Les équations

Qu'est-ce qu'une équation ?

Avant de résoudre quoi que ce soit, il faut comprendre ce qu'on cherche. Revenons à l'expression $7x+1=50$ : elle ressemble à ce qu'on a vu en calcul littéral, mais avec une nouveauté — le signe « $=$ » sépare deux membres, et on cherche la valeur de $x$ qui les rend égaux.

Tester si une valeur est solution ne demande aucune technique nouvelle : on remplace la lettre par la valeur dans chaque membre, puis on compare.

Méthode (tester une valeur). Pour vérifier si $x=a$ est solution d'une équation :

1. Calculer le membre gauche en remplaçant $x$ par $a$.
2. Calculer le membre droit (il peut ne contenir aucun $x$).
3. Si les deux résultats sont égaux, $x=a$ est bien solution ; sinon, ce n'en est pas une.

Exemple 1. L'équation $7x+1=50$. Testons $x=7$ :

• Membre gauche : $7\times 7+1=49+1=50$.
• Membre droit : $50$.
• $50=50$ : $x=7$ est solution.

Exemple 2. La même équation, testons $x=6$ :

• Membre gauche : $7\times 6+1=43\mathrm{\ne }50$.
• $x=6$ n'est pas solution.

Exemple 3. L'équation $2x-3=x+1$. Testons $x=4$ :

• Membre gauche : $2\times 4-3=5$.
• Membre droit : $4+1=5$.
• $5=5$ : $x=4$ est solution.

Le piège du test d'un seul membre

Karim teste si $x=3$ est solution de $5x-2=13$ en calculant $5\times 3-2=13$ et conclut immédiatement « oui, c'est solution ». Cette fois il a raison, mais sa méthode est risquée : si l'équation avait été $5x-2=12$, il aurait oublié de comparer avec $12$. La règle est absolue : calculer les deux membres séparément, puis les comparer.

Résoudre les équations simples

Maintenant que tu sais ce qu'est une solution, voyons comment la trouver sans tâtonner. Les équations les plus simples sont de la forme $x+a=b$ ou $ax=b$.

L'idée directrice est celle de la balance : une équation est comme une balance en équilibre. Si tu ajoutes ou retires le même poids des deux plateaux, la balance reste en équilibre. Si tu multiplies ou divises les deux plateaux par le même nombre (non nul), elle reste en équilibre.

Méthode (opérations réciproques). Pour isoler l'inconnue $x$ :

• Si l'équation est $x+a=b$, on soustrait $a$ des deux membres : $x=b-a$.
• Si l'équation est $x-a=b$, on ajoute $a$ des deux membres : $x=b+a$.
• Si l'équation est $ax=b$ (avec $a\mathrm{\ne }0$), on divise les deux membres par $a$ : $x={\displaystyle \frac{b}{a}}$.

On vérifie toujours la solution trouvée en la substituant dans l'équation de départ.

Exemple 1. Résoudre $x+5=12$.

On soustrait $5$ des deux membres : $x+5-5=12-5$, soit $x=7$.

Vérification : $7+5=12$. ✓

Exemple 2. Résoudre $x-8=3$.

On ajoute $8$ aux deux membres : $x-8+8=3+8$, soit $x=11$.

Vérification : $11-8=3$. ✓

Exemple 3. Résoudre $4x=28$.

On divise les deux membres par $4$ : ${\displaystyle \frac{4x}{4}}={\displaystyle \frac{28}{4}}$, soit $x=7$.

Vérification : $4\times 7=28$. ✓

Exemple 4. Résoudre $3x=-15$.

On divise les deux membres par $3$ : $x={\displaystyle \frac{-15}{3}}=-5$.

Vérification : $3\times (-5)=-15$. ✓

Le piège de l'opération faite d'un seul côté

Salma résout $x+9=20$ en soustrayant $9$ seulement du membre gauche : elle écrit $x=20$. Faux : si on soustrait $9$ à gauche, il faut aussi soustraire $9$ à droite. La bonne réponse est $x=20-9=11$.

Résoudre $ax+b=c$

On passe maintenant à une équation légèrement plus complexe, celle qu'on rencontre très souvent : $ax+b=c$. Le principe reste le même — isoler $x$ — mais il faut deux étapes.

Méthode (deux étapes pour $ax+b=c$). On procède toujours dans cet ordre :

1. Étape 1 — Éliminer le terme constant. Soustraire (ou ajouter) $b$ des deux membres pour obtenir $ax=c-b$.
2. Étape 2 — Isoler $x$. Diviser les deux membres par $a$ (avec $a\mathrm{\ne }0$) pour obtenir $x={\displaystyle \frac{c-b}{a}}$.
3. Vérification. Substituer la valeur trouvée dans l'équation de départ.

Exemple 1. Résoudre $3x+7=22$.

Étape 1 : $3x+7-7=22-7\Rightarrow 3x=15$.

Étape 2 : ${\displaystyle \frac{3x}{3}}={\displaystyle \frac{15}{3}}\Rightarrow x=5$.

Vérification : $3\times 5+7=15+7=22$. ✓

Exemple 2. Résoudre $5x-3=17$.

Étape 1 : $5x-3+3=17+3\Rightarrow 5x=20$.

Étape 2 : $x={\displaystyle \frac{20}{5}}=4$.

Vérification : $5\times 4-3=17$. ✓

Exemple 3. Résoudre $2x+9=1$.

Étape 1 : $2x=1-9=-8$.

Étape 2 : $x={\displaystyle \frac{-8}{2}}=-4$.

Vérification : $2\times (-4)+9=-8+9=1$. ✓

Le piège de l'ordre inversé

Amine résout $3x+7=22$ en commençant par diviser par $3$ : il obtient $x+7={\displaystyle \frac{22}{3}}$ et bute sur une fraction dès la première ligne. Ce n'est pas une erreur fatale, mais c'est inutilement compliqué. En retirant d'abord le terme constant, on obtient $3x=15$, et la division donne immédiatement $x=5$ sans fraction.

Équations avec l'inconnue dans les deux membres

Certaines équations ont des termes en $x$ des deux côtés du signe $=$ : par exemple $4x+3=2x+11$. La stratégie reste la même — isoler $x$ — mais il faut d'abord rassembler tous les termes en $x$ d'un même côté.

Méthode (équation $ax+b=cx+d$). On procède en trois étapes :

1. Rassembler les $x$. Soustraire le terme en $x$ le plus petit des deux membres (ou ajouter son opposé) pour n'avoir des $x$ que d'un côté.
2. Rassembler les constantes. Déplacer les nombres de l'autre côté.
3. Diviser. Isoler $x$ en divisant par son coefficient.
4. Vérifier en substituant dans l'équation de départ.

Exemple 1. Résoudre $4x+3=2x+11$.

Étape 1 — Retirer $2x$ des deux membres : $4x-2x+3=11\Rightarrow 2x+3=11$.

Étape 2 — Retirer $3$ des deux membres : $2x=8$.

Étape 3 — Diviser par $2$ : $x=4$.

Vérification : membre gauche $4\times 4+3=19$ ; membre droit $2\times 4+11=19$. ✓

Exemple 2. Résoudre $5x-4=3x+10$.

$5x-3x=10+4\Rightarrow 2x=14\Rightarrow x=7$.

Vérification : $5\times 7-4=31$ ; $3\times 7+10=31$. ✓

Exemple 3. Résoudre $x+6=4x-9$.

On soustrait $x$ des deux membres : $6=3x-9$.

On ajoute $9$ : $15=3x$.

On divise par $3$ : $x=5$.

Vérification : $5+6=11$ ; $4\times 5-9=11$. ✓

Le piège du signe qui change de côté

Karim résout $4x+3=2x+11$ et écrit, pour « passer $2x$ de l'autre côté » : $4x+2x+3=11$ — il a ajouté $2x$ au lieu de le soustraire. Rappel : quand on fait « passer un terme d'un côté », on soustrait ce terme des deux membres, ce qui change son signe. $4x+3=2x+11\Rightarrow 4x-2x+3=11\Rightarrow 2x+3=11$.

Mettre un problème en équation

La vraie puissance des équations, c'est de traduire un problème de la vie réelle en langage mathématique, de le résoudre, puis de revenir à la situation concrète.

Méthode (résolution d'un problème par équation). On procède en cinq phases :

1. Choisir l'inconnue : nommer la grandeur cherchée par une lettre (souvent $x$) et préciser son unité.
2. Traduire : écrire une équation qui exprime la contrainte du problème.
3. Résoudre l'équation.
4. Vérifier que la solution satisfait l'équation ET a un sens dans le problème (positif si c'est une longueur, entier si c'est un nombre d'objets, etc.).
5. Conclure en répondant à la question posée avec l'unité.

Exemple 1. Yasmine et Amine font des économies. Yasmine a 120 dh et économise 15 dh par semaine. Amine a 30 dh et économise 25 dh par semaine. Au bout de combien de semaines auront-ils la même somme ?

• Inconnue : $x$ = nombre de semaines.
• Équation : Yasmine aura $120+15x$ dh ; Amine aura $30+25x$ dh.

$120+15x=30+25x$

• Résolution : $120-30=25x-15x\Rightarrow 90=10x\Rightarrow x=9$.
• Vérification : Yasmine $120+15\times 9=255$ dh ; Amine $30+25\times 9=255$ dh. ✓
• Conclusion : ils auront la même somme au bout de 9 semaines.

Exemple 2. Amine achète des carnets à 8 dh l'unité et une règle à 12 dh. Il paie 60 dh au total. Combien a-t-il acheté de carnets ?

• Inconnue : $x$ = nombre de carnets.
• Équation : $8x+12=60$.
• Résolution : $8x=48\Rightarrow x=6$.
• Vérification : $8\times 6+12=60$. ✓
• Conclusion : Amine a acheté 6 carnets.

Le piège de la conclusion sans unité

Salma résout un problème de prix et écrit en conclusion : « $x=35$ ». C'est incomplet : $35$ quoi ? La conclusion doit toujours répondre à la question posée avec son unité et dans la réalité du problème : « Le prix est 35 dh. »

Pièges classiques

1. Tester une équation sur un seul membre. Il faut calculer les deux membres séparément et les comparer. Écrire $5\times 3-2=13$ sans citer le membre droit ne prouve rien si on n'a pas vérifié que le membre droit vaut aussi $13$.

2. Faire une opération d'un seul côté. Toute opération sur un membre s'applique aussi à l'autre. Soustraire $9$ seulement à gauche dans $x+9=20$ donne $x=20$, ce qui est faux : la bonne réponse est $x=11$.

3. Inverser les étapes pour $ax+b=c$. Diviser par $a$ avant de soustraire $b$ n'est pas faux, mais génère des fractions inutiles. Mieux : soustraire $b$ en premier, puis diviser.

4. Additionner au lieu de soustraire en déplaçant un terme. Dans $4x+3=2x+11$, « déplacer $2x$ à gauche » signifie soustraire $2x$ des deux membres, pas l'ajouter. Résultat juste : $2x+3=11$, pas $6x+3=11$.

5. Oublier la vérification. La substitution de la solution dans l'équation de départ est l'unique garantie de ne pas avoir fait d'erreur de signe ou de calcul en chemin.

6. Conclure sans unité ni phrase. $x=9$ n'est pas une réponse à un problème. La conclusion doit désigner la grandeur, sa valeur et son unité : « Au bout de 9 semaines, Yasmine et Amine auront la même somme. »

Application concrète

Yasmine et Karim préparent le voyage de fin d'année de leur classe vers Ifrane. Le car coûte 1 200 dh à partager en parts égales entre tous les élèves, et chaque élève paie en plus 50 dh pour les repas. Karim affirme que si 20 élèves participent, chacun devra payer 110 dh au total. Yasmine pense que c'est faux. Qui a raison ?

Étape 1 — Choisir l'inconnue. On note $n$ le nombre d'élèves qui participent (en cherchant pour quelle valeur chaque élève paie exactement 110 dh).

Étape 2 — Écrire l'équation. La part de car par élève est ${\displaystyle \frac{1200}{n}}$ dh. En y ajoutant les 50 dh de repas, chaque élève paie :

${\displaystyle \frac{1200}{n}}+50=110$

Étape 3 — Résoudre. On soustrait $50$ des deux membres :

${\displaystyle \frac{1200}{n}}=60$

On multiplie les deux membres par $n$ (valide car $n\mathrm{\ne }0$) :

$1200=60n$

On divise par $60$ :

$n=20$

Étape 4 — Vérifier. Pour $n=20$ : ${\displaystyle \frac{1200}{20}}+50=60+50=110$ dh. ✓

Étape 5 — Conclure. La solution est bien $n=20$. Karim avait raison : avec exactement 20 élèves, chacun paie 110 dh.

Conclusion. Yasmine réalise qu'elle avait mal calculé. L'équation a permis de trancher le débat sans discussion : la démarche mathématique donne une réponse certaine là où l'intuition peut se tromper.

À retenir