La proportionnalité

Reconnaître la proportionnalité et son coefficient

Tout commence par une question de tri : la situation que tu as sous les yeux est-elle proportionnelle, oui ou non ? La méthode n'a pas changé depuis la 5ᵉ, mais l'exigence monte : on ne se contente plus de « ça a l'air proportionnel », on prouve.

Le test rigoureux dans un tableau : tu calcules le quotient ${\displaystyle \frac{\text{deuxi}\grave{\text{e}}\text{me ligne}}{\text{premi}\grave{\text{e}}\text{re ligne}}}$ pour chaque colonne. Si tu obtiens partout le même nombre, c'est proportionnel, et ce nombre est le coefficient. Si un seul quotient diffère, ce n'est pas proportionnel — et un contre-exemple suffit à conclure.

Exemple 1. Le tableau ci-dessous est-il un tableau de proportionnalité ?

Masse de dattes (kg)	2	5	8
Prix (dh)	36	90	144

On teste chaque colonne : $36÷2=18$, $90÷5=18$, $144÷8=18$. Même quotient partout : c'est proportionnel, de coefficient $18$ (le prix d'un kilo de dattes).

Exemple 2. Et celui-là ?

Côté du carré (cm)	2	3	5
Aire (cm²)	4	9	25

On teste : $4÷2=2$ mais $9÷3=3$. Les quotients diffèrent dès la deuxième colonne : ce n'est pas proportionnel. L'aire d'un carré n'est jamais proportionnelle à son côté.

Le coefficient a toujours un sens concret

Un coefficient n'est jamais un nombre nu : il porte une unité et un sens. Prix d'un kilo en dh/kg, vitesse en km/h, masse volumique en g/cm³, taux de change en dh par euro. Savoir nommer le coefficient, c'est comprendre la situation.

Le piège du « ça augmente donc c'est proportionnel »

Karim regarde un tableau où le prix augmente quand la quantité augmente, et conclut aussitôt « c'est proportionnel ». Erreur. Que les deux grandeurs croissent ensemble ne suffit pas : l'âge et la taille d'un enfant croissent ensemble sans être proportionnels. Il faut le même coefficient à chaque colonne, pas seulement une croissance commune.

La quatrième proportionnelle et le produit en croix

Le problème le plus fréquent du chapitre : tu connais trois valeurs d'un tableau de proportionnalité, tu cherches la quatrième. Cette valeur manquante s'appelle la quatrième proportionnelle. La méthode reine pour la trouver, celle qui marche dans tous les cas même quand le coefficient est « moche », c'est le produit en croix.

Exemple 1. À Agadir, $7$ kg de sardines coûtent $42$ dh. Combien coûtent $11$ kg au même prix ?

Masse (kg)	7	11
Prix (dh)	42	$x$

Produit en croix : $7\times x=11\times 42$, donc $7x=462$, donc $x=462÷7=66$ dh.

Exemple 2. Le produit en croix brille surtout quand le coefficient n'est pas un nombre rond. Si $13$ litres de lait coûtent $91$ dh, combien coûtent $20$ litres ?

$13\times x=20\times 91=1820$, donc $x=1820÷13=140$ dh. Le coefficient $91÷13=7$ était simple ici, mais tu n'as pas eu besoin de le calculer : le produit en croix passe directement à la réponse.

Le piège de la diagonale mal orientée

Salma pose son tableau correctement mais multiplie deux cases de la même ligne au lieu de croiser. Le produit en croix relie toujours une case du haut à la case du bas de l'autre colonne. Sur la diagonale, jamais sur la ligne ni sur la colonne. Pose le tableau proprement, repère la case vide, et croise.

Appliquer et calculer un pourcentage

Un pourcentage n'est rien d'autre qu'une proportion dont le « tout » vaut $100$. C'est l'application de la proportionnalité que tu rencontres le plus souvent dans la vraie vie : soldes, taux d'intérêt, statistiques, TVA.

Exemple 1. Un manteau coûte $480$ dh. La TVA appliquée est de $20\mathrm{\%}$. Quel est le montant de la TVA ? Calcul : $480\times {\displaystyle \frac{20}{100}}=480\times \mathrm{0,2}=96$ dh.

Calculer un pourcentage à partir d'une proportion

L'opération inverse est tout aussi utile : on connaît une partie et un tout, on cherche le pourcentage que représente la partie.

Exemple 2. Dans une classe de $25$ élèves d'un collège de Rabat, $18$ sont externes. Quel pourcentage cela représente-t-il ? Calcul : ${\displaystyle \frac{18}{25}}\times 100=\mathrm{0,72}\times 100=72\mathrm{\%}$.

Le piège du pourcentage appliqué au mauvais total

Amine lit « $15\mathrm{\%}$ des $200$ places sont vendues », puis « il reste $30$ places ». Il croit qu'il reste $15\mathrm{\%}$. Faux : $15\mathrm{\%}$ de $200$, c'est $30$ places vendues, donc il en reste $200-30=170$. Avant d'appliquer un pourcentage, demande-toi toujours : pourcentage de quoi, et la réponse décrit-elle la partie ou le reste ?

Les pourcentages d'évolution

Voici la vraie nouveauté de la 4ᵉ, et de loin la plus puissante. Quand un prix augmente ou diminue d'un certain pourcentage, on peut traiter l'évolution en une seule multiplication au lieu de deux étapes. La clé s'appelle le coefficient multiplicateur.

Le raisonnement est limpide. Augmenter de $20\mathrm{\%}$, c'est garder les $100\mathrm{\%}$ de départ et ajouter $20\mathrm{\%}$, soit $120\mathrm{\%}$ du prix, c'est-à-dire $\times \mathrm{1,2}$. Diminuer de $15\mathrm{\%}$, c'est garder $85\mathrm{\%}$ du prix, soit $\times \mathrm{0,85}$.

Évolution	Coefficient
$+20\mathrm{\%}$	$\times \mathrm{1,2}$
$+5\mathrm{\%}$	$\times \mathrm{1,05}$
$-15\mathrm{\%}$	$\times \mathrm{0,85}$
$-40\mathrm{\%}$	$\times \mathrm{0,6}$

Exemple 1. Un vélo coûte $1500$ dh. Pendant les soldes, il baisse de $30\mathrm{\%}$. Coefficient : $1-\mathrm{0,30}=\mathrm{0,7}$. Nouveau prix : $1500\times \mathrm{0,7}=1050$ dh. Une seule multiplication, fini les deux étapes.

Les évolutions successives se multiplient

C'est ici que le coefficient multiplicateur devient indispensable. Lorsque deux évolutions s'enchaînent, on multiplie leurs coefficients ; on ne jamais additionne les pourcentages.

Exemple 2. Le prix d'un billet de train Casablanca–Tanger augmente de $10\mathrm{\%}$ en janvier, puis encore de $10\mathrm{\%}$ en juillet. L'augmentation totale n'est pas de $20\mathrm{\%}$. Coefficient global : $\mathrm{1,1}\times \mathrm{1,1}=\mathrm{1,21}$, soit une hausse réelle de $21\mathrm{\%}$.

Exemple 3. Un article subit $-20\mathrm{\%}$ puis $-20\mathrm{\%}$. Coefficient global : $\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,64}$, soit une baisse totale de $36\mathrm{\%}$ — et non de $40\mathrm{\%}$.

Le piège du « ça revient au prix de départ »

Karim affirme : « Si on augmente de $20\mathrm{\%}$ puis qu'on baisse de $20\mathrm{\%}$, on retombe sur le prix initial. » Faux, et c'est l'erreur la plus célèbre du chapitre. Coefficient global : $\mathrm{1,2}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,96}$. On termine à $96\mathrm{\%}$ du prix initial : on a perdu $4\mathrm{\%}$. Les deux pourcentages s'appliquent à des montants différents, donc ils ne se compensent pas.

Vitesses, débits et grandeurs composées

La vitesse est la grandeur composée par excellence : elle relie une distance et une durée. C'est aussi le terrain où l'on fait le plus d'erreurs, parce que les unités y sont piégeuses et que les durées ne sont pas décimales.

De cette relation on tire les deux autres : $d=v\times t$ et $t={\displaystyle \frac{d}{v}}$.

Exemple 1. Un car relie Fès à Meknès, soit $60$ km, en ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ d'heure. Vitesse moyenne : $v={\displaystyle \frac{60}{\mathrm{0,75}}}=80$ km/h.

Le piège des durées en minutes

Le tramway de Casablanca parcourt $9$ km en $20$ minutes. Sa vitesse n'est pas ${\displaystyle \frac{9}{20}}$. Il faut d'abord convertir la durée en heures : $20$ min $={\displaystyle \frac{20}{60}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ h. Alors $v={\displaystyle \frac{9}{1\mathrm{/}3}}=9\times 3=27$ km/h. Et attention : $1$ h $30$ min ne s'écrit pas $\mathrm{1,30}$ h mais $\mathrm{1,5}$ h, car $30$ min $=\mathrm{0,5}$ h. Le système des durées est sexagésimal, pas décimal.

Exemple 2. Un robinet remplit un bassin de $240$ litres en $8$ minutes. Débit : ${\displaystyle \frac{240}{8}}=30$ litres par minute.

Échelles et représentation graphique

Une carte, un plan, une maquette : tous reposent sur une proportionnalité entre les longueurs du dessin et les longueurs réelles. Le coefficient de cette proportionnalité porte un nom — l'échelle — et la proportionnalité elle-même a une signature graphique imparable.

Exemple 1. Sur un plan à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{200}}$, un mur mesure $4$ cm. Quelle est sa longueur réelle ? Comme ${\displaystyle \frac{\text{dessin}}{\text{r}\acute{\text{e}}\text{el}}}={\displaystyle \frac{1}{200}}$, le réel vaut $4\times 200=800$ cm $=8$ m.

Le piège des unités de l'échelle

Salma calcule une distance réelle et obtient $25000$ — mais $25000$ quoi ? L'échelle se calcule avec la même unité au numérateur et au dénominateur (souvent le cm). Le résultat sort donc en cm, et il faut le reconvertir : $25000$ cm $=250$ m $=\mathrm{0,25}$ km. Oublier cette reconversion est la faute n°1 sur les échelles.

La signature graphique de la proportionnalité

La pente de cette droite est exactement le coefficient de proportionnalité. C'est pourquoi une droite qui ne passe pas par l'origine, même parfaitement droite, ne traduit pas une proportionnalité (souvenir des forfaits avec abonnement de la 5ᵉ).

Pièges classiques

1. Croire que « ça augmente ensemble » suffit. Deux grandeurs qui croissent de concert ne sont pas forcément proportionnelles. Il faut le même coefficient à chaque colonne. L'aire d'un carré croît avec son côté, mais pas proportionnellement : côté $\times 2$ donne aire $\times 4$.

2. Croiser sur la ligne au lieu de la diagonale. Dans le produit en croix, on multiplie une case du haut par la case du bas de l'autre colonne. Multiplier deux cases d'une même ligne, ou d'une même colonne, donne un résultat faux. Pose le tableau, repère la case vide, croise.

3. Additionner les pourcentages d'évolutions successives. $+10\mathrm{\%}$ puis $+10\mathrm{\%}$ ne fait pas $+20\mathrm{\%}$ mais $\times \mathrm{1,1}\times \mathrm{1,1}=\mathrm{1,21}$, soit $+21\mathrm{\%}$. Les évolutions se multiplient par leurs coefficients.

4. Croire qu'une hausse puis une baisse de même taux s'annulent. $+20\mathrm{\%}$ puis $-20\mathrm{\%}$ donne $\mathrm{1,2}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,96}$ : on perd $4\mathrm{\%}$. Les deux taux s'appliquent à des montants différents.

5. Oublier de convertir les minutes en heures. $9$ km en $20$ min ne fait pas $9÷20$ km/h. On convertit d'abord : $20$ min $={\displaystyle \frac{1}{3}}$ h, d'où $27$ km/h. Et $1$ h $30$ min $=\mathrm{1,5}$ h, jamais $\mathrm{1,30}$ h.

6. Oublier de reconvertir les unités d'une échelle. Une longueur réelle de $25000$ cm n'est pas $25000$ m. L'échelle se calcule en cm/cm ; le résultat sort en cm et doit être reconverti en m ou km.

Application concrète

Yasmine organise une excursion d'une journée pour son club de lecture, de Casablanca jusqu'à la cascade d'Ouzoud, située à $230$ km. Elle veut tout boucler : itinéraire, budget, réduction, timing. Toutes les leçons du chapitre vont y passer.

Étape 1 — Lire la carte (échelle). Sur sa carte routière à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{2300000}}$, le trajet mesure $10$ cm. Vérifions que cela colle : $10\times 2300000=23000000$ cm $=230000$ m $=230$ km. Cohérent avec le panneau. L'échelle convertit du dessin au réel par une simple multiplication, à condition de reconvertir les cm en km à la fin.

Étape 2 — Estimer la durée (vitesse). Yasmine table sur une vitesse moyenne de $92$ km/h sur le trajet. Durée : $t={\displaystyle \frac{230}{92}}=\mathrm{2,5}$ h, soit $2$ h $30$ min. Attention : $\mathrm{2,5}$ h vaut bien $2$ h $30$ min, et non $2$ h $50$ min — la partie décimale $\mathrm{0,5}$ h se traduit par $\mathrm{0,5}\times 60=30$ min.

Étape 3 — Calculer l'essence (proportionnalité et produit en croix). Sa voiture consomme $6$ litres pour $100$ km, et le diesel est à $\mathrm{11,50}$ dh le litre. Consommation pour $230$ km, par produit en croix :

Distance (km)	100	230
Carburant (L)	6	$x$

$100\times x=230\times 6=1380$, donc $x=\mathrm{13,8}$ L. Coût : $\mathrm{13,8}\times \mathrm{11,50}=\mathrm{158,70}$ dh.

Étape 4 — Appliquer la réduction (pourcentage d'évolution). Le club bénéficie d'une remise de groupe de $25\mathrm{\%}$ sur les $480$ dh d'entrées au site. Coefficient multiplicateur : $1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$. Montant à payer : $480\times \mathrm{0,75}=360$ dh.

Étape 5 — Encaisser une hausse de dernière minute (évolutions successives). La veille du départ, le parking annonce $+20\mathrm{\%}$ sur son tarif, déjà majoré de $10\mathrm{\%}$ le mois précédent par rapport au tarif de base de $50$ dh. Tarif final : $50\times \mathrm{1,1}\times \mathrm{1,2}=66$ dh. Yasmine note bien qu'il ne s'agit pas de $+30\mathrm{\%}$ (qui donnerait $65$ dh) mais de $\times \mathrm{1,32}$, soit $+32\mathrm{\%}$.

Poste	Calcul	Montant
Essence	$\mathrm{13,8}\times \mathrm{11,50}$	$\mathrm{158,70}$ dh
Entrées (remise $25\mathrm{\%}$)	$480\times \mathrm{0,75}$	$360$ dh
Parking ($+10\mathrm{\%}$ puis $+20\mathrm{\%}$)	$50\times \mathrm{1,1}\times \mathrm{1,2}$	$66$ dh
Total		$\mathrm{584,70}$ dh

Conclusion. En une seule journée d'excursion, Yasmine a lu une échelle, calculé une vitesse, résolu une quatrième proportionnelle au produit en croix, appliqué un coefficient multiplicateur et enchaîné deux évolutions successives. Ce sont exactement les six gestes du chapitre. Tu les retrouveras en physique pour les vitesses et les masses volumiques, en SVT pour les concentrations, et en classes de première et terminale lorsque les pourcentages d'évolution deviendront des suites géométriques. Les maîtriser maintenant, c'est s'équiper pour longtemps.

À retenir