Les nombres relatifs

Repérer, comparer, prendre l'opposé

Avant d'opérer sur les relatifs, il faut être parfaitement à l'aise avec ce qu'ils sont et comment ils s'ordonnent. C'est le socle : une erreur de signe ici se propage dans tout le reste du chapitre.

Zéro est un cas à part : c'est le seul nombre qui soit à la fois positif et négatif, et sa distance à zéro vaut $0$.

Comparer deux relatifs

L'image de la droite graduée règle tout : un nombre est d'autant plus grand qu'il est placé loin vers la droite.

Exemple 1. $-2>-9$, car $-2$ est plus proche de zéro, donc plus à droite.

Exemple 2. $+3>-100$ : un positif l'emporte toujours sur un négatif, quelle que soit sa taille.

L'opposé d'un nombre

Deux nombres opposés sont symétriques par rapport à $0$ sur la droite graduée. Cette notion va devenir centrale dès la leçon suivante.

Le piège du « plus grand chiffre »

Salma compare $-12$ et $-7$ et écrit $-12>-7$ « parce que 12 est plus grand que 7 ». C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le réflexe du nombre de chiffres marche chez les positifs, mais il s'inverse chez les négatifs. Sur la droite, $-12$ est plus à gauche que $-7$ : il est donc plus petit. La bonne écriture est $-12<-7$.

Additionner et soustraire

Tu as vu ces deux opérations en 5ᵉ. On les consolide ici, car ce sont elles qui causent le plus d'erreurs de signe — et tout le reste du chapitre s'appuie dessus.

Exemple 1. $(+6)+(+9)=+15$ — mêmes signes, on cumule.

Exemple 2. $(+7)+(-12)=-5$ — signes contraires, le négatif l'emporte car il est plus éloigné de zéro.

Soustraire, c'est additionner l'opposé

Plutôt que de retenir des règles séparées pour la soustraction, on la ramène à une addition. C'est l'idée la plus rentable de la leçon.

Exemple 3. $(+3)-(-8)=(+3)+(+8)=+11$.

Exemple 4. $(-5)-(+4)=(-5)+(-4)=-9$.

Le piège des signes qui se touchent

Karim calcule $7-(-2)$ et répond $5$ : il a « fait comme s'il n'y avait qu'un seul signe ». Or soustraire $-2$, c'est ajouter son opposé $+2$ : $7-(-2)=7+2=9$. Quand deux signes se suivent, ils fusionnent en un seul.

Multiplier : la règle des signes

Voici le cœur du programme de 4ᵉ. Multiplier des relatifs ne demande qu'une chose : connaître le signe du résultat. La valeur, elle, se calcule comme d'habitude avec les distances à zéro.

Exemple 1. $(-6)\times (+4)=-24$ — signes contraires.

Exemple 2. $(-5)\times (-3)=+15$ — mêmes signes.

Pourquoi « moins par moins fait plus » ?

Cette règle n'est pas un caprice de professeur. Observe la suite des produits par $-3$ en faisant décroître le second facteur :

$(-3)\times 2=-6;(-3)\times 1=-3;(-3)\times 0=0;(-3)\times (-1)=?$

À chaque fois que le second facteur baisse de $1$, le résultat augmente de $3$ : $-6$, puis $-3$, puis $0$… La régularité impose que la case suivante vaille $+3$, puis $+6$. Autrement dit, $(-3)\times (-1)=+3$ est la seule valeur qui garde le calcul cohérent. La règle des signes est une nécessité, pas une convention arbitraire.

Plusieurs facteurs : compter les négatifs

Exemple 3. $(-2)\times (-3)\times (+5)=+30$ — deux facteurs négatifs, c'est pair.

Exemple 4. $(-2)\times (-3)\times (-1)=-6$ — trois facteurs négatifs, c'est impair.

Le piège du facteur négatif oublié

Salma calcule $(-2)\times (-3)\times (-4)$. Elle applique « moins par moins fait plus » sur les deux premiers, trouve $+6$, puis $+6\times (-4)$ et écrit… $+24$, par étourderie de signe. Le bon réflexe : compter d'abord les facteurs négatifs. Il y en a trois, c'est impair, donc le résultat est négatif : $-24$.

Diviser des nombres relatifs

Bonne nouvelle : la division ne réserve aucune surprise. Elle obéit exactement à la même règle des signes que la multiplication.

Le signe d'une fraction

Une fraction de relatifs ne porte qu'un seul signe global, qu'on peut écrire de trois façons équivalentes.

Exemple 1. ${\displaystyle \frac{+18}{-3}}=-6$.

Exemple 2. ${\displaystyle \frac{-20}{-4}}=+5$.

Le piège de la division par zéro

Diviser par $0$ n'a aucun sens : ${\displaystyle \frac{-5}{0}}$ n'existe pas. En revanche, $0$ divisé par un nombre non nul vaut bien $0$ : ${\displaystyle \frac{0}{-5}}=0$. Ne confonds pas les deux situations — l'une est interdite, l'autre est parfaitement valide.

Enchaîner les opérations : priorités et parenthèses

Dans un calcul mêlant plusieurs opérations, l'ordre dans lequel tu travailles change tout. Les relatifs n'ajoutent pas de nouvelle règle : ils rendent simplement la rigueur indispensable.

Méthode (priorités opératoires). On calcule dans cet ordre :

1. ce qui est entre parenthèses ;
2. les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
3. les additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemple 1. $-3+4\times (-2)$. La multiplication d'abord : $4\times (-2)=-8$. Puis $-3+(-8)=-11$.

Supprimer une parenthèse

Exemple 2. $5-(3-8)=5-3+8=10$.

Exemple 3. $-2+(6-9)=-2+6-9=-5$.

Le piège de l'ordre

Karim calcule $-2-3\times 4$ « dans l'ordre de lecture » : $-2-3=-5$, puis $-5\times 4=-20$. Faux. La multiplication passe avant la soustraction : $3\times 4=12$, puis $-2-12=-14$.

Pièges classiques

1. Inverser l'ordre des négatifs. Écrire $-12>-7$ parce que « 12 > 7 ». Chez les négatifs, plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit : $-12<-7$.

2. Oublier de transformer la soustraction. Lire $7-(-2)$ comme $7-2=5$ au lieu de $7+2=9$. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

3. Mal compter les facteurs négatifs d'un produit. Croire que $(-2)\times (-3)\times (-4)=+24$. Trois facteurs négatifs, c'est impair : le résultat est $-24$.

4. Inventer une règle de signes pour la division. Hésiter sur ${\displaystyle \frac{-35}{-7}}$. La division suit exactement la même règle que la multiplication : mêmes signes, résultat positif, donc $+5$.

5. Diviser par zéro. Écrire ${\displaystyle \frac{-5}{0}}=0$. C'est une opération interdite ; en revanche ${\displaystyle \frac{0}{-5}}=0$ est correct.

6. Mal distribuer un « $-$ » devant une parenthèse. Calculer $5-(3-8)=5-3-8=-6$. Le « $-$ » change le signe de chaque terme : $5-3+8=10$.

Application concrète

Yasmine passe une journée d'hiver à Ifrane et note la température au fil des heures. Son carnet va nous faire traverser tout le chapitre.

Étape 1 — Comparer. Relevés du thermomètre : $6$ h : $-6$ °C, $9$ h : $-2$ °C, $13$ h : $+3$ °C, $18$ h : $-1$ °C. Yasmine veut classer ces températures de la plus froide à la plus chaude. En se plaçant sur la droite des relatifs : $-6<-2<-1<+3$. La plus froide est $-6$ °C (au lever du jour), la plus chaude $+3$ °C (au début d'après-midi).

Étape 2 — Additionner et soustraire. Quel est l'écart entre la température la plus chaude et la plus froide de la journée ? On soustrait : $(+3)-(-6)=(+3)+(+6)=+9$. L'amplitude thermique de la journée est de $9$ °C.

Étape 3 — Multiplier. Après $18$ h, la nuit tombe et la température baisse régulièrement de $2$ °C par heure. Quelle variation cela représente-t-il sur les $3$ premières heures de la nuit ? Chaque heure apporte une variation de $-2$ °C, donc : $3\times (-2)=-6$ °C. Partie de $-1$ °C à $18$ h, la température atteint $(-1)+(-6)=-7$ °C à $21$ h.

Étape 4 — Diviser. Le lendemain matin, le thermomètre est passé de $+3$ °C à $-5$ °C en $4$ heures. Quelle a été la variation moyenne par heure ? La variation totale est $(-5)-(+3)=-8$ °C. On la répartit sur $4$ heures : ${\displaystyle \frac{-8}{4}}=-2$ °C par heure. La règle des signes donne directement un résultat négatif, cohérent avec un refroidissement.

Étape 5 — Enchaîner. Yasmine résume sa nuit par un seul calcul, en partant de la température de $21$ h : $-7+2\times 4-(-1)$. Priorités d'abord : $2\times 4=8$. Puis de gauche à droite : $-7+8=+1$, et $+1-(-1)=+1+1=+2$. La température finale est de $+2$ °C.

Conclusion. En une seule journée, Yasmine a comparé, additionné, soustrait, multiplié, divisé et enchaîné des relatifs — exactement les six gestes de ce chapitre. Ce sont les mêmes que tu réutiliseras dès le chapitre suivant sur les nombres rationnels, puis tout au long du lycée, jusqu'aux fonctions et aux vecteurs. Les maîtriser maintenant, sans hésiter sur un seul signe, c'est se débarrasser pour de bon de la source d'erreur numéro un en mathématiques.

À retenir