Fonction exponentielle — exercices corrigés

Quelle est la valeur de ${\mathrm{e}}^0$ ?

Que vaut ${\mathrm{e}}^1$ ?

Quel est le signe de ${\mathrm{e}}^x$ selon les valeurs de $x$ ?

Que vaut ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^x$ ?

Que vaut ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^x$ ?

Donne la dérivée de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x$.

Simplifie l'expression ${\mathrm{e}}^3\times {\mathrm{e}}^4$ sous la forme ${\mathrm{e}}^n$.

Simplifie l'expression ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^7}{{\mathrm{e}}^2}}$ sous la forme ${\mathrm{e}}^n$.

Simplifie l'expression ${\left({\mathrm{e}}^2\right)}^3$ sous la forme ${\mathrm{e}}^n$.

Réécris l'expression ${\mathrm{e}}^{-x}$ sous la forme d'une fraction.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{3x}$.

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Pour tous réels $x$ et $y$, on a ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y$.

${\mathrm{e}}^x$ peut être négatif quand $x<0$.

L'équation ${\mathrm{e}}^x=0$ admet une solution réelle.

Yasmine étudie un modèle $f(t)=C{\mathrm{e}}^{kt}$ avec $C>0$. Quel choix permet d'identifier croissance ou décroissance ?

Karim modélise le nombre d'abonnés de sa chaîne par $N(t)=10000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,08}t}$, où $t$ est le temps en mois.

Quelle est la valeur initiale, c'est-à-dire le nombre d'abonnés au temps $t=0$ ?

Donne la valeur approchée du nombre $\mathrm{e}$ à ${10}^{-3}$ près.

Que vaut ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x}$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$.

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Pour tous réels $a$ et $b$, ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b$ équivaut à $a=b$.

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation : ${\mathrm{e}}^{2x-1}={\mathrm{e}}^5\mathrm{.}$

Donne la valeur de $x$.

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : ${\mathrm{e}}^{3x+2}\le {\mathrm{e}}^8\mathrm{.}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-2x+1}$.

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^x$.

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et donne une forme factorisée.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}$.

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Karim modélise le nombre d'abonnés de sa chaîne par : $N(t)=10000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,08}t},$ où $t$ est exprimé en mois.

Calcule, arrondi à l'unité, le nombre d'abonnés au bout de $6$ mois. On donne ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,48}}\approx \mathrm{1,6161}$.

Salma étudie la quantité de médicament restante dans l'organisme, en milligrammes, modélisée par : $Q(t)=500{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,3}t},$ où $t$ est exprimé en heures.

Calcule, arrondie à l'unité, la quantité restante au bout de $4$ heures. On donne ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,2}}\approx \mathrm{0,3012}$.

Étudie le signe sur $\mathbb{R}$ de l'expression : $g(x)={\mathrm{e}}^{-x}(1-x)\mathrm{.}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$.

Étudie les variations de $f$ et donne la valeur de son maximum.

Simplifie pour tout réel $x$ l'expression : $A(x)={\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2}{{\mathrm{e}}^x}}\mathrm{.}$

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation : ${\mathrm{e}}^{x^2}={\mathrm{e}}^{2x+3}\mathrm{.}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{x^2}$.

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Yasmine place $20000$ dh sur un compte rémunéré dont la valeur est modélisée par : $B(t)=20000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,045}t},$ où $t$ est exprimé en années.

Calcule la valeur, arrondie au dirham, du placement après $10$ ans. On donne ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,45}}\approx \mathrm{1,5683}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3{\mathrm{e}}^{2x}-5x$.

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Pour tous réels $x$ et $y$, on a ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^y$.

Salma étudie une population de bactéries qui part de $200$ unités au temps $t=0$ et diminue d'environ $15\mathrm{\%}$ chaque heure. Parmi les modèles suivants, lequel décrit correctement la situation ?

Donne l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x)={\mathrm{e}}^x$ au point d'abscisse $x=0$.

Que vaut ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x{\mathrm{e}}^{-x}}$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2{\mathrm{e}}^x+x$.

Étudie le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation : ${\mathrm{e}}^{4x-1}={\mathrm{e}}^{x+5}\mathrm{.}$

Précise la propriété utilisée.

À Casablanca, Karim révise une étude de fonction. Il tombe sur la fonction $f(x)={\mathrm{e}}^x$ et déclare : « Comme $x$ est une variable et $\mathrm{e}$ une autre lettre, $\mathrm{e}$ est aussi une variable. Donc je peux dériver ${\mathrm{e}}^x$ comme une puissance ordinaire ${\mathrm{e}}^x$ par rapport à $\mathrm{e}$, et obtenir $x{\mathrm{e}}^{x-1}$. »

Où est l'erreur dans le raisonnement de Karim ?

Salma, à Fès, dérive la fonction $f(x)={\mathrm{e}}^{-2x+5}$. Elle écrit : « La dérivée de l'exponentielle est elle-même, donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^{-2x+5}$. »

A-t-elle raison, et sinon quelle est la bonne dérivée ?

Yasmine étudie les variations d'une fonction et trouve la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^{2x}(x-3)$ sur $\mathbb{R}$. Elle conclut : « Il y a deux facteurs dont je dois étudier le signe, ${\mathrm{e}}^{2x}$ et $(x-3)$. Comme ${\mathrm{e}}^{2x}$ change de signe en $x=0$ et $(x-3)$ en $x=3$, j'aurai un tableau de signes à deux changements. »

Où est l'erreur dans le raisonnement de Yasmine ?

Une page suivie par Karim, à Rabat, compte des abonnés modélisés par $N(t)=10000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,05}t}$, où $t$ est en mois. Karim calcule $N(0)=10000$ et $N(10)\approx 16487$, puis raisonne : « Donc la page gagne environ $6487$ abonnés tous les $10$ mois. Entre $t=10$ et $t=20$, elle passera de $16487$ à environ $16487+6487\approx 22974$. »

A-t-il raison ?

Yasmine dispose de $20000$ dh et compare deux placements sur $10$ ans :

• Placement A (intérêt simple) : capital + $1000$ dh chaque année, soit $A(t)=20000+1000t$.
• Placement B (croissance exponentielle) : $B(t)=20000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,045}t}$, avec ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,45}}\approx \mathrm{1,5683}$.

Quelle conclusion est correcte après $10$ ans ?

Karim publie une vidéo qui compte initialement $300$ vues. On modélise le nombre de vues au cours du temps par : $V(t)=300{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,45}t},$ où $t$ est exprimé en jours.

Calcule, arrondi à l'unité, le nombre de vues au bout de $6$ jours. On donne ${\mathrm{e}}^{\mathrm{2,7}}\approx \mathrm{14,88}$.

Salma étudie une culture de bactéries qui démarre à $1000$ unités et qui double toutes les heures. On la modélise par : $P(t)=1000\times 2^t,$ où $t$ est exprimé en heures.

Calcule la population au bout de $5$ heures.

Salma affirme : « Pour tous réels $x$ et $y$, ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y$. Je l'ai testée avec $x=y=0$ : ça donne ${\mathrm{e}}^0=1$ et $1+1=2$, et… ah non, ça ne marche pas. »

Quelle est l'analyse correcte de l'erreur de Salma et de la bonne formule ?

Karim veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation ${\mathrm{e}}^x=-4$. Il écrit : « Comme ${\mathrm{e}}^x$ baisse quand $x$ baisse, je vais chercher un $x$ très négatif pour atteindre $-4$. »

Quelle est la critique correcte de son raisonnement ?

Yasmine observe le modèle $Q(t)=500{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,3}t}$ qui décrit la quantité de médicament restante dans l'organisme. Elle affirme : « Le coefficient $500$ représente le taux de décroissance de $50\mathrm{\%}$ par heure. »

Quelle est la critique correcte ?

La population de la région de Marrakech est modélisée par : $P(t)=1000000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,018}t},$ où $t$ est le nombre d'années écoulées depuis le début de l'étude et $P(t)$ le nombre d'habitants.

Estime la population, arrondie au millier, $12$ années après le début de l'étude. On donne ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,216}}\approx \mathrm{1,2412}$.

Salma étudie la désintégration radioactive de l'iode $131$. La masse restante d'un échantillon, en milligrammes, est modélisée par : $M(t)=100{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,086}t},$ où $t$ est exprimé en jours.

Calcule, arrondie à l'unité, la masse restante au bout de $10$ jours. On donne ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,86}}\approx \mathrm{0,4232}$.

Yasmine compare deux placements bancaires sur $5$ ans :

• Placement A : capital initial $30000$ dh, valeur $A(t)=30000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,03}t}$.
• Placement B : capital initial $25000$ dh, valeur $B(t)=25000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,05}t}$.

On donne ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,15}}\approx \mathrm{1,1618}$ et ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,25}}\approx \mathrm{1,2840}$. Quel placement vaut le plus au bout de $5$ ans ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^x$.

Étudie :

1. la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et son signe,
2. les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$,
3. les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$ (on admettra que ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}x{\mathrm{e}}^x=0$ par croissances comparées).

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}$.

Étudie :

1. la dérivée $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et son signe sur $]0;+\mathrm{\infty }[$,
2. les variations de $g$,
3. la limite en $+\mathrm{\infty }$ (on admettra ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}=+\mathrm{\infty }$ par croissances comparées) et la limite en $0^{+}$.

Karim modélise le bénéfice quotidien, en milliers de dirhams, d'un stand de jus frais par la fonction : $B(x)=x{\mathrm{e}}^{-x},$ où $x\ge 0$ est exprimé en centaines de litres vendus.

Pour quelle valeur de $x$ le bénéfice est-il maximal ?

Karim modélise le nombre d'abonnés de sa chaîne par $N(t)=10000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}t}$, où $t$ est exprimé en mois. Il veut estimer au bout de combien de mois son nombre d'abonnés aura doublé. Il calcule les valeurs suivantes : ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{1,65},{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}}\approx \mathrm{2,01},{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,9}}\approx \mathrm{2,46.}$

D'après ces valeurs, à quel mois Karim observe-t-il un doublement du nombre d'abonnés ?

Yasmine compare deux placements :

• Placement A : $A(t)=30000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,03}t}$ ;
• Placement B : $B(t)=25000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,05}t}$.

Montre que les deux placements ont la même valeur à l'instant $t$ si et seulement si ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,02}t}={\displaystyle \frac{30000}{25000}}=\mathrm{1,2}$. On ne demande pas de résoudre numériquement, mais d'établir cette équation.

On admet que la fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp$.

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et soit $f$ la fonction définie sur $I$ par : $f(x)={\mathrm{e}}^{u(x)}\mathrm{.}$

En appliquant la formule de dérivation d'une fonction composée, justifie que : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x){\mathrm{e}}^{u(x)}\mathrm{.}$

Pour tout réel $x$, on a ${\mathrm{e}}^x>0$.

Salma étudie le refroidissement d'un café laissé dans une pièce à $20\mathrm{°}\mathrm{C}$. La température du café, en degrés Celsius, est modélisée par : $T(t)=20+70{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}t},$ où $t$ est exprimé en minutes.

Calcule, arrondie au degré, la température du café après $20$ minutes. On donne ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,368}$.

Soit $k$ un réel fixé et $y$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tout réel $t$ : $y^{\mathrm{\prime }}(t)=k\times y(t)\mathrm{.}$

Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont solutions de cette équation différentielle, pour $C$ une constante réelle ?

Yasmine modélise le nombre d'abonnés d'une page par une fonction de la forme : $f(t)=C{\mathrm{e}}^{kt},$ où $t$ est en mois. Elle relève les deux mesures suivantes : $f(0)=2000\text{et}f(1)=2400.$

Détermine la valeur exacte de $C$ et l'expression de ${\mathrm{e}}^k$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x$ et $a$ un réel fixé.

Donne, en fonction de $a$, l'équation de la tangente $T_a$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

Restitution organisée de connaissances. On rappelle la seule propriété admise ici : la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$, égale à sa propre dérivée, et vaut $1$ en $0$. On admet aussi les dérivées des exponentielles composées avec une fonction affine : $x\mapsto {\mathrm{e}}^{x+y}$ (avec $y$ réel fixé) a pour dérivée ${\mathrm{e}}^{x+y}$, et $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$ a pour dérivée $-{\mathrm{e}}^{-x}$. On rappelle enfin qu'une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle y est constante.

Démontre que, pour tous réels $x$ et $y$ : ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y\mathrm{.}$

Tu structureras ta démonstration en établissant d'abord que ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-x}=1$, puis en introduisant une fonction auxiliaire bien choisie.