Les probabilités

Le vocabulaire du hasard, consolidé

Avant de calculer, remettons d'aplomb les mots. Ils sont le squelette de tout le chapitre, et la moindre confusion ici se paie cher plus loin.

Lancer un dé à six faces, faire tourner la roue de Yasmine, tirer un billet dans une urne de loterie : ce sont des expériences aléatoires. Pour le dé, l'univers est $\{1,2,3,4,5,6\}$ : six issues. Pour une pièce, l'univers est $\{\text{pile},\text{face}\}$ : deux issues.

Avec le dé, « obtenir un nombre pair » est un événement qui regroupe les issues $2$, $4$ et $6$. Si tu lances et obtiens $4$, l'événement « pair » est réalisé. « Obtenir $5$ » est un événement élémentaire : une seule issue.

Issue ou événement : ne pas confondre

Salma mélange souvent les deux. Garde la nuance en tête : une issue est un résultat brut et unique de l'expérience (le $4$) ; un événement est une question qu'on pose sur le résultat (« est-ce pair ? »), et il peut rassembler plusieurs issues. « Obtenir un multiple de $3$ » n'est pas une issue, c'est un événement à deux issues ($3$ et $6$).

Calculer une probabilité en équiprobabilité

On arrive au cœur du calcul. Tout repose sur une condition que tu dois toujours vérifier d'abord.

Un dé bien équilibré, une pièce non truquée, une roue à secteurs identiques, une urne où l'on tire au hasard sans regarder : autant de situations d'équiprobabilité. C'est seulement dans ce cas que la formule suivante s'applique.

Les issues « favorables » sont celles qui réalisent l'événement. Reprenons le dé et l'événement « obtenir un nombre pair » : trois issues favorables ($2$, $4$, $6$) sur six possibles, donc

$P(\text{pair})={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$

En 4ᵉ, on réduit la fraction

C'est la vraie nouveauté de l'année. En 5ᵉ, tes probabilités tombaient souvent rondes. Désormais, le réflexe est systématique : une probabilité s'écrit sous forme de fraction irréductible. Une probabilité de ${\displaystyle \frac{3}{6}}$ doit être donnée ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; ${\displaystyle \frac{4}{20}}$ doit être donnée ${\displaystyle \frac{1}{5}}$. C'est exactement le travail de simplification que tu as fait au chapitre sur les nombres rationnels — ici, il devient la touche finale de tout calcul de probabilité.

Exemple 1. Une urne contient $20$ billets de loterie, dont $8$ gagnants. La probabilité de tirer un billet gagnant est $P(\text{gagnant})={\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$

Exemple 2. Sur la roue de Yasmine à $20$ cases, $3$ donnent le gros lot. La probabilité du gros lot est ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ — déjà irréductible, car $3$ et $20$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$.

Les deux bornes : impossible et certain

Le nombre d'issues favorables ne peut ni dépasser le nombre d'issues possibles, ni être négatif. D'où les deux bornes de l'échelle.

Avec le dé, « obtenir $7$ » est impossible ($P=0$) ; « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain ($P=1$).

Le piège de la fraction non réduite

Karim calcule la probabilité d'obtenir un multiple de $2$ sur un dé et répond ${\displaystyle \frac{3}{6}}$. Le calcul est juste, mais la réponse n'est pas terminée : tant que la fraction se simplifie, le travail n'est pas fini. La forme attendue est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. En 4ᵉ, une probabilité laissée sous forme réductible est comptée comme incomplète.

L'événement contraire : la fraction du raccourci

Voici l'outil le plus puissant que tu ajoutes cette année. Parfois, compter les issues favorables d'un événement est long, alors que compter celles de son contraire est immédiat. On calcule alors l'un à partir de l'autre.

Avec le dé, le contraire de « obtenir un $6$ » est « ne pas obtenir un $6$ », c'est-à-dire obtenir $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$.

L'idée est limpide : un événement et son contraire couvrent à eux deux tout l'univers, donc la somme de leurs probabilités vaut $1$ (la certitude). On en tire l'un en retranchant l'autre de $1$.

Exemple 1. Sur le dé, $P(\text{obtenir }6)={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Donc $P(\text{ne pas obtenir }6)=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{6}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\mathrm{.}$

Exemple 2. Dans une urne de $20$ billets dont $8$ gagnants, on a $P(\text{gagnant})={\displaystyle \frac{2}{5}}$. La probabilité de tirer un billet perdant se calcule sans recompter : $P(\text{perdant})=1-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{5}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$

Quand vraiment gagner du temps

Le contraire brille surtout face à un « au moins un ». Sur deux lancers de pièce, « obtenir au moins un pile » regroupe trois cas (pile-pile, pile-face, face-pile) : c'est un peu fastidieux. Mais son contraire, « n'obtenir aucun pile », c'est un seul cas (face-face), de probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. D'où, en une ligne : $P(\text{au moins un pile})=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$

Le piège du soustrait dans le mauvais sens

Salma veut $P(\bar{A})$ et écrit $P(A)-1$. Le résultat sort négatif, ce qui est impossible pour une probabilité — premier signal d'alarme. La formule est $1-P(A)$, jamais l'inverse. Si tu obtiens un nombre négatif ou supérieur à $1$, tu sais immédiatement que tu t'es trompé.

Les expériences à deux épreuves

Jusqu'ici, une seule action : un lancer, un tirage. Mais beaucoup de situations enchaînent deux épreuves : lancer une pièce puis un dé, tirer deux billes, faire deux fois tourner la roue. Pour ne rien oublier, on dénombre toutes les issues de l'expérience complète.

Le tableau à double entrée

Lance une pièce (pile/face) puis un dé ($1$ à $6$). Chaque case du tableau croise un résultat de pièce et un résultat de dé : il y a $2\times 6=12$ issues, toutes équiprobables.

Exemple 1. Probabilité d'obtenir « pile et un $6$ » ? Une seule case favorable sur $12$ : $P(\text{pile et }6)={\displaystyle \frac{1}{12}}\mathrm{.}$

Exemple 2. Probabilité d'obtenir « pile et un nombre pair » ? Sur la ligne « pile », les colonnes paires sont $2$, $4$, $6$ : trois cases favorables sur $12$, donc $P(\text{pile et pair})={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$

L'arbre des possibles

Quand les épreuves sont simples (pile/face, deux fois de suite), l'arbre est plus parlant. Chaque niveau de branches est une épreuve ; chaque chemin complet, de la racine à une feuille, est une issue.

Deux lancers de pièce donnent quatre chemins équiprobables : PP, PF, FP, FF. Chacun a une probabilité de ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Le piège du dénombrement bâclé

Karim, pour deux lancers de pièce, annonce trois issues : « deux piles, deux faces, ou un de chaque ». Il oublie que « un de chaque » se décline en deux chemins distincts (pile-puis-face et face-puis-pile). Les bonnes issues équiprobables sont au nombre de quatre, pas trois. Confondre « résultats regroupés » et « issues élémentaires » fausse tout le dénombrement.

De la probabilité à la fréquence observée

Reste la question qui relie le calcul à la réalité. Si la probabilité du gros lot est ${\displaystyle \frac{3}{20}}$, est-ce qu'en $20$ tours de roue on gagne exactement $3$ fois ?

Non. Sur $20$ tours, tu peux gagner $0$ fois, ou $6$ fois. Le hasard ne « distribue » pas les résultats à l'avance. Mais quelque chose de remarquable se produit quand le nombre d'essais devient grand.

La probabilité est une prévision théorique, calculée avant l'expérience. La fréquence est un constat, mesuré après, sur des essais réels. Sur peu d'essais, les deux peuvent s'écarter franchement ; sur des milliers d'essais, elles se rejoignent presque toujours.

L'erreur du joueur

Karim observe quatre tours de roue sans gros lot et déclare : « maintenant, le gros lot est obligé de sortir, pour rattraper ». C'est faux, et c'est l'erreur classique du chapitre. La roue n'a pas de mémoire : à chaque tour, la probabilité du gros lot reste ${\displaystyle \frac{3}{20}}$, peu importe les tours passés. Les essais sont indépendants. La loi des grands nombres ne dit pas que les résultats se compensent au fil des essais ; elle dit que, sur un très grand nombre d'essais, les écarts deviennent négligeables en proportion. Ce n'est pas la même chose.

Pièges classiques

1. Laisser la fraction non réduite. ${\displaystyle \frac{3}{6}}$, ${\displaystyle \frac{4}{20}}$ ne sont pas des réponses finies : ce sont ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{5}}$. En 4ᵉ, une probabilité se donne toujours sous forme irréductible.

2. Confondre issue et événement. Une issue est un résultat unique (le $4$) ; un événement est une propriété du résultat (« être pair ») qui peut regrouper plusieurs issues. « Obtenir un nombre pair » est un événement à trois issues, pas une issue.

3. Oublier qu'une probabilité est entre $0$ et $1$. Un résultat comme ${\displaystyle \frac{7}{6}}$, $\mathrm{1,2}$ ou un nombre négatif signale toujours une erreur — souvent un mauvais dénombrement ou un contraire calculé à l'envers.

4. Inverser la formule du contraire. $P(\bar{A})=1-P(A)$, jamais $P(A)-1$. Cette dernière donne un nombre négatif, donc impossible : c'est ton signal d'alarme immédiat.

5. Mal dénombrer une expérience à deux épreuves. Pour deux lancers de pièce, il y a quatre issues équiprobables (PP, PF, FP, FF), pas trois. « Un de chaque » se décline en deux chemins distincts. Toujours passer par un tableau ou un arbre.

6. Commettre l'erreur du joueur. Après une série sans gain, le gros lot n'est pas « dû ». Chaque essai est indépendant : la probabilité reste la même, sans mémoire des essais passés.

Application concrète

Yasmine tient le stand de la roue de tombola à la fête de son collège, à Fès. La roue compte $20$ secteurs identiques et numérotés de $1$ à $20$, tous équiprobables. Le règlement : les secteurs $1$, $2$ et $3$ donnent le gros lot (un livre) ; les secteurs $4$ à $11$ donnent un petit lot (un bonbon) ; les autres ne donnent rien.

Étape 1 — Décrire l'univers.

Faire tourner la roue est une expérience aléatoire à $20$ issues équiprobables : l'univers est $\{1,2,\dots ,20\}$.

Étape 2 — Calculer la probabilité du gros lot.

Trois secteurs favorables sur $20$ : $P(\text{gros lot})={\displaystyle \frac{3}{20}}\mathrm{.}$ La fraction est déjà irréductible, $3$ et $20$ n'ayant aucun diviseur commun.

Étape 3 — Calculer la probabilité d'un petit lot.

Les secteurs $4$ à $11$ font huit favorables sur $20$ : $P(\text{petit lot})={\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$ On réduit : c'est le réflexe de l'année.

Étape 4 — Passer par le contraire pour « gagner quelque chose ».

Un joueur demande sa probabilité de repartir avec un lot, gros ou petit. On pourrait additionner ${\displaystyle \frac{3}{20}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}$, mais le contraire est plus rapide : « ne rien gagner », ce sont les secteurs $12$ à $20$, soit neuf favorables, donc $P(\text{rien})={\displaystyle \frac{9}{20}}$. D'où : $P(\text{gagner un lot})=1-{\displaystyle \frac{9}{20}}={\displaystyle \frac{20}{20}}-{\displaystyle \frac{9}{20}}={\displaystyle \frac{11}{20}}\mathrm{.}$ Un peu plus d'une chance sur deux : la roue est généreuse.

Étape 5 — Corriger Karim sur la loi des grands nombres.

Après dix tours sans gros lot, Karim s'agace : « le gros lot est forcé de tomber bientôt, il est en retard ». Yasmine corrige : la roue n'a aucune mémoire, chaque tour garde $P(\text{gros lot})={\displaystyle \frac{3}{20}}$. Sur des centaines de tours, la fréquence des gros lots se rapprochera de ${\displaystyle \frac{3}{20}}$, mais aucun tour particulier n'est jamais « dû ». Croire le contraire, c'est l'erreur du joueur.

Conclusion. Avec une seule formule, le réflexe de réduction, et le raccourci du contraire, Yasmine a entièrement décrit le hasard de son stand. Cette logique du « favorables sur possibles » te suivra encore : en 3ᵉ avec des arbres pondérés et des expériences à plusieurs étapes, puis au lycée où les probabilités deviendront un domaine entier des mathématiques.

À retenir