Mathématiques · 4ᵉ · Le calcul littéral

Le calcul littéral

Cours relu par un enseignant de mathématiques · Mis à jour le 5 juin 2026 · Notre démarche

À revoir avant de commencer

Tu passes en 3ᵉ ?Revois l'essentiel de la 4ᵉ avant l'année du brevet.

Les expressions littérales

Avant de calculer, il faut savoir lire et écrire correctement ces expressions où nombres et lettres se mêlent.

DÉFINITION

Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres représentant des nombres. Par exemple : $3 x + 5$ , $2 L + 2 l$ , $a^{2} - b$ .

Pour alléger l'écriture, on adopte des conventions sur les produits.

Méthode (conventions d'écriture). On simplifie l'écriture des produits :

on supprime le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times x = 3 x$ , $a \times b = a b$ , $5 \times (x + 1) = 5 (x + 1)$ ;

on écrit toujours le nombre devant la lettre : $x \times 3$ s'écrit $3 x$ ;

$1 \times x = x$ et $x \times x = x^{2}$ .

On distingue deux mots de vocabulaire : les termes d'une expression sont séparés par des $+$ ou des $-$ ; les facteurs d'un produit sont séparés par des $\times$ . Dans $3 x + 5$ , il y a deux termes ( $3 x$ et $5$ ) ; dans le terme $3 x$ , il y a deux facteurs ( $3$ et $x$ ).

Le piège du nombre collé

Karim pense que $3 x$ signifie « $3$ et $x$ », comme $35$ signifie trente-cinq. Faux : $3 x$ veut dire $3 \times x$ , un produit. Pour $x = 4$ , on a $3 x = 12$ , et non $34$ .

À RETENIR

$3 x$ signifie $3 \times x$ . On supprime le $\times$ devant une lettre ou une parenthèse, et on place le nombre devant.

Calculer la valeur d'une expression

Une expression littérale prend une valeur numérique dès qu'on fixe la valeur de ses lettres.

MÉTHODE

Pour calculer la valeur numérique d'une expression, on remplace chaque lettre par sa valeur (en rétablissant les signes $\times$ ), puis on calcule en respectant les priorités opératoires.

Exemple 1. Pour $x = 4$ : $3 x + 5 = 3 \times 4 + 5 = 17$ .

Exemple 2. Pour $x = - 2$ : $3 x + 5 = 3 \times (- 2) + 5 = - 1$ (la règle des signes s'applique).

Exemple 3. L'aire d'un rectangle est $A = L \times l$ . Pour $L = 5$ et $l = 3$ : $A = 15$ .

Le piège de la priorité oubliée

Salma calcule $2 x^{2}$ pour $x = 3$ et écrit $(2 \times 3)^{2} = 36$ . Faux : $2 x^{2}$ signifie $2 \times x^{2}$ , donc on élève d'abord $x$ au carré : $2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18$ . L'écriture $(2 x)^{2}$ serait différente.

À RETENIR

Pour substituer, on rétablit les $\times$ et on respecte les priorités. $2 x^{2} = 2 \times x^{2}$ , à ne pas confondre avec $(2 x)^{2}$ .

Réduire une expression

Réduire, c'est rendre une expression plus courte en regroupant ce qui peut l'être.

DÉFINITION

Deux termes semblables ont la même partie littérale (même lettre, même exposant) : $3 x$ et $5 x$ sont semblables ; $2 x^{2}$ et $- x^{2}$ aussi ; les nombres seuls ( $7$ , $- 2$ ) sont semblables entre eux.

MÉTHODE

Réduire une expression, c'est regrouper les termes semblables en additionnant ou soustrayant leurs coefficients : $3 x + 5 x = 8 x$ ; $4 x + 7 - x + 2 = 3 x + 9$ .

Tuiles algébriques : 3x + 2 + 2x + 1 regroupé en 5x + 3 par réunion des termes semblables

On ne peut regrouper que des termes semblables : une expression comme $3 x + 5$ est déjà réduite, car $3 x$ et $5$ ne sont pas semblables.

Le piège des termes mélangés

Amine réduit $3 x + 5$ en $8 x$ . Faux : $3 x$ porte la lettre $x$ , mais $5$ est un nombre seul. Ils ne sont pas semblables, on ne peut pas les additionner. L'expression $3 x + 5$ ne se réduit pas davantage.

À RETENIR

On ne regroupe que des termes semblables (même partie littérale). $3 x + 5$ ne se réduit pas.

Développer : la distributivité simple

Développer transforme un produit (avec parenthèse) en une somme de termes.

THÉORÈME · DISTRIBUTIVITÉ

Pour tous nombres $k$ , $a$ , $b$ : $k (a + b) = k a + k b k (a - b) = k a - k b$

MÉTHODE

Pour développer, on multiplie le facteur situé devant la parenthèse par chacun des termes à l'intérieur.

Modèle d'aire de la distributivité : un rectangle de hauteur k partagé en deux largeurs a et b, d'aires k×a et k×b

Exemple 1. $3 (x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3 x + 6$ .

Exemple 2. $5 (2 x + 3) = 10 x + 15$ .

Exemple 3. $- 2 (x - 4) = - 2 x + 8$ (attention : $- 2 \times (- 4) = + 8$ ).

Le piège du terme oublié

Karim développe $3 (x + 2)$ en $3 x + 2$ : il a oublié de multiplier le $2$ . Il faut distribuer le facteur à chaque terme : $3 (x + 2) = 3 x + 6$ .

Le piège du signe « − » devant la parenthèse

C'est le piège signature de la 4ᵉ. Un « $-$ » seul devant une parenthèse, c'est un facteur $- 1$ caché : il retourne le signe de chaque terme. Donc $- (x - 3) = - x + 3$ , car le $- 3$ devient $+ 3$ . Karim développe $- (x - 3)$ et écrit $- x - 3$ : il a changé le signe du premier terme seulement, et oublié que le $- 3$ devient $+ 3$ .

À RETENIR

$k (a + b) = k a + k b$ : on multiplie $k$ par chaque terme de la parenthèse. Quand $k$ est négatif, on applique la règle des signes à chacun. En particulier $- (x - 3) = - x + 3$ : le « $-$ » change le signe de tous les termes.

Factoriser

Factoriser, c'est l'opération inverse de développer.

DÉFINITION

Factoriser une somme, c'est la transformer en produit en mettant en évidence un facteur commun à tous ses termes.

THÉORÈME

$k a + k b = k (a + b)$ .

MÉTHODE

On repère le facteur commun à tous les termes, on l'écrit devant une parenthèse, et dans la parenthèse on place ce qui reste de chaque terme (chacun divisé par le facteur commun).

Modèle d'aire de la factorisation : rectangle de hauteur 3 partagé en aires 6x et 9, regroupées en 3(2x + 3)

Exemple 1. $6 x + 9 = 3 \times 2 x + 3 \times 3 = 3 (2 x + 3)$ (facteur commun $3$ ).

Exemple 2. $4 x + 4 = 4 (x + 1)$ ; $5 x - 10 = 5 (x - 2)$ .

Le piège du facteur incomplet

Salma factorise $6 x + 9$ en $3 (2 x + 9)$ : elle a sorti le $3$ du premier terme mais a oublié de diviser le $9$ . Chaque terme doit être divisé par le facteur commun : $6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ . Pour vérifier, on redéveloppe : $3 (2 x + 3) = 6 x + 9$ .

À RETENIR

$k a + k b = k (a + b)$ . Pour contrôler une factorisation, on redéveloppe : on doit retrouver l'expression de départ.

Tester une égalité

Une égalité entre deux expressions n'est pas toujours vraie : tout dépend de la valeur donnée à la lettre.

DÉFINITION

Dans une égalité comme $3 x + 1 = 10$ , l'expression de gauche est le membre de gauche, celle de droite le membre de droite. Une valeur de la lettre qui rend l'égalité vraie est appelée une solution.

MÉTHODE

Pour tester si une valeur est solution, on calcule séparément les deux membres pour cette valeur, puis on vérifie s'ils sont égaux.

Exemple 1. L'égalité $3 x + 1 = 10$ , testée pour $x = 3$ : membre de gauche $3 \times 3 + 1 = 10$ ; membre de droite $10$ . Ils sont égaux, donc $x = 3$ est solution.

Exemple 2. La même égalité pour $x = 2$ : membre de gauche $3 \times 2 + 1 = 7 \neq 10$ . Donc $x = 2$ n'est pas solution.

Le piège du seul membre

Karim veut tester si $x = 4$ est solution de $2 x + 3 = 11$ . Il calcule $2 \times 4 + 3 = 11$ et s'arrête. Le réflexe correct est de comparer les deux membres : membre de gauche $11$ , membre de droite $11$ ; ils sont égaux, donc $x = 4$ est bien solution. Il faut toujours confronter les deux côtés.

À RETENIR

Une valeur est solution d'une égalité si elle rend les deux membres égaux. On calcule chaque membre, puis on compare.

Pièges classiques

Lire $3 x$ comme « $3$ et $x$ ». $3 x = 3 \times x$ : pour $x = 4$ , cela vaut $12$ , pas $34$ .
Confondre $2 x^{2}$ et $(2 x)^{2}$ . $2 x^{2} = 2 \times x^{2}$ : pour $x = 3$ , on obtient $18$ , et non $36$ .
Réduire des termes non semblables. $3 x + 5$ ne se réduit pas : $3 x$ et $5$ n'ont pas la même partie littérale.
Oublier un terme en développant. $3 (x + 2) = 3 x + 6$ , et non $3 x + 2$ : on distribue à chaque terme.
Mal distribuer le « − » devant une parenthèse. $- (x - 3) = - x + 3$ , et non $- x - 3$ : le « $-$ » change le signe de chaque terme.
Factoriser de façon incomplète. $6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ , et non $3 (2 x + 9)$ : chaque terme est divisé par le facteur commun.
Tester une égalité sur un seul membre. Il faut calculer les deux membres et les comparer pour conclure.

Application concrète

Yasmine présente un petit programme de calcul à ses cousins : « Choisis un nombre, multiplie-le par $3$ , puis ajoute $12$ . »

Étape 1 — Expression littérale. En appelant $x$ le nombre choisi, le programme se traduit par l'expression $3 x + 12$ .

Étape 2 — Valeur numérique. Amine choisit $x = 4$ : le résultat est $3 \times 4 + 12 = 24$ .

Étape 3 — Réduire. Karim propose un autre programme : « multiplie le nombre par $2$ , ajoute le nombre, puis ajoute $12$ ». Cela donne $2 x + x + 12$ , qui se réduit en $3 x + 12$ : c'est exactement le programme de Yasmine !

Étape 4 — Factoriser. Yasmine factorise son expression : $3 x + 12 = 3 (x + 4)$ . Autrement dit, son programme revient à « ajouter $4$ au nombre, puis tripler le tout » — une autre façon de décrire la même règle.

Étape 5 — Tester une égalité. Pour prouver que les deux programmes donnent toujours le même résultat, on teste l'égalité $2 x + x + 12 = 3 x + 12$ . Pour $x = 7$ : membre de gauche $2 \times 7 + 7 + 12 = 33$ ; membre de droite $3 \times 7 + 12 = 33$ . Ils sont égaux.

Conclusion. D'un simple jeu, Yasmine a écrit une expression, l'a évaluée, réduite, factorisée, et a testé une égalité. Le calcul littéral permet de prouver qu'une règle vaut pour tous les nombres à la fois, pas seulement sur un exemple. C'est précisément ce dont tu auras besoin au chapitre suivant pour résoudre des équations — c'est-à-dire trouver les valeurs qui rendent une égalité vraie.

À retenir

À RETENIR

Une expression littérale mêle nombres et lettres. $3 x$ signifie $3 \times x$ ; on supprime le $\times$ devant une lettre et on place le nombre devant.

À RETENIR

Pour calculer la valeur d'une expression, on remplace les lettres et on respecte les priorités. $2 x^{2} = 2 \times x^{2} \neq (2 x)^{2}$ .

À RETENIR

Réduire, c'est regrouper les termes semblables (même partie littérale) ; $3 x + 5$ ne se réduit pas.

À RETENIR

Développer : $k (a + b) = k a + k b$ (on distribue à chaque terme). Factoriser est l'opération inverse : $k a + k b = k (a + b)$ .

À RETENIR

Une valeur est solution d'une égalité si elle rend les deux membres égaux : on calcule chaque membre, puis on compare.

Ce chapitre prépare à

Les cas d'égalité des triangles Les équations

Prochain chapitre

Les équations

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