Mathématiques · 4ᵉ · Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Cours relu par un enseignant de mathématiques · Mis à jour le 27 avril 2026 · Notre démarche

Le théorème de Pythagore, c'est la première grande relation géométrique que tu rencontres au collège. Il établit un lien exact entre les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle — un lien que tu vas utiliser dans presque tous tes futurs chapitres de géométrie, mais aussi en physique, en architecture, et même dans ton téléphone (pour calculer la diagonale de l'écran que tu lis en ce moment).

Tu passes en 3ᵉ ?Revois l'essentiel de la 4ᵉ avant l'année du brevet.

Vocabulaire du triangle rectangle

Avant de parler du théorème, on doit pouvoir nommer correctement les trois côtés d'un triangle rectangle. C'est le piège n°1 du chapitre : presque toutes les erreurs viennent d'un mauvais repérage de l'hypoténuse.

Trois triangles ABC rectangles en A dans des orientations différentes, l'hypoténuse [BC] toujours en accent terracotta opposée à l'angle droit

DÉFINITION

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90°).

Dans un triangle rectangle, les trois côtés ont des noms précis :

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi toujours le plus long des trois côtés.
Les côtés de l'angle droit sont les deux autres côtés. Ils forment l'angle droit en se rejoignant.

REMARQUE

Quelle que soit l'orientation du triangle sur la feuille — angle droit en bas à gauche, en haut, sur le côté — l'hypoténuse reste le côté opposé à l'angle droit. Ne te fie pas à la position visuelle : repère d'abord l'angle droit, puis identifie le côté qui ne le touche pas.

EXEMPLE

Soit ABC un triangle rectangle en A. Cela signifie que l'angle droit se trouve au sommet A. Les deux côtés qui partent de A — c'est-à-dire [AB] et [AC] — sont les côtés de l'angle droit. Le troisième côté [BC], qui ne touche pas A, est l'hypoténuse.

Une notation à retenir tout de suite : quand on écrit "ABC rectangle en A", le sommet de l'angle droit est toujours indiqué après le mot "en". Cette convention te permet d'identifier l'hypoténuse en une seconde : c'est le côté formé par les deux autres lettres, ici [BC].

Le théorème direct

Maintenant qu'on sait nommer les côtés, on peut énoncer le théorème lui-même. Il établit une égalité exacte entre les carrés des longueurs des trois côtés.

THÉORÈME · DE PYTHAGORE

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

FORMULE

${hypot \overset{ˊ}{e} nuse}^{2} = {c \hat{o} t \overset{ˊ}{e}}_{1}^{2} + {c \hat{o} t \overset{ˊ}{e}}_{2}^{2}$

En français : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C'est la phrase à mémoriser textuellement.

Triangle ABC rectangle en A, avec AB = 3 cm, AC = 4 cm, et BC l'hypoténuse à calculer

EXEMPLE · GUIDÉ

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calcule la longueur BC.

Étape 1 — On identifie. Le triangle est rectangle en A, donc [BC] est l'hypoténuse. C'est elle qu'on cherche.

Étape 2 — On applique le théorème.

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$

Étape 3 — On extrait la racine carrée. Comme BC est une longueur, elle est positive, donc :

$B C = \sqrt{25} = 5 cm$

REMARQUE

L'étape 3 est obligatoire : le théorème te donne $B C^{2}$ , pas $B C$ . Si tu réponds "BC = 25", tu donnes le carré de la longueur, pas la longueur. C'est l'erreur n°3 dans la liste des pièges.

Calculer un côté de l'angle droit

Le théorème de Pythagore ne sert pas qu'à calculer l'hypoténuse. Si tu connais l'hypoténuse et un seul des deux côtés de l'angle droit, tu peux retrouver le troisième côté par soustraction.

À partir de l'égalité $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , on isole $A B^{2}$ :

$A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$

THÉORÈME · FORME REFORMULÉE

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors le carré d'un côté de l'angle droit est égal au carré de l'hypoténuse moins le carré de l'autre côté de l'angle droit.

Triangle ABC rectangle en A, avec BC = 13 cm l'hypoténuse, AC = 5 cm, et AB le côté à calculer

EXEMPLE · GUIDÉ

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec BC = 13 cm (l'hypoténuse) et AC = 5 cm. Calcule AB.

Étape 1 — On identifie. L'hypoténuse est BC = 13. On cherche AB, qui est un côté de l'angle droit.

Étape 2 — On applique la formule.

$A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$

Étape 3 — On extrait la racine carrée.

$A B = \sqrt{144} = 12 cm$

À RETENIR

Quand tu cherches un côté de l'angle droit, tu soustrais toujours le carré du plus petit (côté connu) au carré du plus grand (hypoténuse). Jamais l'inverse. Si tu obtiens un nombre négatif sous la racine, tu as soustrait dans le mauvais sens — vérifie ton identification de l'hypoténuse.

La réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle

Jusqu'ici, on est parti d'un triangle qu'on savait rectangle, et on a calculé une longueur. La réciproque fait le chemin inverse : on part de trois longueurs, et on démontre que le triangle est rectangle.

THÉORÈME · RÉCIPROQUE

Soit ABC un triangle. Si :

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

alors le triangle ABC est rectangle en A.

L'énoncé ressemble à celui du théorème direct, mais le sens est inversé. Le direct part du fait que le triangle est rectangle pour en déduire une égalité de longueurs. La réciproque part d'une égalité de longueurs pour en déduire que le triangle est rectangle. Ce sont deux outils différents pour deux usages différents.

Triangle ABC avec AB = 5, AC = 12, BC = 13, à démontrer rectangle par la réciproque du théorème de Pythagore

EXEMPLE · GUIDÉ

Soit un triangle ABC avec AB = 5, AC = 12, BC = 13. Démontre que ABC est rectangle.

Étape 1 — On repère le plus grand côté. Ici BC = 13 est le plus grand. Si le triangle est rectangle, ce sera nécessairement l'hypoténuse, donc l'angle droit serait en A (le sommet opposé à [BC]).

Étape 2 — On calcule séparément les deux membres de l'égalité.

$B C^{2} = 13^{2} = 169$

$A B^{2} + A C^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$

Étape 3 — On compare et on conclut. On a $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

REMARQUE

Tu remarqueras qu'on calcule séparément les deux côtés de l'égalité avant de les comparer. Ne saute pas cette étape : un correcteur attend de voir les deux calculs alignés. La conclusion ne peut tomber que si les deux nombres sont identiques.

La contraposée : démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

Et si l'égalité n'est pas vérifiée ? On utilise alors la contraposée du théorème, qui permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

THÉORÈME · CONTRAPOSÉE

Soit ABC un triangle. Si :

$B C^{2} \neq A B^{2} + A C^{2}$

alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Triangle ABC avec AB = 4, AC = 5, BC = 6, à démontrer non rectangle par la contraposée du théorème de Pythagore

EXEMPLE · GUIDÉ

Soit un triangle ABC avec AB = 4, AC = 5, BC = 6. Démontre que ABC n'est pas rectangle.

Étape 1 — On repère le plus grand côté. C'est BC = 6. Si le triangle était rectangle, ce serait l'hypoténuse, donc l'angle droit serait en A.

Étape 2 — On calcule séparément.

$B C^{2} = 6^{2} = 36$

$A B^{2} + A C^{2} = 4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$

Étape 3 — On compare et on conclut. On a $B C^{2} = 36$ et $A B^{2} + A C^{2} = 41$ . Donc $B C^{2} \neq A B^{2} + A C^{2}$ , et d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

REMARQUE

La contraposée est précieuse : elle te permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle sans avoir à mesurer un angle au rapporteur (ce qui serait approximatif et non rigoureux). Trois mesures de longueurs suffisent à conclure.

Pièges classiques

Voici les sept erreurs qui reviennent le plus souvent dans les copies. Lis-les attentivement avant de passer aux exercices — beaucoup d'entre elles peuvent te coûter la moitié des points d'un problème.

1. Identifier le mauvais côté comme hypoténuse. Surtout quand le triangle est dessiné dans une orientation inhabituelle (angle droit en haut, ou triangle "couché"). Réflexe : trouve d'abord l'angle droit, puis identifie le côté opposé à cet angle. C'est lui, l'hypoténuse — peu importe son orientation visuelle.

2. Appliquer Pythagore sur un triangle non rectangle. Le théorème direct ne s'applique que si le triangle est rectangle. Si l'énoncé ne te dit pas que le triangle est rectangle et ne te demande pas de le démontrer, tu n'as aucun droit d'utiliser la formule. Vérifie toujours.

3. Oublier la racine carrée à la fin. Le théorème te donne $B C^{2}$ , pas $B C$ . Si tu écris "BC = 25 cm" au lieu de "BC = 5 cm", tu donnes le carré de la longueur. Vérifie toujours que la dernière étape est une extraction de racine carrée.

4. Confondre le théorème direct et sa réciproque. Le direct calcule une longueur dans un triangle qu'on sait rectangle. La réciproque démontre qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs. Si tu utilises le direct pour démontrer qu'un triangle est rectangle, ta démonstration est fausse.

5. Mauvais sens de soustraction quand on cherche un côté de l'angle droit. Tu dois toujours faire (carré de l'hypoténuse) − (carré du côté connu). Si tu fais l'inverse, tu obtiens un nombre négatif, dont la racine carrée n'existe pas. Quand tu vois apparaître un négatif sous la racine, c'est ton signal d'alarme.

6. Arrondi trop agressif. Si BC² = 26, alors BC = √26 ≈ 5,099. Ne réponds pas "BC = 5", car ce n'est pas exact. Donne soit la valeur exacte (√26), soit un arrondi avec assez de décimales (au moins deux), selon ce que demande l'énoncé.

7. Unités oubliées ou incohérentes. Si AB est donné en cm et AC en m, tu ne peux pas appliquer Pythagore directement : tu dois d'abord convertir dans la même unité. Et n'oublie pas l'unité dans ta réponse finale — un nombre seul, sans unité, n'est pas une longueur.

Démonstration et histoire

On a appris à utiliser le théorème, mais d'où vient-il ? Pourquoi est-il vrai ? Cette dernière section est facultative dans les programmes officiels, mais elle vaut le détour : comprendre la démonstration aide à mémoriser le théorème durablement, et son histoire est l'une des plus anciennes des mathématiques.

THÉORÈME · RAPPEL

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .

Une démonstration géométrique par découpage. Imagine un grand carré de côté $(a + b)$ , où $a$ et $b$ sont les longueurs des deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et $c$ est son hypoténuse.

On peut découper ce grand carré de deux façons différentes :

Première façon : en quatre triangles rectangles identiques (de côtés $a$ , $b$ , $c$ ) disposés autour d'un carré central de côté $c$ . L'aire totale vaut alors : $4 \times \frac{a b}{2} + c^{2} = 2 a b + c^{2}$ .
Deuxième façon : en quatre triangles rectangles identiques disposés différemment, laissant apparaître deux carrés — l'un de côté $a$ et l'autre de côté $b$ . L'aire totale vaut alors : $4 \times \frac{a b}{2} + a^{2} + b^{2} = 2 a b + a^{2} + b^{2}$ .

Démonstration géométrique du théorème de Pythagore : double découpage d'un carré de côté (a+b) montrant que c² = a² + b²

Comme c'est le même grand carré dans les deux cas, les deux aires sont égales :

$2 a b + c^{2} = 2 a b + a^{2} + b^{2}$

En simplifiant les $2 a b$ de chaque côté, on obtient :

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

C'est-à-dire exactement le théorème de Pythagore.

REMARQUE · HISTORIQUE

Le théorème porte le nom de Pythagore, mathématicien grec du VIᵉ siècle avant J.-C., mais la relation entre les côtés d'un triangle rectangle était déjà connue mille ans plus tôt — chez les Babyloniens (qui en gardent une trace sur la tablette d'argile Plimpton 322, datée d'environ 1800 av. J.-C.) et chez les Égyptiens, qui utilisaient la corde à treize nœuds (formant un triangle 3-4-5) pour tracer des angles droits sur les chantiers de construction. Pythagore n'a probablement pas été le premier à découvrir le théorème, mais on lui attribue la première démonstration rigoureuse.

Application concrète — La diagonale de ton téléphone

Le théorème de Pythagore est partout dans ta vie quotidienne, sans que tu le voies. Prenons un exemple concret : la diagonale de ton écran de téléphone.

Quand un constructeur vend un téléphone, il indique presque toujours la taille de l'écran en pouces — par exemple "6,1 pouces" pour un iPhone 14. Cette taille n'est pas la hauteur ni la largeur : c'est la diagonale de l'écran. Pourquoi ? Parce que c'est la mesure la plus représentative de la surface d'affichage, indépendamment de la forme (carré, rectangle plus ou moins allongé).

Or, mesurer une diagonale au mètre ruban à travers la vitre du téléphone, c'est imprécis. Mais avec Pythagore, à partir de la largeur et de la hauteur de l'écran (deux mesures faciles à prendre), on calcule la diagonale exactement.

Mise en pratique. Un iPhone 14 a un écran rectangulaire de 6,98 cm de largeur et 15,06 cm de hauteur. Calcule sa diagonale et compare-la à la valeur officielle de 6,1 pouces (sachant que 1 pouce = 2,54 cm).

Écran de téléphone vu de face avec ses dimensions 6,98 cm × 15,06 cm et sa diagonale à calculer

Mise en équation. Le rectangle de l'écran est composé de deux triangles rectangles séparés par la diagonale. Dans chaque triangle, la diagonale est l'hypoténuse, et les deux côtés sont la largeur (= 6,98 cm) et la hauteur (= 15,06 cm). On note $d$ la diagonale.

Application du théorème.

$d^{2} = {6,98}^{2} + {15,06}^{2} = 48,72 + 226,80 = 275,52$

$d = \sqrt{275,52} \approx 16,60 cm$

Conversion en pouces.

$\frac{16,60}{2,54} \approx 6,54 pouces$

Conclusion. On obtient environ 6,54 pouces, soit légèrement plus que les 6,1 pouces annoncés par Apple. La différence vient du fait que la "taille de l'écran" du constructeur correspond à la zone d'affichage active, plus petite que les bords physiques de la vitre que tu mesurerais avec une règle. Mais le principe — calculer une diagonale à partir de deux côtés perpendiculaires — c'est exactement Pythagore, sans aucun changement d'outil.

À RETENIR

Chaque fois que tu vois une diagonale dans un objet rectangulaire (écran, carte de crédit, terrain de sport, table, livre…), tu as un triangle rectangle caché. Et chaque fois qu'il y a un triangle rectangle, le théorème de Pythagore te donne une relation exacte entre les trois longueurs. Ce n'est pas un théorème scolaire : c'est un outil que tu vas utiliser toute ta vie, dans tous les domaines où il y a des angles droits — c'est-à-dire à peu près partout.

À retenir

À RETENIR

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit — et c'est toujours le plus long. Repère d'abord l'angle droit, jamais la position du côté sur la feuille. Dans « ABC rectangle en A », l'hypoténuse est [BC], formée par les deux lettres restantes.

À RETENIR

Théorème direct. Si ABC est rectangle en A, alors $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ : le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. Il sert à calculer une longueur dans un triangle qu'on sait déjà rectangle — et il ne se referme jamais sans l'extraction de la racine carrée.

À RETENIR

Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$ , toujours (carré de l'hypoténuse) − (carré du côté connu). Un nombre négatif sous la racine est le signal que tu t'es trompé d'hypoténuse.

À RETENIR

Réciproque et contraposée partent des trois longueurs pour conclure sur l'angle. On calcule séparément $B C^{2}$ et $A B^{2} + A C^{2}$ : s'ils sont égaux, le triangle est rectangle en A (réciproque) ; s'ils diffèrent, il ne l'est pas (contraposée). C'est cette logique du « si… alors… » que tu retrouveras avec Thalès en 4ᵉ, puis dans toutes les démonstrations du lycée.

Ce chapitre prépare à

Le cosinus d'un angle aigu Le théorème de Thalès et sa réciproque Les cas d'égalité des triangles

Prochain chapitre

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Exercices corrigés →