Limites de fonctions

Leçon 1 — L'idée de limite

Une limite décrit le comportement d'une fonction près d'un point ou très loin sur l'axe des abscisses.

On écrit : ${\lim }_{x\to a}f(x)=\mathrm{\ell }\mathrm{.}$

Le nombre $a$ peut être un réel, mais aussi $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$.

Exemple. Soit : $f(x)=2x+1.$

Quand $x$ se rapproche de $3$, alors $f(x)$ se rapproche de : $2\times 3+1=7.$

On écrit : ${\lim }_{x\to 3}(2x+1)=7.$

Ici, la limite se calcule simplement en remplaçant $x$ par $3$, car la fonction est bien définie et régulière en $3$.

Le piège de la valeur exacte

Karim pense que calculer une limite revient toujours à calculer $f(a)$.

C'est parfois vrai, mais pas toujours.

La fonction peut ne pas être définie en $a$, tout en ayant une limite quand $x$ se rapproche de $a$.

Par exemple : $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}\mathrm{.}$

Cette fonction n'est pas définie en $x=1$, car le dénominateur vaut $0$.

Mais pour $x\mathrm{\ne }1$ : ${\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}=x+1.$

Donc, quand $x$ se rapproche de $1$, $f(x)$ se rapproche de $2$.

On écrit : ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}=2.$

Leçon 2 — Limite finie en l'infini

On peut étudier ce que devient une fonction quand $x$ devient très grand.

On écrit : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=\mathrm{\ell }\mathrm{.}$

Exemple. Soit : $f(x)=2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{.}$

Quand $x$ devient très grand, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ devient très petit, donc $f(x)$ se rapproche de $2$.

On écrit : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(2+{\displaystyle \frac{1}{x}})=2.$

Dans l'exemple précédent, la droite $y=2$ est une asymptote horizontale.

Le piège de « presque égal »

Salma voit que $f(x)$ se rapproche de $2$ et dit : « donc à un moment, $f(x)=2$ ».

Pas forcément.

Pour $f(x)=2+{\displaystyle \frac{1}{x}}$, on a toujours ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0$ si $x>0$. Donc $f(x)$ reste toujours au-dessus de $2$, sans jamais l'atteindre.

Leçon 3 — Limite infinie en l'infini

Parfois, quand $x$ devient très grand, $f(x)$ ne se rapproche pas d'un nombre réel : elle devient elle-même très grande.

On écrit : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Exemple. Pour : $f(x)=x^2,$

quand $x$ devient très grand, $x^2$ devient encore plus grand.

On écrit : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^2=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

De même : ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2=+\mathrm{\infty },$

car le carré d'un très grand nombre négatif est un très grand nombre positif.

Comportement des fonctions usuelles

Le piège du signe à $-\mathrm{\infty }$

Karim dit : ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

C'est faux. Même si $x$ est négatif, $x^2$ est positif. Quand $x$ devient très négatif, son carré devient très positif.

Donc : ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Mais : ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^3=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Leçon 4 — Limite infinie en un réel

Certaines fonctions deviennent infiniment grandes quand $x$ se rapproche d'une valeur interdite.

L'exemple le plus important est : $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{.}$

Quand $x$ se rapproche de $0$ par valeurs positives, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ devient très grand.

Par exemple :

• si $x=\mathrm{0,1}$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}=10$ ;
• si $x=\mathrm{0,01}$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}=100$ ;
• si $x=\mathrm{0,001}$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}=1000$.

On écrit : ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Mais si $x$ se rapproche de $0$ par valeurs négatives :

• si $x=-\mathrm{0,1}$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-10$ ;
• si $x=-\mathrm{0,01}$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-100$ ;
• si $x=-\mathrm{0,001}$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-1000$.

On écrit : ${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{1}{x}}=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Pour $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, la droite $x=0$ est une asymptote verticale.

Le piège de la limite à gauche et à droite

Salma écrit : ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

C'est incomplet et faux si on ne précise pas le côté.

À droite de $0$, la limite vaut $+\mathrm{\infty }$.

À gauche de $0$, la limite vaut $-\mathrm{\infty }$.

Les deux comportements sont différents, donc la limite en $0$ n'existe pas au sens global.

Leçon 5 — Calculer une limite par opérations

Les limites se calculent souvent en combinant des limites simples.

Somme, produit, quotient

Exemple. Calculer : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(3+{\displaystyle \frac{2}{x}})\mathrm{.}$

On sait que : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{x}}=0.$

Donc : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(3+{\displaystyle \frac{2}{x}})=3+0=3.$

Les formes indéterminées

Certaines expressions ne permettent pas de conclure directement.

Les formes indéterminées classiques sont : $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },$ $0\times \mathrm{\infty },$ ${\displaystyle \frac{0}{0}},$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}\mathrm{.}$

Exemple de forme indéterminée

Calculer : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x^2-x)\mathrm{.}$

Si on regarde séparément : $x^2\to +\mathrm{\infty }\text{et}x\to +\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

On obtient une forme : $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

On ne peut pas conclure directement.

On factorise : $x^2-x=x^2(1-{\displaystyle \frac{1}{x}})\mathrm{.}$

Quand $x\to +\mathrm{\infty }$ : $x^2\to +\mathrm{\infty }$

et : $1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\to 1.$

Donc : $x^2(1-{\displaystyle \frac{1}{x}})\to +\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Ainsi : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x^2-x)=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Le piège du calcul automatique

Karim voit $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ et répond $0$.

C'est faux. L'infini n'est pas un nombre que l'on soustrait comme $5-5$.

Selon les fonctions, une expression de type $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ peut tendre vers $+\mathrm{\infty }$, vers $-\mathrm{\infty }$, vers un réel, ou ne pas avoir de limite.

Leçon 6 — Lever une indétermination

Lever une indétermination, c'est transformer une expression pour faire apparaître sa vraie limite.

Cas 1 — Factoriser par le terme dominant

Pour les polynômes à l'infini, le terme de plus haut degré domine.

Exemple. Calculer : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(-2x^3+5x^2-7)\mathrm{.}$

Le terme dominant est $-2x^3$.

On factorise par $x^3$ : $-2x^3+5x^2-7=x^3(-2+{\displaystyle \frac{5}{x}}-{\displaystyle \frac{7}{x^3}})\mathrm{.}$

Quand $x\to +\mathrm{\infty }$ : $x^3\to +\mathrm{\infty }$

et : $-2+{\displaystyle \frac{5}{x}}-{\displaystyle \frac{7}{x^3}}\to -2.$

Donc : $x^3(-2+{\displaystyle \frac{5}{x}}-{\displaystyle \frac{7}{x^3}})\to -\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Ainsi : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(-2x^3+5x^2-7)=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Cas 2 — Simplifier une fraction rationnelle

Pour une fraction rationnelle, on compare les termes dominants du numérateur et du dénominateur.

Exemple. Calculer : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3x^2-1}{2x^2+5x}}\mathrm{.}$

On factorise par $x^2$ en haut et en bas : ${\displaystyle \frac{3x^2-1}{2x^2+5x}}={\displaystyle \frac{x^2(3-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})}{x^2(2+{\displaystyle \frac{5}{x}})}}\mathrm{.}$

On simplifie : ${\displaystyle \frac{3-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}{2+{\displaystyle \frac{5}{x}}}}\mathrm{.}$

Quand $x\to +\mathrm{\infty }$ : ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}\to 0\text{et}{\displaystyle \frac{5}{x}}\to 0.$

Donc : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3x^2-1}{2x^2+5x}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$

Cas 3 — Factoriser près d'une valeur interdite

Exemple. Calculer : ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}\mathrm{.}$

En remplaçant directement $x$ par $2$, on obtient : ${\displaystyle \frac{0}{0}}\mathrm{.}$

C'est une forme indéterminée.

On factorise : $x^2-4=(x-2)(x+2)\mathrm{.}$

Donc, pour $x\mathrm{\ne }2$ : ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}={\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}=x+2.$

Ainsi : ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}={\lim }_{x\to 2}(x+2)=4.$

Pièges classiques

1. Confondre limite et valeur de la fonction.
   Une fonction peut avoir une limite en $a$ sans être définie en $a$.

2. Oublier les limites à droite et à gauche.
   Près d'une valeur interdite, les deux côtés peuvent donner des comportements différents.

3. Traiter $+\mathrm{\infty }$ comme un nombre.
   L'infini n'est pas un réel. On ne calcule pas avec lui comme avec $5$ ou $10$.

4. Répondre trop vite à une forme indéterminée.
   $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ ou ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ exigent une transformation.

5. Oublier le terme dominant.
   À l'infini, dans un polynôme ou une fraction rationnelle, le plus haut degré gouverne le comportement.

6. Confondre asymptote horizontale et verticale.
   $y=\mathrm{\ell }$ est une asymptote horizontale. $x=a$ est une asymptote verticale.

7. Croire qu'une asymptote est forcément atteinte.
   Une courbe peut se rapprocher d'une droite sans jamais la toucher.

Application concrète

Yasmine étudie la consommation moyenne d'une voiture sur un long trajet entre Rabat et Agadir.

Au début, les premiers kilomètres donnent une estimation instable : un arrêt, un embouteillage ou une montée peuvent beaucoup influencer la moyenne. Mais plus la distance totale augmente, plus la consommation moyenne se stabilise autour d'une valeur.

On modélise cette consommation moyenne par : $f(x)=6+{\displaystyle \frac{12}{x}},$

où $x$ désigne la distance parcourue en kilomètres, et $f(x)$ la consommation moyenne en L/100 km.

Quand $x$ devient très grand : ${\displaystyle \frac{12}{x}}\to 0.$

Donc : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(6+{\displaystyle \frac{12}{x}})=6.$

Cela signifie que la consommation moyenne se rapproche de $6$ L/100 km lorsque la distance parcourue devient très grande.

La droite : $y=6$

est une asymptote horizontale à la courbe de $f$.

Interprétation. Sur un petit trajet, la consommation moyenne peut varier fortement. Sur un long trajet, elle se stabilise autour de $6$ L/100 km. La limite donne donc une tendance de fond, pas forcément une valeur atteinte exactement.

À retenir