Calcul littéral

Comprendre une expression littérale

Exemples.

$$3x+5$$ $$2a-7$$ $$x^2+4x+1$$

Dans l'expression $3x+5$, la lettre $x$ peut prendre différentes valeurs.

Si $x=2$, alors :

$$3x+5=3\times 2+5=6+5=11$$

Si $x=10$, alors :

$$3x+5=3\times 10+5=30+5=35$$

Une lettre représente donc un nombre. Une expression littérale permet d'écrire une formule générale.

Le signe de multiplication peut disparaître

En calcul littéral, tu n'écris pas toujours le signe $\times$.

Tu écris :

$$3x$$

au lieu de :

$$3\times x$$

Tu écris aussi :

$$2(a+5)$$

au lieu de :

$$2\times (a+5)$$

Attention : $3x$ signifie $3\times x$. Ce n'est pas un nombre à deux chiffres.

Réduire une expression littérale

Réduire une expression, c'est regrouper les termes de même nature.

Exemple.

Réduisons :

$$4x+3x$$

Tu regroupes les termes en $x$ :

$$4x+3x=7x$$

Autre exemple :

$$5x+2+3x+7$$

Tu regroupes les termes en $x$ ensemble, puis les nombres ensemble :

$$5x+3x+2+7=8x+9$$

Donc :

$$5x+2+3x+7=8x+9$$

Les termes de nature différente ne se mélangent pas

Tu ne peux pas additionner directement un terme en $x$ et un nombre.

Par exemple :

$$3x+5$$

ne peut pas se réduire davantage.

Le terme $3x$ dépend de $x$, alors que $5$ est un nombre fixe.

Réduire avec des carrés

Tu peux regrouper les termes en $x^2$ avec les termes en $x^2$, les termes en $x$ avec les termes en $x$, et les nombres avec les nombres.

Exemple.

$$2x^2+5x+3x^2-2x+4$$

Tu regroupes :

$$2x^2+3x^2=5x^2$$ $$5x-2x=3x$$

Le nombre $4$ reste seul.

Donc :

$$2x^2+5x+3x^2-2x+4=5x^2+3x+4$$

Les $x^2$, les $x$ et les nombres seuls sont des familles différentes.

Développer une expression

Développer une expression, c'est transformer un produit en somme ou en différence.

La règle principale est la distributivité.

Propriété (distributivité). Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$ :

$a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac$

Exemple.

Développons :

$$3(x+4)$$

Le nombre 3 multiplie chaque terme de la parenthèse :

$$3(x+4)=3\times x+3\times 4$$

Donc :

$$3(x+4)=3x+12$$

Autre exemple :

$$5(2x-3)$$

Tu distribues 5 :

$$5(2x-3)=5\times 2x-5\times 3$$

Donc :

$$5(2x-3)=10x-15$$

Développer avec un signe négatif

Le signe moins devant une parenthèse change les signes à l'intérieur.

Exemple.

$$-(x+6)=-x-6$$

Autre exemple :

$$-(2x-5)=-2x+5$$

Dans $-(2x-5)$, le résultat est $-2x+5$, pas $-2x-5$.

Développer un produit de deux parenthèses

Pour développer un produit de deux parenthèses, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la deuxième.

Exemple.

Développons :

$$(x+3)(x+5)$$

Tu distribues :

$$(x+3)(x+5)=x\times x+x\times 5+3\times x+3\times 5$$

Donc :

$$(x+3)(x+5)=x^2+5x+3x+15$$

Tu réduis :

$$(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$$

Factoriser une expression

Factoriser, c'est faire l'inverse de développer.

Développer transforme un produit en somme.
Factoriser transforme une somme en produit.

Exemple.

Tu sais que :

$$3(x+4)=3x+12$$

Donc, dans l'autre sens :

$$3x+12=3(x+4)$$

Ici, $3$ est un facteur commun.

Factoriser, c'est repérer un facteur commun et le mettre devant une parenthèse.

Repérer un facteur commun

Exemple.

Factorisons :

$$6x+9$$

Les deux termes $6x$ et $9$ sont divisibles par 3.

Tu écris :

$$6x+9=3\times 2x+3\times 3$$

Donc :

$$6x+9=3(2x+3)$$

Autre exemple :

$$5x+5y$$

Le facteur commun est 5 :

$$5x+5y=5(x+y)$$

Factoriser avec une expression commune

Le facteur commun peut aussi être une expression entre parenthèses.

Exemple.

Factorisons :

$$(x+2)(x+5)+3(x+5)$$

Le facteur commun est $(x+5)$.

Donc :

$$(x+2)(x+5)+3(x+5)=(x+5)((x+2)+3)$$

Tu réduis dans la deuxième parenthèse :

$$(x+5)(x+5)$$

ou encore :

$$(x+5{)}^2$$

Le facteur commun n'est pas toujours un nombre. Il peut être une lettre ou une parenthèse entière.

Les identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules très utiles pour développer ou factoriser rapidement.

Il y en a trois à connaître en 3e.

Carré d'une somme

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Exemple.

$$(x+4{)}^2=x^2+2\times x\times 4+4^2$$

Donc :

$$(x+4{)}^2=x^2+8x+16$$

Carré d'une différence

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

Exemple.

$$(x-3{)}^2=x^2-2\times x\times 3+3^2$$

Donc :

$$(x-3{)}^2=x^2-6x+9$$

Différence de deux carrés

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Exemple.

$$(x-5)(x+5)=x^2-25$$

car :

$$5^2=25$$

Les identités remarquables servent dans les deux sens : pour développer et pour factoriser.

Utiliser une identité remarquable pour factoriser

Exemple.

Factorisons :

$$x^2-49$$

Tu reconnais une différence de deux carrés :

$$x^2-49=x^2-7^2$$

Donc :

$$x^2-49=(x-7)(x+7)$$

Utiliser le calcul littéral dans un problème

Le calcul littéral sert à traduire une situation en expression mathématique.

Exemple.

Dans une salle de sport, l'inscription coûte 100 dh, puis chaque séance coûte 30 dh.

Si une personne fait $x$ séances, le prix total est :

$$100+30x$$

Si elle fait 8 séances :

$$100+30\times 8=100+240=340$$

Le prix total est donc 340 dh.

Comparer deux programmes

Deux clubs proposent des tarifs différents :

• Club A : 100 dh d'inscription puis 30 dh par séance ;
• Club B : 50 dh d'inscription puis 40 dh par séance.

Pour $x$ séances :

$$A=100+30x$$ $$B=50+40x$$

Le calcul littéral permet de comparer les deux tarifs selon le nombre de séances.

Par exemple, pour 10 séances :

$$A=100+30\times 10=400$$ $$B=50+40\times 10=450$$

Pour 10 séances, le club A est moins cher.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre $3x$ avec un nombre à deux chiffres. L'écriture $3x$ signifie $3\times x$. Ce n'est pas « trente quelque chose ». Si $x=4$, alors $3x=12$, pas 34.

Piège 2 : mélanger des termes de nature différente. Tu peux réduire $4x+3x=7x$, mais tu ne peux pas réduire $4x+3$ : le terme $4x$ dépend de $x$ alors que $3$ est un nombre fixe. Ils n'appartiennent pas à la même famille.

Piège 3 : oublier de distribuer sur toute la parenthèse. Dans $3(x+5)$, le facteur 3 multiplie chaque terme : $3(x+5)=3x+15$. Écrire $3x+5$ revient à oublier de distribuer sur le 5.

Piège 4 : se tromper avec le signe moins devant une parenthèse. Karim écrit $-(x-4)=-x-4$. C'est faux : le signe moins change le signe de chaque terme de la parenthèse. Le bon résultat est :

$$-(x-4)=-x+4$$

Piège 5 : croire que $(a+b{)}^2=a^2+b^2$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Salma écrit $(x+3{)}^2=x^2+9$ en oubliant le double produit. La bonne formule est $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, donc :

$$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$

Piège 6 : mal reconnaître une identité remarquable. L'expression $x^2-49$ se factorise avec la différence de deux carrés : $x^2-49=(x-7)(x+7)$. Mais $x^2+49$, une somme de deux carrés, ne se factorise pas avec cette identité en 3e.

Application concrète

Amine veut s'inscrire dans une salle de sport à Casablanca. Le club affiche un tarif simple : 100 dh d'inscription, puis 30 dh par séance. Plutôt que de refaire un calcul à chaque fois qu'il change d'avis sur le nombre de séances, Amine décide de tout écrire avec une expression littérale.

Étape 1 — Traduire le tarif par une expression. Amine note $x$ le nombre de séances qu'il fera dans l'année. Le coût total s'écrit :

$$100+30x$$

L'inscription, 100 dh, est fixe ; la partie $30x$ dépend du nombre de séances.

Étape 2 — Calculer pour une valeur. S'il prévoit 8 séances, il remplace $x$ par 8 :

$$100+30\times 8=100+240=340$$

Cela lui coûtera 340 dh.

Étape 3 — Comparer avec un autre club. Un deuxième club propose 50 dh d'inscription puis 40 dh la séance, soit $50+40x$. Pour 8 séances :

$$50+40\times 8=50+320=370$$

Pour 8 séances, le premier club (340 dh) est moins cher que le second (370 dh).

Conclusion. Avec une seule expression littérale, Amine compare les deux clubs pour n'importe quel nombre de séances, sans tout recommencer. Écrire une formule générale plutôt qu'un calcul unique : c'est exactement ce qui te servira au chapitre suivant pour poser et résoudre des équations.

À retenir