty }$.

Le piège de l'annulation

Karim cherche à résoudre : ${\mathrm{e}}^x=0.$

Il pense qu'il existe forcément une solution.

C'est faux. La fonction exponentielle est toujours strictement positive. Elle peut se rapprocher de $0$, mais elle ne l'atteint jamais.

Leçon 4 — Dériver avec l'exponentielle

La fonction exponentielle est très simple à dériver.

Mais on rencontre souvent des fonctions de la forme ${\mathrm{e}}^{u(x)}$, où l'exposant est lui-même une fonction.

Cette formule est essentielle : on dérive l'exposant, puis on multiplie par l'exponentielle inchangée.

Exemple 1. Soit : $f(x)={\mathrm{e}}^{3x+1}\mathrm{.}$

On pose : $u(x)=3x+1.$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=3.$

Donc : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3{\mathrm{e}}^{3x+1}\mathrm{.}$

Exemple 2. Soit : $g(x)={\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{.}$

On pose : $u(x)=-2x\mathrm{.}$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=-2.$

Donc : $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{.}$

Exemple 3. Soit : $h(x)=x{\mathrm{e}}^x\mathrm{.}$

C'est un produit. On pose : $u(x)=x\text{et}v(x)={\mathrm{e}}^x\mathrm{.}$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=1\text{et}{v}^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x\mathrm{.}$

Donc : $h^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)+u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$

Ainsi : $h^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x\mathrm{.}$

On peut factoriser : $h^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x(1+x)\mathrm{.}$

Le piège de l'exposant composé

Salma dérive : ${\mathrm{e}}^{3x+1}$

et répond : ${\mathrm{e}}^{3x+1}\mathrm{.}$

Elle a oublié de dériver l'exposant.

La bonne dérivée est : $3{\mathrm{e}}^{3x+1}\mathrm{.}$

Leçon 5 — Résoudre des équations et inéquations avec l'exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante. Cela permet de résoudre certaines équations et inéquations.

Exemple. Résoudre : ${\mathrm{e}}^{2x-1}={\mathrm{e}}^5\mathrm{.}$

Comme l'exponentielle est injective : $2x-1=5.$

Donc : $2x=6.$

Ainsi : $x=3.$

Inéquations

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, elle conserve l'ordre.

Exemple. Résoudre : ${\mathrm{e}}^{3x+2}\le {\mathrm{e}}^8\mathrm{.}$

Comme l'exponentielle est strictement croissante : $3x+2\le 8.$

Donc : $3x\le 6.$

Ainsi : $x\le 2.$

Équations avec un nombre

Pour résoudre une équation du type : ${\mathrm{e}}^x=A,$

il faudra utiliser le logarithme népérien, étudié au chapitre suivant.

Mais on peut déjà dire une chose importante :

• si $A\le 0$, il n'y a pas de solution, car ${\mathrm{e}}^x>0$ ;
• si $A>0$, il existe une unique solution.

Le piège du signe

Karim veut résoudre : ${\mathrm{e}}^x=-4.$

Il cherche une valeur de $x$ négative.

C'est impossible. Même si $x$ est négatif, ${\mathrm{e}}^x$ reste positif.

Leçon 6 — Modéliser une croissance ou une décroissance

La fonction exponentielle est l'outil naturel des évolutions proportionnelles à la quantité présente.

Si une quantité augmente à un taux constant, elle suit souvent un modèle exponentiel.

Modèle. Une évolution exponentielle peut s'écrire sous la forme : $f(t)=C{\mathrm{e}}^{kt},$ où $C$ est la valeur initiale et $k$ est un réel qui décrit le rythme d'évolution.

• Si $k>0$, la quantité augmente : croissance exponentielle.
• Si $k<0$, la quantité diminue : décroissance exponentielle.
• Si $k=0$, la quantité reste constante.

Exemple de croissance

Une page compte initialement $10000$ abonnés. On modélise son nombre d'abonnés par : $N(t)=10000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,08}t},$

où $t$ est le temps en mois.

Comme $\mathrm{0,08}>0$, la fonction est croissante.

Au bout de $6$ mois : $N(6)=10000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,48}}\mathrm{.}$

Avec la calculatrice : $N(6)\approx 16160.$

La page compte environ $16160$ abonnés.

Exemple de décroissance

Un médicament est éliminé progressivement par l'organisme. On modélise la quantité restante par : $Q(t)=500{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,3}t},$

où $t$ est en heures et $Q(t)$ en milligrammes.

Comme $-\mathrm{0,3}<0$, la quantité diminue.

Au bout de $4$ heures : $Q(4)=500{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,2}}\mathrm{.}$

Avec la calculatrice : $Q(4)\approx 151.$

Il reste environ $151$ mg de médicament.

Le piège du coefficient initial

Salma voit : $f(t)=500{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,3}t}\mathrm{.}$

Elle pense que $500$ est le taux de décroissance.

C'est faux. Le nombre $500$ est la valeur initiale, car : $f(0)=500{\mathrm{e}}^0=500.$

Le taux d'évolution est lié au coefficient $-\mathrm{0,3}$ dans l'exposant.

Leçon 7 — Étudier une fonction avec exponentielle

Les fonctions contenant une exponentielle s'étudient avec les mêmes outils que les autres : dérivée, signe de la dérivée, limites, tableau de variations.

Exemple guidé

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{.}$

Étape 1 — Calculer la dérivée.

On pose : $u(x)=x\text{et}v(x)={\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{.}$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=1.$

Et : $v^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{.}$

Donc : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)+u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$

Ainsi : $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^{-x}-x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{.}$

On factorise : $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^{-x}(1-x)\mathrm{.}$

Étape 2 — Étudier le signe.

On sait que : ${\mathrm{e}}^{-x}>0\text{pour tout r}\acute{\text{e}}\text{el }x\mathrm{.}$

Donc le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ est celui de $1-x$.

• Si $x<1$, alors $1-x>0$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$.
• Si $x>1$, alors $1-x<0$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$.

Étape 3 — Conclure sur les variations.

La fonction est croissante sur $]-\mathrm{\infty };1]$, puis décroissante sur $[1;+\mathrm{\infty }[$.

Elle admet un maximum en $x=1$.

La valeur maximale est : $f(1)=1\times {\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\mathrm{.}$

Le piège du signe de l'exponentielle

Karim voit : $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^{-x}(1-x)\mathrm{.}$

Il pense qu'il faut étudier le signe de ${\mathrm{e}}^{-x}$.

Mais ${\mathrm{e}}^{-x}$ est toujours strictement positif. Le signe dépend uniquement de $1-x$.

Pièges classiques

1. Croire que $\mathrm{e}$ est une variable.
   $\mathrm{e}$ est un nombre constant, environ égal à $\mathrm{2,718}$.

2. Écrire ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y$.
   C'est faux. La bonne formule est ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^y$.

3. Chercher une solution à ${\mathrm{e}}^x=0$.
   Il n'y en a pas, car ${\mathrm{e}}^x>0$ pour tout réel $x$.

4. Oublier de dériver l'exposant.
   La dérivée de ${\mathrm{e}}^{u(x)}$ est $u^{\mathrm{\prime }}(x){\mathrm{e}}^{u(x)}$.

5. Penser qu'une exponentielle peut être négative.
   Même si l'exposant est négatif, l'exponentielle reste positive.

6. Se tromper dans le signe d'une dérivée.
   Dans une expression comme ${\mathrm{e}}^{-x}(1-x)$, l'exponentielle est positive ; seul $1-x$ donne le signe.

7. Confondre valeur initiale et taux d'évolution.
   Dans $C{\mathrm{e}}^{kt}$, $C$ est la valeur initiale, tandis que $k$ pilote la croissance ou la décroissance.

8. Croire qu'une croissance exponentielle est une croissance régulière par addition.
   Une croissance exponentielle est multiplicative : la quantité augmente proportionnellement à sa taille.

Application concrète

Yasmine compare deux placements de $20000$ dh.

Le premier placement rapporte un intérêt simple : chaque année, elle gagne $1000$ dh. Le capital suit donc une évolution arithmétique : $A(t)=20000+1000t\mathrm{.}$

Le deuxième placement est modélisé par une croissance exponentielle : $B(t)=20000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,045}t}\mathrm{.}$

Ici, $t$ désigne le temps en années.

Étape 1 — Valeur initiale.

Pour le placement exponentiel : $B(0)=20000{\mathrm{e}}^0=20000.$

La valeur initiale est bien $20000$ dh.

Étape 2 — Sens de variation.

On calcule la dérivée : $B^{\mathrm{\prime }}(t)=20000\times \mathrm{0,045}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,045}t}\mathrm{.}$

Donc : $B^{\mathrm{\prime }}(t)=900{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,045}t}\mathrm{.}$

Comme ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,045}t}>0$, on a : $B^{\mathrm{\prime }}(t)>0.$

Le capital augmente donc avec le temps.

Étape 3 — Valeur après 10 ans.

$B(10)=20000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,45}}\mathrm{.}$

Avec la calculatrice : $B(10)\approx 31366.$

Le capital vaut environ $31366$ dh après $10$ ans.

Pour le placement simple : $A(10)=20000+1000\times 10=30000.$

Conclusion.
Au bout de $10$ ans, le placement exponentiel dépasse le placement à intérêt simple. La différence vient de la logique multiplicative : les gains futurs se calculent sur un capital qui a déjà grandi.

La fonction exponentielle modélise précisément ce type de croissance où l'évolution dépend de la quantité déjà présente.

À retenir