Les cas d'égalité des triangles

Deux triangles égaux

Avant de parler de cas d'égalité, il faut s'entendre sur ce que signifie « deux triangles égaux ».

En pratique, on repère les éléments homologues par un codage : des tirets courts sur les côtés de même longueur (un tiret pour la première égalité, deux tirets pour la deuxième, trois pour la troisième), et de petits arcs colorés sur les angles de même mesure.

Notation. Lorsqu'on écrit $ABC=DEF$, l'ordre des lettres est crucial : il indique la correspondance entre les sommets. Cela signifie que $A$ correspond à $D$, $B$ à $E$, $C$ à $F$, et donc :

$AB=DE,BC=EF,AC=DF$ $\widehat{BAC}=\widehat{EDF},\widehat{ABC}=\widehat{DEF},\widehat{BCA}=\widehat{EFD}$

Les éléments homologues

Quand on sait que deux triangles sont égaux, les éléments homologues sont les côtés et angles qui se correspondent dans la superposition. Lire l'ordre des lettres dans l'égalité $ABC=DEF$ suffit à les identifier tous.

Exemple 1. On sait que $ABC=EFG$. Alors $A\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow F$, $C\leftrightarrow G$. On en déduit : $AB=EF$, $BC=FG$, $AC=EG$, $\widehat{BAC}=\widehat{FEG}$, $\widehat{ABC}=\widehat{EFG}$, $\widehat{BCA}=\widehat{FGE}$.

Le piège de l'ordre des lettres

Salma voit deux triangles avec un codage identique et écrit : « $ABC=FED$ donc $AB=FE$. » Elle a bien respecté l'ordre, mais elle aurait dû écrire $AB=FE$ — sauf si l'ordre $FED$ reflète bien la correspondance $A\leftrightarrow F$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow D$. Le piège classique est d'écrire les lettres dans n'importe quel ordre selon la position sur la figure, sans vérifier quelle paire de sommets se correspond vraiment. Toujours lire l'égalité de gauche à droite pour établir les correspondances.

Les trois cas d'égalité

Vérifier les six éléments un par un serait fastidieux. Trois configurations suffisent à garantir l'égalité de deux triangles.

Premier cas : trois côtés égaux (CCC)

Autrement dit : connaître seulement les trois longueurs d'un triangle détermine entièrement ce triangle (à déplacement près). Les angles se déduisent automatiquement.

Exemple 1. Dans les deux triangles $ABC$ et $DEF$ : $AB=DE=5$ cm, $BC=EF=7$ cm, $AC=DF=6$ cm. D'après le premier cas d'égalité (trois côtés), $ABC=DEF$.

Deuxième cas : un angle compris entre deux côtés égaux (CAC)

La formulation exacte est décisive : l'angle doit être compris entre les deux côtés, c'est-à-dire qu'il doit avoir pour sommet le point commun aux deux côtés concernés.

Exemple 2. Dans les triangles $ABC$ et $DEF$ : $AB=DE=4$ cm, $AC=DF=6$ cm, et $\widehat{BAC}=\widehat{EDF}=50\mathrm{°}$. L'angle $\widehat{BAC}$ est bien compris entre $[AB]$ et $[AC]$. D'après le deuxième cas d'égalité (CAC), $ABC=DEF$.

Troisième cas : un côté compris entre deux angles égaux (ACA)

Le côté doit être compris entre les deux angles, c'est-à-dire que ses deux extrémités sont précisément les deux sommets où se situent les angles concernés.

Exemple 3. Dans les triangles $ABC$ et $DEF$ : $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}=40\mathrm{°}$, $\widehat{BCA}=\widehat{EFD}=70\mathrm{°}$, et $BC=EF=8$ cm. Le côté $[BC]$ est compris entre les angles en $B$ et en $C$. D'après le troisième cas d'égalité (ACA), $ABC=DEF$.

Le piège de « compris entre »

Karim a deux triangles avec $AB=DE$, $AC=DF$ et $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$. Il veut appliquer le deuxième cas. Mais $\widehat{ABC}$ est l'angle en $B$, alors que les deux côtés donnés partent de $A$. L'angle en $A$ — c'est-à-dire $\widehat{BAC}$ — serait compris entre $[AB]$ et $[AC]$, mais l'angle en $B$ ne l'est pas. Karim ne peut pas appliquer le deuxième cas. La condition « compris entre » doit être vérifiée rigoureusement avant de citer le cas.

Démontrer que deux triangles sont égaux

Reconnaître le bon cas suffit ; encore faut-il le rédiger correctement. Une démonstration d'égalité de triangles suit un modèle en trois étapes.

Exemple 4. Soit $ABCD$ un quadrilatère tel que $AB=CD$, $AD=CB$ et $BD$ est une diagonale. Démontre que $ABD=CDB$.

Étape 1 — Données. Dans les triangles $ABD$ et $CDB$ :

• $AB=CD$ (donné)
• $AD=CB$ (donné)
• $BD=DB$ (côté commun, même segment)

Étape 2 — Identification du cas. On a trois paires de côtés homologues deux à deux égaux ($A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, $D\leftrightarrow B$). C'est le premier cas d'égalité (CCC).

Étape 3 — Conclusion. D'après le premier cas d'égalité des triangles (trois côtés), on conclut que $ABD=CDB$.

Le modèle de rédaction

Voici la trame que tu peux réutiliser mot pour mot :

« Dans les triangles $\dots$ et $\dots$ : — $\dots =\dots$ (car $\dots$) — $\dots =\dots$ (car $\dots$) — $\dots =\dots$ (car $\dots$, et c'est l'angle/le côté compris entre $\dots$ et $\dots$)

D'après le [premier / deuxième / troisième] cas d'égalité des triangles, $\dots =\dots$. »

Le piège de la conclusion sans justification

Salma remarque que les deux triangles se ressemblent sur la figure et écrit : « Les triangles ont l'air identiques donc ils sont égaux. » Une figure est une aide à la compréhension, jamais une preuve. Il faut citer explicitement le cas d'égalité utilisé et lister les trois données qui le justifient.

Exploiter l'égalité de deux triangles

Prouver que deux triangles sont égaux n'est jamais une fin en soi : c'est un outil pour déduire d'autres informations que l'énoncé ne donne pas directement.

Exemple 5. Dans un parallélogramme $ABCD$, la diagonale $[AC]$ divise le parallélogramme en deux triangles $ABC$ et $CDA$. On sait que dans un parallélogramme : $AB=CD$, $BC=DA$ et $AC=CA$ (côté commun). D'après le premier cas d'égalité, $ABC=CDA$. On en déduit :

• $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (angles homologues), ce qui prouve que $[AC]$ est parallèle à $[BD]$ (angles alternes-internes) ;
• $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}$, c'est-à-dire les angles opposés du parallélogramme sont égaux.

Application aux diagonales d'un losange

Dans un losange $ABCD$ (quatre côtés égaux), les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en un point $O$. Les triangles $AOB$ et $COB$ vérifient : $OA=OC$ (les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu), $OB=OB$ (commun), $AB=CB$ (côtés du losange). D'après le premier cas d'égalité, $AOB=COB$, donc $\widehat{AOB}=\widehat{COB}$. Comme ces deux angles sont supplémentaires (ils forment un angle plat), chacun vaut $90\mathrm{°}$ : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

Le piège des homologues mal lus

Amine sait que $PQR=STU$. Il veut déduire $PQ=TU$. Mais $P\leftrightarrow S$ et $Q\leftrightarrow T$, donc le côté homologue de $[PQ]$ est $[ST]$, et non $[TU]$. L'erreur vient d'une lecture trop rapide de l'ordre des lettres. Relis toujours la correspondance lettre par lettre avant de conclure.

Pièges classiques

1. Confondre « compris entre » et « quelconque ». Dans le deuxième cas, l'angle doit avoir pour sommet le point d'intersection des deux côtés donnés. Un angle situé ailleurs dans le triangle ne peut pas être utilisé, même si sa mesure coïncide.

2. Écrire l'égalité de triangles avec un mauvais ordre de lettres. $ABC=DEF$ et $ABC=DFE$ ne décrivent pas la même correspondance. Un mauvais ordre conduit à des déductions fausses sur les éléments homologues.

3. Croire que ressembler sur une figure suffit. Une figure bien tracée peut induire en erreur (angles légèrement différents, tirets mal placés). Seule la démonstration, appuyée sur des données chiffrées ou des propriétés connues, est valide.

4. Oublier de citer le cas d'égalité dans la conclusion. Écrire « donc les triangles sont égaux » sans mentionner le cas utilisé (CCC, CAC ou ACA) n'est pas une démonstration : la phrase clé « d'après le [X] cas d'égalité des triangles » est obligatoire.

5. Utiliser seulement deux données au lieu de trois. Chaque cas nécessite exactement trois égalités. Deux côtés égaux sans plus d'information ne permettent aucune conclusion : un triangle peut avoir une infinité de formes avec deux côtés fixés.

6. Déduire un élément non homologue. Après avoir établi $ABD=CBD$, Amine déduit $AB=CB$ — mais $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow D$, donc le côté homologue de $[AB]$ est $[CB]$ dans ce cas précis. Vérifier toujours la correspondance de chaque paire avant de conclure.

Application concrète

Yasmine prépare un exposé sur l'architecture islamique du Maroc. Elle étudie une rosace tracée sur papier : un grand triangle isocèle $ABC$ (avec $AB=AC$) dont on a tracé la médiatrice du côté $[BC]$. Cette médiatrice passe par le sommet $A$ et coupe $[BC]$ en son milieu $M$.

Étape 1 — Identifier les données. Par définition du milieu : $BM=MC$. Par construction de la médiatrice : $AM\perp BC$, donc $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90\mathrm{°}$. Enfin, $AM=AM$ (côté commun).

Étape 2 — Reconnaître le cas d'égalité. Dans les triangles $ABM$ et $ACM$ :

• $BM=MC$ (donné : $M$ milieu de $[BC]$)
• $AM=AM$ (côté commun)
• $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90\mathrm{°}$ (médiatrice perpendiculaire)

On a deux côtés égaux, $BM=MC$ et $AM=AM$, et entre ces deux côtés l'angle de sommet $M$ : $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90\mathrm{°}$. Cet angle est bien compris entre les deux côtés égaux (il a pour sommet $M$, leur point commun). C'est donc le deuxième cas d'égalité (CAC).

Étape 3 — Conclure sur l'égalité des triangles. D'après le deuxième cas d'égalité des triangles (un angle compris entre deux côtés), $ABM=ACM$.

Étape 4 — Exploiter l'égalité. On en déduit les éléments homologues : $AB=AC$ (ce qu'on savait déjà), $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$, et surtout $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$. Ce dernier résultat signifie que la médiatrice de $[BC]$ coupe l'angle $\widehat{BAC}$ en deux parties égales : c'est aussi la bissectrice de l'angle en $A$.

Conclusion. Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est également la médiane, la hauteur et la bissectrice issue du sommet principal. Ce résultat — que tu aurais eu du mal à « voir » sur une figure — découle directement de l'égalité des deux triangles. Les cas d'égalité ne servent pas seulement à cocher une case dans un exercice : ils sont le cœur de toute démonstration géométrique rigoureuse que tu rencontreras jusqu'au baccalauréat et au-delà.

À retenir