Théorème de Thalès

Comprendre la configuration de Thalès

Le théorème de Thalès s'utilise dans une situation particulière.

Tu considères deux droites sécantes en un point $A$.
Sur l'une des droites, tu places deux points $B$ et $M$.
Sur l'autre droite, tu places deux points $C$ et $N$.

Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors tu peux utiliser le théorème de Thalès.

Tu obtiens une configuration avec deux triangles :

• le grand triangle $ABC$ ;
• le petit triangle $AMN$.

Les deux triangles ont le même sommet $A$ et leurs côtés opposés sont parallèles.

Configuration emboîtée

Dans la configuration emboîtée, les points $M$ et $N$ sont situés sur les côtés du triangle $ABC$.

Tu as :

• $M$ sur le segment $[AB]$ ;
• $N$ sur le segment $[AC]$ ;
• $(MN)$ parallèle à $(BC)$.

Dans ce cas, le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$.

Configuration en papillon

Il existe aussi une configuration dite en papillon.

Les points $M$ et $B$ sont alignés avec $A$, et les points $N$ et $C$ sont alignés avec $A$, mais les triangles sont situés de part et d'autre du point $A$.

Même dans cette configuration, si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, tu peux utiliser le théorème de Thalès.

Énoncé du théorème de Thalès

Théorème de Thalès. On considère deux droites sécantes en $A$. Si les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, si les points $A$, $N$, $C$ sont alignés, et si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors :

${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$

Ces égalités de rapports permettent de calculer une longueur inconnue.

Correspondance des côtés

Dans la configuration de Thalès :

• $AM$ correspond à $AB$ ;
• $AN$ correspond à $AC$ ;
• $MN$ correspond à $BC$.

Il faut toujours comparer les côtés qui se correspondent.

Calculer une longueur avec Thalès

Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur inconnue à l'aide de la proportionnalité.

Exemple.

Dans un triangle $ABC$, les points $M$ et $N$ sont placés respectivement sur $[AB]$ et $[AC]$.
Tu sais que :

• $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ ;
• $AM=3$ cm ;
• $AB=9$ cm ;
• $AC=12$ cm.

Tu cherches $AN$.

Comme les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, tu peux appliquer le théorème de Thalès :

$${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$$

Tu remplaces par les valeurs connues :

$${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{AN}{12}}$$

Tu simplifies :

$${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

Donc :

$${\displaystyle \frac{AN}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

Ainsi :

$$AN=12\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=4$$

La longueur $AN$ est donc égale à 4 cm.

Méthode

Pour calculer une longueur avec le théorème de Thalès :

1. vérifier les alignements ;
2. vérifier que les droites sont parallèles ;
3. écrire les bons rapports ;
4. remplacer par les longueurs connues ;
5. résoudre l'égalité de fractions ;
6. conclure avec l'unité.

Utiliser un tableau de proportionnalité

Tu peux aussi utiliser un tableau de proportionnalité pour appliquer le théorème de Thalès.

Exemple.

Tu sais que :

• $AM=4$ cm ;
• $AB=10$ cm ;
• $MN=6$ cm ;
• $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

Tu cherches $BC$.

Avec Thalès :

$${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$$

Donc :

$${\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{6}{BC}}$$

Tu peux organiser les longueurs correspondantes dans un tableau :

Petit triangle	$AM=4$	$MN=6$
Grand triangle	$AB=10$	$BC=?$

Le coefficient pour passer du petit triangle au grand triangle est :

$${\displaystyle \frac{10}{4}}=\mathrm{2,5}$$

Donc :

$$BC=6\times \mathrm{2,5}=15$$

La longueur $BC$ est donc égale à 15 cm.

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.

Tu l'utilises quand tu connais des longueurs et que tu veux savoir si deux droites sont parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès. Si les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans le même ordre que les points $A$, $N$, $C$, et si ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Exemple

Tu sais que :

• $A$, $M$, $B$ sont alignés ;
• $A$, $N$, $C$ sont alignés ;
• $AM=2$ cm ;
• $AB=8$ cm ;
• $AN=3$ cm ;
• $AC=12$ cm.

Tu veux savoir si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Tu calcules les deux rapports :

$${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

et :

$${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

Les deux rapports sont égaux.

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Contraposée du théorème de Thalès

La contraposée du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.

Tu l'utilises quand les rapports ne sont pas égaux.

Exemple.

Tu sais que :

• $A$, $M$, $B$ sont alignés ;
• $A$, $N$, $C$ sont alignés ;
• $AM=3$ cm ;
• $AB=9$ cm ;
• $AN=4$ cm ;
• $AC=10$ cm.

Calculons :

$${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

et :

$${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$$

Or :

$${\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{2}{5}}$$

Les rapports ne sont pas égaux.

Donc les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Le rapport de réduction et les aires

Dans une configuration de Thalès, le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$. Toutes ses longueurs sont multipliées par un même nombre $k$, appelé le rapport de réduction :

$$k={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$$

Exemple.

Si $AM=3$ cm et $AB=9$ cm, alors :

$$k={\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

Chaque longueur du petit triangle vaut le tiers de la longueur correspondante du grand triangle.

L'effet sur les aires

Les aires, elles, ne sont pas multipliées par $k$, mais par $k^2$. C'est une erreur très fréquente de croire que si les longueurs sont deux fois plus petites, l'aire l'est aussi.

Exemple.

Si les longueurs du petit triangle sont deux fois plus petites que celles du grand ($k={\displaystyle \frac{1}{2}}$), alors son aire vaut :

$${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

de celle du grand triangle, c'est-à-dire quatre fois plus petite, et non deux fois.

Cette règle est exactement celle des agrandissements-réductions et des homothéties : tu la retrouveras dans le chapitre sur les transformations géométriques.

Pièges classiques

Piège 1 : oublier de vérifier les parallèles. Le théorème de Thalès ne s'applique que si deux droites sont parallèles. Si l'énoncé ne le précise pas, tu ne peux pas appliquer directement le théorème : il faut d'abord le justifier.

Piège 2 : mélanger les côtés correspondants. Il faut comparer les longueurs qui se correspondent dans les deux triangles :

$${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$$

Écrire les rapports dans le mauvais ordre donne un résultat faux.

Piège 3 : inverser numérateur et dénominateur d'un rapport. Salma écrit ${\displaystyle \frac{AB}{AM}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ en mélangeant petit et grand triangle. Il faut garder le même triangle « en haut » dans chaque fraction : les longueurs du petit triangle au numérateur, celles du grand au dénominateur (ou l'inverse, mais de façon cohérente).

Piège 4 : confondre théorème, réciproque et contraposée. Le théorème calcule une longueur quand on sait que les droites sont parallèles. La réciproque démontre que deux droites sont parallèles. La contraposée démontre qu'elles ne le sont pas.

Piège 5 : oublier l'ordre des points pour la réciproque. Pour appliquer la réciproque, les points doivent être alignés dans le même ordre sur les deux droites. Même si les rapports semblent égaux, il faut toujours vérifier l'alignement et l'ordre.

Piège 6 : appliquer Thalès hors d'une configuration valide. Thalès suppose deux droites sécantes en un même point $A$, avec les points correspondants alignés avec $A$. Sans ce sommet commun (configuration emboîtée ou papillon), l'égalité des rapports n'a aucune raison d'être vraie.

Application concrète

Karim veut connaître la hauteur d'un grand arbre dans un parc de Rabat, sans y grimper. Il propose une méthode : « Il suffit de comparer les ombres. » Vérifions si son raisonnement tient avec le théorème de Thalès.

Étape 1 — Mettre en place la configuration. Karim plante un bâton vertical de 1,5 m, qui projette une ombre de 2 m. Au même moment, l'arbre projette une ombre de 10 m. Comme les rayons du soleil sont parallèles, le bâton et l'arbre forment deux triangles dans une configuration de Thalès.

Étape 2 — Écrire l'égalité des rapports. En notant $h$ la hauteur de l'arbre :

$${\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{2}}={\displaystyle \frac{h}{10}}$$

Étape 3 — Calculer la hauteur.

$$h={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\times 10}{2}}=\mathrm{7,5}$$

L'arbre mesure donc environ 7,5 m. La méthode de Karim était juste : son intuition sur les ombres correspond exactement à une situation de Thalès.

Conclusion. Le même principe explique les plans et les maquettes : à l'échelle 1:100, 1 cm sur le plan représente 1 m dans la réalité, car toutes les longueurs sont réduites dans la même proportion. Quant à la réciproque, elle sert à vérifier que deux droites sont bien parallèles — un outil précieux en architecture et en dessin technique.

À retenir