Les statistiques

Le vocabulaire, consolidé

Avant de calculer, on remet en place le vocabulaire de 5ᵉ, car tout le chapitre repose dessus. Une série statistique est l'ensemble des données recueillies sur un caractère.

Reprenons les prix relevés par Amine sur cinq jours : $6,7,5,6,8$. La valeur $6$ a pour effectif $2$, les valeurs $5$, $7$ et $8$ ont chacune l'effectif $1$. L'effectif total est $N=5$.

C'est exactement la proportionnalité que tu as travaillée : on ramène chaque effectif au même total de référence. Pour la valeur $6$ (effectif $2$, total $5$) : ${\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4}=40\mathrm{\%}$. La somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$, soit $100\mathrm{\%}$ — un contrôle systématique de tes calculs.

La moyenne, simple et pondérée

La moyenne est le résumé que tu connais déjà. Elle répartit équitablement le total entre tous les individus, comme si on redistribuait tout à parts égales.

Exemple 1. Yasmine a obtenu en français les notes $12$, $14$, $11$, $15$. Sa moyenne est : $\bar{x}={\displaystyle \frac{12+14+11+15}{4}}={\displaystyle \frac{52}{4}}=13.$

La moyenne pondérée par les effectifs

Quand les données sont rangées dans un tableau d'effectifs, réécrire toute la liste serait absurde : une valeur d'effectif $10$ doit compter dix fois. On pondère chaque valeur par son effectif.

Exemple 2. Voici les notes d'un contrôle dans la classe de Karim, à Fès :

Note	8	10	12	14	16
Effectif	3	6	8	5	2

L'effectif total est $N=3+6+8+5+2=24$. La moyenne pondérée vaut : $\bar{x}={\displaystyle \frac{8\times 3+10\times 6+12\times 8+14\times 5+16\times 2}{24}}={\displaystyle \frac{24+60+96+70+32}{24}}={\displaystyle \frac{282}{24}}=\mathrm{11,75.}$

La moyenne de la classe est $\mathrm{11,75}$. Remarque qu'elle n'est pas forcément une des valeurs de la série : aucun élève n'a eu $\mathrm{11,75}$.

Le piège de la moyenne non pondérée

Karim, lui, regarde le tableau et calcule ${\displaystyle \frac{8+10+12+14+16}{5}}=12$. Il a fait la moyenne des valeurs, en oubliant leurs effectifs. C'est faux : la valeur $12$, obtenue par $8$ élèves, doit peser bien plus lourd que la valeur $16$, obtenue par $2$ élèves seulement. Le vrai $\mathrm{11,75}$ est légèrement inférieur à son $12$, parce que les notes basses sont nombreuses. La règle est intangible : dès qu'il y a des effectifs, on pondère.

La médiane : la valeur du milieu

La moyenne a un défaut : une seule valeur extrême peut la déformer. Reviens au carnet d'Amine. Sur la semaine, les prix du kilo de tomates étaient $5,6,6,7,12$. La moyenne vaut ${\displaystyle \frac{5+6+6+7+12}{5}}={\displaystyle \frac{36}{5}}=\mathrm{7,2}$ dh. Mais ce $\mathrm{7,2}$ est tiré vers le haut par le $12$ d'un jour de pénurie ; quatre jours sur cinq, le prix était à $7$ dh ou moins. La moyenne ment un peu sur le prix « habituel ». Il nous faut un indicateur insensible aux valeurs extrêmes : la médiane.

Autrement dit, c'est la valeur « du milieu » de la série ordonnée. Le mot-clé absolu, c'est ranger dans l'ordre : une médiane calculée sur une liste en désordre n'a aucun sens.

Cas d'un effectif impair

Quand le nombre de données $N$ est impair, il y a une vraie valeur au centre : c'est elle, la médiane.

Exemple 1. Les prix d'Amine rangés : $5,6,6,7,12$. Ici $N=5$, le rang central est ${\displaystyle \frac{5+1}{2}}=3$. La $3^{\text{e}}$ valeur est $6$. La médiane est donc $6$ dh : la moitié des jours, le prix était $\le 6$, l'autre moitié $\ge 6$. C'est bien plus représentatif du prix habituel que la moyenne $\mathrm{7,2}$.

Cas d'un effectif pair

Quand $N$ est pair, aucune valeur n'est exactement au milieu : il y a deux valeurs centrales. Par convention au collège, on prend leur moyenne.

Exemple 2. Salma relève les températures de midi à Ouarzazate sur six jours : $24,26,27,29,31,34$ (déjà ordonnées). Ici $N=6$, les rangs centraux sont $3$ et $4$ : les valeurs $27$ et $29$. La médiane est ${\displaystyle \frac{27+29}{2}}=28$ °C. Remarque que $28$ n'apparaît pas dans la série : une médiane peut être une valeur absente, comme la moyenne.

Le piège de la série non rangée

Salma calcule la médiane de $12,5,6,7,6$ en prenant « la valeur du milieu de la liste », soit $6$ (le $3^{\text{e}}$ de la liste brute)… et tombe juste par hasard. Mais essaie avec $12,5,6$ : elle dirait $5$, alors que la vraie médiane de $5,6,12$ est $6$. La valeur du milieu n'a de sens qu'après avoir rangé la série. Range toujours d'abord.

L'étendue et la comparaison moyenne / médiane

La moyenne et la médiane résument une série par sa « position centrale ». Mais elles ne disent rien de sa dispersion : une classe où tout le monde a $12$ et une classe moitié à $4$, moitié à $20$ ont la même moyenne, et pourtant rien à voir. Le premier indicateur de dispersion, c'est l'étendue.

Exemple 1. Pour les prix d'Amine $5,6,6,7,12$, l'étendue est $12-5=7$ dh. Elle mesure l'amplitude des variations de prix sur la semaine.

L'étendue est facile à calculer, mais elle ne repose que sur les deux valeurs extrêmes : un seul jour de pénurie la fait bondir, même si tous les autres prix sont stables. C'est une mesure grossière de la dispersion, à manier avec ce recul.

Moyenne ou médiane : laquelle choisir ?

C'est la question reine de ce chapitre. La différence essentielle :

Exemple 2. Dans une petite entreprise de Tanger, cinq salaires mensuels (en milliers de dh) : $4,4,5,5,32$ (le dernier est celui du patron). La moyenne est ${\displaystyle \frac{4+4+5+5+32}{5}}={\displaystyle \frac{50}{5}}=10$ : « salaire moyen $10000$ dh ». Mais aucun employé ne gagne $10000$ dh ! La médiane est la $3^{\text{e}}$ valeur, $5$ : la moitié gagne $\le 5000$ dh. La médiane décrit honnêtement le salarié « typique » ; la moyenne, gonflée par le salaire du patron, donne une image trompeuse. C'est pourquoi on parle souvent de salaire médian.

Le piège du choix automatique

Karim retient « la médiane est toujours meilleure que la moyenne ». Faux : tout dépend de la question. Pour calculer le coût total à répartir (le budget d'une classe, la consommation moyenne d'essence), c'est la moyenne qu'il faut, car elle est liée à la somme. Pour décrire l'individu typique d'une série déséquilibrée, c'est la médiane. Aucune n'est « meilleure » dans l'absolu : on choisit selon ce qu'on veut dire.

Données regroupées en classes

Parfois, les valeurs sont si nombreuses et variées qu'un tableau valeur par valeur serait illisible : les tailles de $200$ élèves, les durées de trajet, les salaires. On regroupe alors les données par classes, c'est-à-dire par intervalles.

Exemple 1. On relève la durée du trajet domicile-collège de $30$ élèves de Rabat, en minutes :

Durée (min)	$[0;10[$	$[10;20[$	$[20;30[$	$[30;40[$
Effectif	6	11	9	4

Un élève dont le trajet dure exactement $20$ min va dans la classe $[20;30[$, pas dans $[10;20[$ : la borne de droite est exclue. C'est la convention à respecter sans hésiter.

![Histogramme des durées de trajet : quatre rectangles accolés sur les classes [0;10[, [10;20[, [20;30[, [30;40 de hauteurs 6, 11, 9 et 4 ; les barres sont collées car les classes sont contiguës.

Ici, toutes les classes ont la même amplitude ($10$ min), et c'est ce qui autorise à lire l'effectif directement sur la hauteur des rectangles. Dans ce chapitre, on se limite toujours à des classes de même amplitude : dans ce cas seulement, la hauteur d'un rectangle peut représenter l'effectif de la classe. Si les classes avaient des largeurs différentes, ce serait l'aire du rectangle, et non sa hauteur, qui devrait être proportionnelle à l'effectif — un raffinement que tu retrouveras plus tard.

La moyenne approchée par les centres de classes

Avec des données en classes, on a perdu les valeurs exactes : on sait qu'un élève est dans $[10;20[$, mais pas s'il met $11$ ou $19$ min. Pour estimer la moyenne, on fait l'hypothèse raisonnable que, dans chaque classe, les valeurs se répartissent autour du centre de la classe.

Exemple 2. Les centres des classes ci-dessus sont $5$, $15$, $25$, $35$. La moyenne approchée vaut : $\bar{x}\approx {\displaystyle \frac{5\times 6+15\times 11+25\times 9+35\times 4}{30}}={\displaystyle \frac{30+165+225+140}{30}}={\displaystyle \frac{560}{30}}\approx \mathrm{18,7}\text{ min}\mathrm{.}$

C'est une approximation : on remplace chaque vraie durée par le centre de sa classe. Le résultat n'est pas la vraie moyenne, mais une bonne estimation, d'autant meilleure que les classes sont étroites.

Le piège du centre de classe oublié

Salma calcule la moyenne en pondérant par les bornes : elle prend $0,10,20,30$ au lieu des centres $5,15,25,35$. Ou pire, elle pondère par le numéro de la classe ($1,2,3,4$). Le bon représentant d'une classe, c'est son milieu ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ : c'est la valeur la plus juste pour résumer tout l'intervalle.

Lire et interpréter les représentations

Un tableau est précis, mais une image se comprend d'un coup d'œil. Trois représentations dominent au collège, et chacune a son usage.

La grande différence visuelle entre bâtons et histogramme : dans un diagramme en bâtons, les barres sont séparées car les valeurs sont isolées ($0$, $1$, $2$ frères et sœurs) ; dans un histogramme, elles sont collées car les classes sont contiguës (les durées passent sans trou de $[10;20[$ à $[20;30[$).

Lire un diagramme circulaire

Dans un diagramme circulaire, le disque entier représente l'effectif total $N$, et l'angle de chaque part est proportionnel à son effectif. Pour retrouver un effectif à partir d'un angle, on inverse la formule : $\text{effectif}={\displaystyle \frac{\text{angle}}{360\mathrm{°}}}\times N\mathrm{.}$

Exemple 1. Sur un diagramme des moyens de transport de $120$ élèves de Casablanca, le secteur « tramway » a un angle de $90\mathrm{°}$. Son effectif est ${\displaystyle \frac{90}{360}}\times 120={\displaystyle \frac{1}{4}}\times 120=30$ élèves.

Le piège de la lecture du mauvais axe

Salma lit un diagramme en bâtons et confond les deux axes : elle prend la hauteur d'un bâton (l'effectif, axe vertical) pour la valeur (axe horizontal). Le réflexe : la hauteur se lit à gauche (effectif, combien), l'étiquette se lit en bas (valeur, quoi). De même, sur un histogramme, ne confonds pas la largeur d'un rectangle (l'amplitude de la classe) avec sa hauteur (l'effectif).

Pièges classiques

1. Calculer une moyenne sans pondérer par les effectifs. Devant un tableau d'effectifs, faire ${\displaystyle \frac{8+10+12+14+16}{5}}$ ignore que certaines notes sont obtenues par bien plus d'élèves que d'autres. La bonne formule pondère : ${\displaystyle \frac{\text{somme des (valeur}\times \text{effectif)}}{N}}$.

2. Chercher la médiane sans ranger la série. « La valeur du milieu de la liste » n'a de sens qu'après avoir rangé dans l'ordre croissant. Sur une liste brute, le résultat est faux (sauf coïncidence). Range d'abord, toujours.

3. Se tromper de méthode selon la parité de $N$. Si $N$ est impair, la médiane est l'unique valeur centrale. Si $N$ est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales. Confondre les deux cas, ou prendre une seule valeur quand $N$ est pair, fausse le résultat.

4. Croire que la médiane est « toujours la moyenne des deux valeurs du milieu ». C'est vrai uniquement quand $N$ est pair. Quand $N$ est impair, il y a une seule valeur centrale, et on la prend telle quelle, sans rien moyenner.

5. Penser que la moyenne est toujours le meilleur résumé. Une seule valeur extrême (un salaire de patron, un jour de pénurie) tire la moyenne et la rend trompeuse. Pour décrire l'individu typique d'une série déséquilibrée, la médiane est plus honnête. Le choix dépend de la question.

6. Pondérer par les bornes au lieu des centres de classes. Pour la moyenne d'une série regroupée en classes, le représentant de la classe $[a;b[$ est son centre ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$, jamais une borne ni le numéro de la classe.

Application concrète

Yasmine prépare un exposé sur la fréquentation du tramway de Casablanca. Elle a relevé, pendant $11$ jours ouvrables, le nombre de passagers (en milliers) à la station Casa-Port aux heures de pointe du matin : $18,21,19,22,20,45,19,21,20,18,22.$ Le $6^{\text{e}}$ relevé, $45$, correspond au jour d'un grand match au stade : une affluence exceptionnelle. Yasmine veut décrire « une journée ordinaire » sans se laisser piéger.

Étape 1 — Calculer l'étendue. La plus grande valeur est $45$, la plus petite $18$. L'étendue vaut $45-18=27$ milliers de passagers. Énorme — mais Yasmine soupçonne que ce $45$ est un cas isolé. L'étendue, qui ne dépend que des extrêmes, est justement gonflée par lui.

Étape 2 — Calculer la moyenne. La somme des $11$ relevés est $18+21+19+22+20+45+19+21+20+18+22=245$. La moyenne est : $\bar{x}={\displaystyle \frac{245}{11}}\approx \mathrm{22,3}\text{ milliers de passagers}\mathrm{.}$ Or, un seul jour dépasse vraiment $22$ : c'est le jour du match. La moyenne $\mathrm{22,3}$ est tirée vers le haut par ce $45$.

Étape 3 — Calculer la médiane. Yasmine range d'abord la série dans l'ordre croissant : $18,18,19,19,20,20,21,21,22,22,45.$ L'effectif $N=11$ est impair, le rang central est ${\displaystyle \frac{11+1}{2}}=6$. La $6^{\text{e}}$ valeur est $20$. La médiane est donc $20$ milliers de passagers : la moitié des jours, la station accueille $20000$ voyageurs ou moins.

Étape 4 — Comparer et interpréter. La moyenne ($\mathrm{22,3}$) est nettement supérieure à la médiane ($20$). Cet écart est le signe d'une valeur extrême qui tire la moyenne : le jour du match. Pour décrire une journée ordinaire, la médiane $20$ est bien plus fidèle. Karim, qui voulait annoncer « $22000$ passagers en moyenne », aurait donné une image trompeuse de l'affluence habituelle.

Étape 5 — Vérifier la robustesse. Pour s'en convaincre, Yasmine recalcule en imaginant que le jour du match n'ait pas eu lieu (elle retire le $45$). Sur les $10$ jours restants, la médiane (moyenne des $5^{\text{e}}$ et $6^{\text{e}}$ valeurs, $20$ et $20$) reste $20$ : inchangée. La moyenne, elle, retombe à ${\displaystyle \frac{200}{10}}=20$. La médiane n'a pas bougé d'un pouce, la moyenne a chuté de $\mathrm{2,3}$. C'est la preuve concrète que la médiane résiste aux valeurs extrêmes, là où la moyenne s'y laisse prendre.

Conclusion. Yasmine retiendra pour son exposé : « affluence médiane de $20000$ passagers en journée ordinaire, avec des pics exceptionnels les jours de match ». Elle a mobilisé tout le chapitre — étendue, moyenne pondérée, médiane, et surtout le choix raisonné de l'indicateur. Cette idée de résumer intelligemment une masse de données te suivra jusqu'au lycée, où tu rencontreras les quartiles puis l'écart-type, qui affinent encore la mesure de la dispersion.

À retenir