Équations et inéquations

Comprendre une équation

Exemples.

$$x+5=12$$ $$3x=21$$ $$2x+4=x+10$$

L'inconnue est souvent appelée $x$, mais tu peux utiliser une autre lettre.

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

Tester une solution

Tu peux vérifier si un nombre est solution d'une équation en remplaçant l'inconnue par ce nombre.

Exemple.

Tu considères l'équation :

$$2x+3=11$$

Testons $x=4$.

Dans le membre de gauche :

$$2\times 4+3=8+3=11$$

Le membre de droite vaut aussi 11.

Donc $x=4$ est une solution de l'équation.

Vocabulaire

Dans une équation, il y a deux membres :

$$2x+3=11$$

• $2x+3$ est le membre de gauche ;
• $11$ est le membre de droite.

Résoudre une équation consiste souvent à transformer les deux membres pour isoler l'inconnue.

Résoudre une équation du premier degré

Pour résoudre une équation, tu peux effectuer la même opération des deux côtés de l'égalité.

Une égalité reste vraie si on ajoute, soustrait, multiplie ou divise ses deux membres par un même nombre non nul.

Exemple simple

Résolvons :

$$x+7=15$$

Tu veux isoler $x$.
Tu soustrais 7 des deux côtés :

$$x+7-7=15-7$$

Donc :

$$x=8$$

La solution est :

$$x=8$$

Avec une multiplication

Résolvons :

$$3x=21$$

Tu divises les deux membres par 3 :

$${\displaystyle \frac{3x}{3}}={\displaystyle \frac{21}{3}}$$

Donc :

$$x=7$$

La solution est :

$$x=7$$

Avec plusieurs étapes

Résolvons :

$$2x+5=17$$

Tu commences par soustraire 5 :

$$2x=12$$

Puis tu divises par 2 :

$$x=6$$

La solution est :

$$x=6$$

Avec l'inconnue des deux côtés

Résolvons :

$$5x+3=2x+18$$

Tu regroupes les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre.

Tu soustrais $2x$ des deux côtés :

$$3x+3=18$$

Tu soustrais 3 :

$$3x=15$$

Tu divises par 3 :

$$x=5$$

La solution est :

$$x=5$$

Il faut faire la même opération des deux côtés de l'égalité. Sinon, l'équation change et la solution devient fausse.

Combien de solutions a une équation ?

La plupart des équations du premier degré ont exactement une solution. Mais ce n'est pas toujours le cas : en regroupant les termes, l'inconnue peut disparaître des deux côtés. Deux situations particulières apparaissent alors.

Une infinité de solutions. Résolvons :

$$2(x+3)=2x+6$$

Tu développes le membre de gauche :

$$2x+6=2x+6$$

Les deux membres sont identiques. Tu soustrais $2x$ des deux côtés :

$$6=6$$

Cette égalité est vraie quelle que soit la valeur de $x$. L'équation est donc vérifiée par tous les nombres : elle a une infinité de solutions.

Aucune solution. Résolvons :

$$2x+1=2x+5$$

Tu soustrais $2x$ des deux côtés :

$$1=5$$

Cette égalité est fausse, quelle que soit la valeur de $x$. Aucun nombre ne peut rendre l'équation vraie : elle n'a aucune solution.

Résoudre une équation produit

Une équation produit est une équation dans laquelle un produit est égal à zéro.

Exemple.

$$(x-3)(x+5)=0$$

Exemple

Résolvons :

$$(x-3)(x+5)=0$$

Le produit est nul, donc :

$$x-3=0$$

ou :

$$x+5=0$$

Tu résous chaque équation.

Première équation :

$$x-3=0$$

Donc :

$$x=3$$

Deuxième équation :

$$x+5=0$$

Donc :

$$x=-5$$

Les solutions sont donc :

$$x=3$$

et :

$$x=-5$$

Pourquoi factoriser est utile

Parfois, il faut d'abord factoriser pour obtenir une équation produit.

Exemple.

Résolvons :

$$x^2-9=0$$

Tu reconnais une différence de deux carrés :

$$x^2-9=x^2-3^2$$

Donc :

$$x^2-9=(x-3)(x+3)$$

L'équation devient :

$$(x-3)(x+3)=0$$

Donc :

$$x-3=0$$

ou :

$$x+3=0$$

Les solutions sont :

$$x=3$$

et :

$$x=-3$$

Tu ne peux utiliser la propriété du produit nul que si le produit est égal à zéro.

Résoudre un problème avec une équation

Pour résoudre un problème avec une équation, tu suis une méthode :

1. Choisir l'inconnue.
2. Traduire l'énoncé par une équation.
3. Résoudre l'équation.
4. Vérifier que la réponse correspond à la question.
5. Conclure par une phrase.

Exemple

Un cinéma vend deux types de billets :

• billet enfant : 30 dh ;
• billet adulte : 50 dh.

Une famille achète 2 billets adultes et plusieurs billets enfants.
Le total est de 190 dh.

Combien de billets enfants ont été achetés ?

Tu appelles $x$ le nombre de billets enfants.

Le prix des billets enfants est :

$$30x$$

Le prix des 2 billets adultes est :

$$2\times 50=100$$

Le prix total est donc :

$$30x+100$$

Tu sais que le total est 190 dh, donc :

$$30x+100=190$$

Tu résous :

$$30x=90$$ $$x=3$$

La famille a acheté 3 billets enfants.

Vérification

Si la famille achète 3 billets enfants :

$$3\times 30=90$$

Les 2 billets adultes coûtent :

$$2\times 50=100$$

Total :

$$90+100=190$$

La réponse est cohérente.

Comprendre une inéquation

Les principaux symboles sont :

• $<$ : strictement inférieur à ;
• $>$ : strictement supérieur à ;
• $\le$ : inférieur ou égal à ;
• $\ge$ : supérieur ou égal à.

Exemples.

$$x+3<10$$ $$2x\ge 12$$ $$5x-1\le 19$$

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie.

Exemple simple

Résolvons :

$$x+4\le 9$$

Tu soustrais 4 des deux côtés :

$$x\le 5$$

Toutes les valeurs inférieures ou égales à 5 sont solutions.

Par exemple :

• $x=5$ est solution ;
• $x=2$ est solution ;
• $x=-10$ est solution ;
• $x=6$ n'est pas solution.

Représenter les solutions

Les solutions de :

$$x\le 5$$

sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 5.

Sur une droite graduée, tu colories tous les nombres à gauche de 5, en incluant 5.

Résoudre une inéquation du premier degré

Tu résous une inéquation presque comme une équation.

Exemple.

Résolvons :

$$3x+2<14$$

Tu soustrais 2 :

$$3x<12$$

Tu divises par 3 :

$$x<4$$

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 4.

Attention au signe quand on multiplie ou divise par un nombre négatif

C'est le point le plus important du chapitre.

Exemple.

Résolvons :

$$-2x<8$$

Tu divises par $-2$.

Comme tu divises par un nombre négatif, tu changes le sens de l'inégalité :

$$x>-4$$

Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à $-4$.

Pour comprendre ce retournement, regarde ce que devient l'ordre de deux nombres quand tu prends leurs opposés.

Autre exemple

Résolvons :

$$5-3x\ge 20$$

Tu soustrais 5 :

$$-3x\ge 15$$

Tu divises par $-3$ et tu changes le sens :

$$x\le -5$$

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $-5$.

Résoudre un problème avec une inéquation

Une inéquation est utile quand une situation contient des mots comme :

• au maximum ;
• au minimum ;
• moins de ;
• plus de ;
• inférieur à ;
• supérieur à ;
• ne dépasse pas ;
• au moins.

Exemple

Un élève veut acheter des cahiers.
Chaque cahier coûte 12 dh.
Il dispose de 100 dh.

Combien de cahiers peut-il acheter au maximum ?

Tu appelles $x$ le nombre de cahiers.

Le prix total est :

$$12x$$

Il ne doit pas dépasser 100 dh, donc :

$$12x\le 100$$

Tu divises par 12 :

$$x\le {\displaystyle \frac{100}{12}}$$

Or :

$${\displaystyle \frac{100}{12}}\approx \mathrm{8,33}$$

Comme $x$ représente un nombre de cahiers, il doit être entier.

L'élève peut donc acheter au maximum 8 cahiers.

Vérification

Pour 8 cahiers :

$$8\times 12=96$$

Il peut payer.

Pour 9 cahiers :

$$9\times 12=108$$

Il dépasse son budget.

Donc la réponse est bien 8 cahiers.

Pièges classiques

Piège 1 : oublier de faire la même opération des deux côtés. Dans une équation, chaque opération doit être faite dans les deux membres. Pour $x+5=12$, tu soustrais 5 de chaque côté et tu obtiens $x=7$. Modifier un seul membre change l'équation.

Piège 2 : changer le sens d'une inégalité au mauvais moment. Salma résout $-2x<8$ et écrit $x<-4$ : elle a oublié de changer le sens. Tu ne changes le sens de l'inégalité que lorsque tu multiplies ou divises par un nombre négatif. Ici, tu divises par $-2$, donc :

$$-2x<8\text{donne}x>-4$$

Piège 3 : utiliser le produit nul sans avoir zéro. La règle du produit nul s'utilise uniquement quand le produit vaut zéro. Tu peux résoudre $(x-3)(x+5)=0$, mais tu ne peux pas l'appliquer directement à $(x-3)(x+5)=10$.

Piège 4 : développer une équation produit au lieu d'utiliser la règle. Karim veut résoudre $(x-3)(x+5)=0$ et commence par tout développer en $x^2+2x-15=0$ : il se complique la tâche et perd la forme factorisée. Quand un produit est déjà nul, tu lis directement les solutions facteur par facteur.

Piège 5 : oublier de vérifier la solution. Après avoir trouvé une solution, il faut la remplacer dans l'équation de départ pour vérifier qu'elle rend bien l'égalité vraie.

Piège 6 : oublier le contexte du problème. Si $x$ représente un nombre de cahiers, alors $x$ doit être un entier positif. Même si le calcul donne $x\le \mathrm{8,33}$, la réponse concrète est 8 cahiers au maximum.

Application concrète

Yasmine prépare la rentrée. Elle dispose de 100 dh pour des cahiers vendus 12 dh l'unité au souk, et elle veut aussi vérifier le prix d'un téléphone vu en vitrine. Les équations et les inéquations vont l'aider à décider.

Étape 1 — Un prix inconnu (équation). En vitrine, un téléphone et sa coque coûtent ensemble 2 800 dh, et la coque est affichée à 200 dh. Yasmine note $x$ le prix du téléphone seul :

$$x+200=2800$$

Elle soustrait 200 des deux côtés :

$$x=2600$$

Le téléphone seul coûte 2 600 dh.

Étape 2 — Un nombre maximal (inéquation). Pour les cahiers, Yasmine ne veut pas dépasser 100 dh. Si elle achète $x$ cahiers :

$$12x\le 100$$

En divisant par 12 :

$$x\le {\displaystyle \frac{100}{12}}\approx \mathrm{8,33}$$

Comme un nombre de cahiers est entier, Yasmine peut en acheter 8 au maximum.

Étape 3 — Vérifier le sens du résultat. $8\times 12=96$ dh : elle paie. $9\times 12=108$ dh : elle dépasse. La réponse 8 a bien du sens dans le contexte.

Conclusion. Une équation a donné à Yasmine une valeur (le prix du téléphone) ; une inéquation lui a donné un ensemble de valeurs possibles (le nombre de cahiers). Tu retrouveras cette distinction au chapitre suivant, quand une fonction associera à chaque valeur de $x$ un résultat unique.

À retenir