Les nombres rationnels

Fractions égales et simplification

Avant de calculer, il faut comprendre qu'un même nombre rationnel s'écrit d'une infinité de façons — et savoir choisir la plus simple.

C'est cette propriété qui permet de simplifier une fraction.

Exemple 1. ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{18÷6}{24÷6}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. La fraction ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ est irréductible.

Le signe d'une fraction relative

Comme pour les relatifs, une fraction n'a qu'un seul signe global.

Le piège de la simplification additive

Karim simplifie ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ en « enlevant $2$ en haut et en bas » et écrit ${\displaystyle \frac{3}{5}}$. C'est faux : on ne simplifie qu'en divisant par un facteur commun, jamais en soustrayant. Ici, $5$ et $7$ n'ont aucun diviseur commun (autre que $1$) : ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ est déjà irréductible.

Comparer et ranger des fractions

Comparer des fractions est plus subtil que comparer des entiers : le dénominateur change la taille des parts.

Exemple 1. Comparer ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. On réduit au dénominateur $12$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$. Comme $8<9$, on a ${\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Pour les fractions négatives, on raisonne comme avec les relatifs.

Le piège du numérateur tout seul

Salma affirme que ${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{3}}$ « parce que $2<3$ ». C'est faux. À numérateur égal, plus le dénominateur est grand, plus on partage en petites parts, donc plus la fraction est petite : ${\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Additionner et soustraire

L'addition et la soustraction de fractions reposent sur une seule idée : il faut des parts de même taille, donc un même dénominateur.

Exemple 1. ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Exemple 2. $-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{-3+1}{4}}={\displaystyle \frac{-2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ — la règle des signes des relatifs s'applique aux numérateurs.

Le piège des dénominateurs additionnés

Karim calcule ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ et répond ${\displaystyle \frac{2}{6}}$. C'est faux : avec le même dénominateur, on additionne uniquement les numérateurs, le dénominateur ne bouge pas. Le bon résultat est ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Multiplier des fractions

La multiplication est, paradoxalement, plus simple que l'addition : aucun dénominateur commun n'est nécessaire.

Exemple 1. ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{2}{9}}$. On simplifie en croix : $3$ et $9$ par $3$, $2$ et $4$ par $2$. Il reste ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Prendre une fraction d'une quantité

C'est l'usage le plus courant de la multiplication dans la vie de tous les jours.

Le piège du produit en croix

Salma veut multiplier ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{4}{5}}$ et fait un « produit en croix ». C'est une confusion : le produit en croix sert à comparer des fractions ou à résoudre une égalité, pas à les multiplier. Pour multiplier, c'est tout droit : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{8}{15}}$.

Diviser : l'inverse d'une fraction

La division se ramène entièrement à la multiplication, grâce à la notion d'inverse.

Exemple 1. ${\displaystyle \frac{3}{4}}÷{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{15}{8}}$.

Le piège de l'inverse et de l'opposé

Deux mots qui se ressemblent mais ne servent pas à la même chose. L'opposé de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ (il intervient dans l'addition). L'inverse de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ (il intervient dans la division). Pour diviser, c'est l'inverse qu'on utilise.

Enchaîner les opérations

Quand un calcul mêle plusieurs opérations sur des fractions, les règles de priorité sont exactement celles des entiers.

Exemple 1. ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}$. La multiplication d'abord : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Puis l'addition : ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Le piège de l'ordre avec les fractions

Karim calcule ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}$ de gauche à droite : il ajoute ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ d'abord. C'est faux : la multiplication est prioritaire. Le bon résultat est ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, comme ci-dessus.

Pièges classiques

1. Simplifier en soustrayant. Écrire ${\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ en enlevant $2$ partout. On ne simplifie qu'en divisant par un facteur commun ; ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ est irréductible.

2. Comparer par le seul numérateur ou le seul dénominateur. Croire que ${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{3}}$. À numérateur égal, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.

3. Additionner les dénominateurs. Écrire ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}$. On additionne les numérateurs seulement : ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

4. Oublier le dénominateur commun. Calculer ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$. Il faut d'abord réduire : ${\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$.

5. Confondre inverse et opposé. Pour diviser par ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, multiplier par $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ (mélange des deux). L'inverse est ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, sans changement de signe.

6. Ignorer les priorités. Faire l'addition avant la multiplication dans ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}$. La multiplication d'abord.

Application concrète

Yasmine prépare des msemen pour une fête de famille. Sa recette et ses courses vont mobiliser tout le chapitre.

Étape 1 — Simplifier. La fiche de recette indique ${\displaystyle \frac{18}{24}}$ de litre de lait. Yasmine simplifie pour s'y retrouver : ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ L. Il lui faut donc ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ L de lait.

Étape 2 — Comparer. Dans le frigo, il reste ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ L. En a-t-elle assez ? Elle compare au dénominateur $12$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$. Comme ${\displaystyle \frac{8}{12}}<{\displaystyle \frac{9}{12}}$, il en manque.

Étape 3 — Soustraire. Combien manque-t-il ? ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{9}{12}}-{\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$ L. Il lui manque ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ de litre de lait.

Étape 4 — Multiplier. Pour la garniture, elle utilise les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ d'un paquet de beurre qui coûte $12$ dh. La dépense de beurre est ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 12={\displaystyle \frac{36}{4}}=9$ dh.

Étape 5 — Diviser. Elle verse finalement ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ L de lait dans des petits pots de ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ L. Combien de pots remplit-elle ? ${\displaystyle \frac{9}{4}}÷{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{9}{4}}\times {\displaystyle \frac{4}{1}}={\displaystyle \frac{36}{4}}=9$ pots.

Étape 6 — Enchaîner. De retour des courses, elle complète son lait : à ses ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ L, elle ajoute $3$ petites bouteilles de ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ L. Quel volume a-t-elle ? Multiplication d'abord : $3\times {\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Puis addition : ${\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{8}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{11}{12}}$ L.

Conclusion. Simplifier, comparer, additionner, multiplier, diviser, enchaîner : Yasmine vient de pratiquer les six gestes du chapitre dans une seule après-midi de cuisine. Ce sont exactement les outils que tu réutiliseras dans le chapitre sur la proportionnalité, puis dans le calcul littéral où les fractions se mêlent aux lettres. Les fractions sont partout en mathématiques : les apprivoiser maintenant, c'est s'ouvrir tout le reste du programme.

À retenir