67 exercices pour t'entraîner sur Le théorème de Pythagore et sa réciproque en 4ᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
Soit ABC un triangle rectangle en A. Quel côté est l'hypoténuse ?
C
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit. Comme l'angle droit se trouve au sommet A, l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas A — c'est-à-dire [BC].
Soit MNP un triangle rectangle en N. Quel côté est l'hypoténuse ?
C
L'angle droit est au sommet N. L'hypoténuse est donc le côté opposé à N, c'est-à-dire le côté [MP] — celui formé par les deux autres sommets, M et P. La position des lettres dans le nom du triangle n'a aucune importance : seule compte la position de l'angle droit.
Soit RST un triangle rectangle en R. Lesquels sont les côtés de l'angle droit ?
B
Les côtés de l'angle droit sont les deux côtés qui partent du sommet de l'angle droit et qui se rejoignent à ce sommet pour former cet angle. Ici, l'angle droit est en R, donc les deux côtés qui en partent sont [RS] et [RT]. Le troisième côté [ST] est l'hypoténuse — il ne touche pas R.
On considère un triangle DEF dessiné de la façon suivante : le sommet D est en haut, les sommets E et F sont en bas. L'angle droit se trouve au sommet D. Quel côté est l'hypoténuse ?
C
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, peu importe son orientation visuelle sur la figure. Ici l'angle droit est en haut (au sommet D), donc l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas D — c'est [EF], la base du triangle. Ne te laisse pas piéger par la position : ce qui compte c'est la relation à l'angle droit, pas la position visuelle.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long.
A
C'est une propriété fondamentale qu'il faut retenir : dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le plus long des trois côtés. C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore, puisque l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des deux autres côtés — donc strictement plus grande que chacun d'eux.
On considère un triangle KLM "couché" : le sommet L est tout à droite, K et M sont à gauche. L'angle droit se trouve au sommet L. Quel côté est l'hypoténuse ?
C
Indépendamment de l'orientation, l'hypoténuse est toujours le côté opposé au sommet de l'angle droit. L'angle droit est en L, donc l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas L : c'est [KM]. Le piège ici, c'est que l'hypoténuse est en position oblique sur la figure et "à gauche" — il faut s'habituer à raisonner sur les sommets, pas sur l'orientation visuelle.
Sur la figure ci-dessous, un petit carré rouge est dessiné au sommet A du triangle ABC. Que signifie ce codage ?
B
Le petit carré dessiné dans un angle est le codage standard pour indiquer que cet angle est un angle droit (90°). Un triangle ayant un angle droit est par définition un triangle rectangle, et il est dit "rectangle au sommet où se trouve l'angle droit" — ici, en A. Apprends à repérer ce codage immédiatement, c'est une convention universelle en géométrie.
Un triangle équilatéral (ses trois côtés ont la même longueur) peut être un triangle rectangle.
B
Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60°. Pour être rectangle, il devrait avoir un angle de 90°. Comme 60° ≠ 90°, un triangle équilatéral n'est jamais rectangle. Plus généralement, un triangle ne peut pas être à la fois équilatéral et rectangle — ce sont deux types de triangles incompatibles.
Un triangle ABC a un angle de 90° en A et vérifie AB = AC. Comment peut-on le qualifier ?
C
Le triangle a un angle droit en A : il est donc rectangle en A. Il a aussi deux côtés de même longueur partant de A (AB = AC) : il est donc isocèle en A. Les deux propriétés peuvent coexister : on parle alors d'un triangle rectangle isocèle, qui a un angle droit et deux côtés de l'angle droit égaux. Ses deux autres angles valent chacun 45°.
Dans un triangle rectangle, les deux angles qui ne sont pas l'angle droit sont nécessairement aigus (strictement inférieurs à 90°).
A
La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°. Si l'un des angles vaut 90°, il reste 90° à se partager entre les deux autres. Comme un angle d'un triangle est toujours strictement positif, et que leur somme est 90°, chacun des deux est strictement inférieur à 90° — donc aigu. Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont d'ailleurs complémentaires (leur somme vaut 90°).
Le théorème de Pythagore dit : "Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés."
A
C'est exactement la formulation correcte du théorème direct. Carré de l'hypoténuse = somme des carrés des deux autres côtés. Cette phrase est à mémoriser textuellement : si tu peux la réciter sans hésiter, tu ne te tromperas plus dans tes calculs.
Parmi les énoncés suivants, lequel correspond au théorème de Pythagore ?
B
L'option A est fausse car elle oublie les carrés (ce serait l'inégalité triangulaire). L'option C est fausse car elle parle de produit au lieu de somme. L'option D est fausse car elle mélange : elle prend l'hypoténuse (sans carré) et la somme des carrés. Seule l'option B est correcte : les trois quantités sont au carré, et l'opération est une somme.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors .
A
Comme ABC est rectangle en A, l'hypoténuse est [BC] (le côté opposé à A). Le théorème de Pythagore s'écrit donc : carré de l'hypoténuse () = somme des carrés des deux autres côtés (). La formule est correcte.
Si ABC est un triangle rectangle en C, alors .
B
Si l'angle droit est en C, alors l'hypoténuse est le côté opposé à C, c'est-à-dire [AB]. La formule correcte serait donc . La formule donnée dans l'énoncé met BC au carré comme s'il s'agissait de l'hypoténuse, ce qui est faux puisque BC est ici un côté de l'angle droit. Avant d'écrire la formule, identifie toujours l'hypoténuse à partir de la position de l'angle droit.
Parmi les triplets suivants, lequel correspond aux longueurs des côtés d'un triangle rectangle ?
B
On vérifie pour chaque triplet si le carré du plus grand est égal à la somme des carrés des deux autres.
Le triplet (3, 4, 5) est le plus célèbre des triplets pythagoriciens — utilisé depuis l'Antiquité par les Égyptiens pour tracer des angles droits avec une corde à treize nœuds.
Parmi les triplets suivants, lequel n'est pas un triplet pythagoricien (ne correspond pas à un triangle rectangle) ?
D
On vérifie chaque triplet :
L'option D est piégeuse car les nombres sont "ronds" et semblent naturels. Mais seul le calcul donne la vérité.
On sait que (3, 4, 5) est un triplet pythagoricien. Parmi les triplets suivants, lequel est aussi un triplet pythagoricien ?
B
Une propriété utile : si on multiplie chaque longueur d'un triplet pythagoricien par un même nombre, on obtient encore un triplet pythagoricien (le triangle obtenu est un agrandissement du premier). Ici (9, 12, 15) = (3 × 3, 4 × 3, 5 × 3) — c'est le triplet (3, 4, 5) multiplié par 3. On peut le vérifier : et . Les autres triplets, eux, ne sont pas des multiples du triplet de référence et ne vérifient pas l'égalité.
Un énoncé indique : "Soit ABC un triangle rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calcule la longueur BC." Quel outil dois-tu utiliser ?
A
L'énoncé précise que le triangle est rectangle, et te demande de calculer une longueur. C'est exactement le rôle du théorème de Pythagore direct : à partir d'un triangle rectangle, on calcule une longueur. La réciproque sert à l'inverse — démontrer qu'un triangle est rectangle à partir de ses longueurs. La contraposée sert à démontrer qu'il n'est pas rectangle.
Un énoncé indique : "Soit ABC un triangle tel que AB = 5, AC = 12 et BC = 13. Démontre que le triangle ABC est rectangle." Quel outil dois-tu utiliser ?
B
L'énoncé te donne trois longueurs et te demande de démontrer que le triangle est rectangle. C'est le rôle exact de la réciproque du théorème de Pythagore : partir de longueurs, vérifier que le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, et conclure que le triangle est rectangle. Attention : tu ne peux pas utiliser le théorème direct ici, car il suppose déjà que le triangle est rectangle — il ne sert pas à le démontrer.
Un énoncé indique : "Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 6. Démontre que ce triangle n'est pas rectangle." Quel outil dois-tu utiliser ?
C
On a trois longueurs et on doit démontrer que le triangle n'est pas rectangle. C'est le rôle de la contraposée du théorème de Pythagore : on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, et si les deux nombres sont différents, on conclut que le triangle n'est pas rectangle. La réciproque servirait à démontrer qu'il est rectangle (égalité), la contraposée à démontrer qu'il ne l'est pas (inégalité).
Soit ABC un triangle rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.
Calcule la longueur de l'hypoténuse BC, en cm.
Soit DEF un triangle rectangle en D, avec DE = 6 cm et DF = 8 cm.
Calcule la longueur de l'hypoténuse EF, en cm.
Soit MNP un triangle rectangle en M, avec MN = 9 cm et MP = 12 cm.
Calcule la longueur de l'hypoténuse NP, en cm.
Soit RST un triangle rectangle en R, avec RS = 8 cm et RT = 15 cm.
Calcule la longueur de l'hypoténuse ST, en cm.
Soit ABC un triangle rectangle en A, avec AB = 20 cm et AC = 21 cm.
Calcule la longueur de l'hypoténuse BC, en cm.
Soit KLM un triangle rectangle en K, avec KL = 2 cm et KM = 3 cm.
Calcule la longueur de l'hypoténuse LM, arrondie au centième de cm près.
Soit XYZ un triangle rectangle en X, avec XY = 1,5 cm et XZ = 2 cm.
Calcule la longueur de l'hypoténuse YZ, en cm.
Soit ABC un triangle rectangle en A, avec BC = 13 cm (l'hypoténuse) et AB = 5 cm.
Calcule la longueur AC, en cm.
Soit DEF un triangle rectangle en D, avec EF = 17 cm (l'hypoténuse) et DE = 8 cm.
Calcule la longueur DF, en cm.
Soit MNP un triangle rectangle en M, avec NP = 41 cm (l'hypoténuse) et MN = 9 cm.
Calcule la longueur MP, en cm.
Soit RST un triangle rectangle en R, avec ST = 25 cm (l'hypoténuse) et RS = 7 cm.
Calcule la longueur RT, en cm.
Soit XYZ un triangle rectangle en X, avec YZ = 10 cm (l'hypoténuse) et XY = 6 cm.
Calcule la longueur XZ, en cm.
Soit ABC un triangle rectangle en A, avec BC = 5 cm (l'hypoténuse) et AC = 3 cm.
Calcule la longueur AB, en cm.
Soit DEF un triangle rectangle en D, avec EF = 8 cm (l'hypoténuse) et DE = 4 cm.
Calcule la longueur DF, arrondie au centième de cm près.
Soit un triangle ABC avec AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.
Effectue les calculs et , compare-les, et conclus : le triangle ABC est-il rectangle ?
Soit un triangle DEF avec DE = 9 cm, DF = 12 cm et EF = 15 cm.
Compare avec , et conclus : le triangle DEF est-il rectangle ?
Soit un triangle KLM avec KL = 7 cm, KM = 24 cm et LM = 25 cm.
Compare avec , et conclus : le triangle KLM est-il rectangle ?
Soit un triangle ABC avec AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 7 cm.
Compare avec , et conclus : le triangle ABC est-il rectangle ?
Soit un triangle MNP avec MN = 5 cm, MP = 6 cm et NP = 8 cm.
Compare avec , et conclus : le triangle MNP est-il rectangle ?
Soit un triangle XYZ avec XY = 6 cm, XZ = 7 cm et YZ = 9 cm.
Compare avec , et conclus : le triangle XYZ est-il rectangle ?
Yasmine étudie un triangle DEF rectangle en E, dessiné « couché » avec l'angle droit en haut. Comme [DF] est le côté tracé tout en bas, elle dit : « L'hypoténuse, c'est forcément [DF], celui qui est en bas. » A-t-elle raison ?
Amine lit : « Soit ABC un triangle avec , et . » L'énoncé ne dit rien de l'angle. Amine écrit aussitôt pour trouver une longueur. A-t-il raison ?
À Tanger, Salma calcule l'hypoténuse [BC] d'un triangle ABC rectangle en A avec et . Elle écrit puis conclut : « Donc cm. » Quelle est la vraie longueur de BC ?
On demande à Karim de démontrer qu'un triangle ABC (, , ) est rectangle. Il répond : « Comme le triangle est rectangle, , donc c'est démontré. » A-t-il raison ?
À Agadir, Yasmine cherche le côté [AB] d'un triangle ABC rectangle en A, avec l'hypoténuse et . Elle écrit . Que doit-elle faire ?
Amine trouve qu'une longueur vérifie . Il écrit : « est proche de , donc cm exactement. » A-t-il raison ?
À Rabat, Salma a un triangle rectangle en A avec m et cm. Pour trouver l'hypoténuse, elle écrit directement . A-t-elle raison ?
Un peintre pose une échelle de 5 mètres contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 3 mètres du mur.
À quelle hauteur du mur le sommet de l'échelle touche-t-il, en mètres ?
Sur un terrain plat, deux arbres A et B sont plantés. Pour aller de A à B, on doit marcher 12 mètres vers l'est puis 5 mètres vers le nord.
Quelle est la distance directe AB entre les deux arbres, en mètres ?
Tu déménages et tu veux faire passer une armoire rectangulaire à plat dans l'embrasure d'une porte. L'armoire mesure 1,5 m de hauteur et 0,8 m de largeur.
Quelle est la longueur de la diagonale de l'armoire, arrondie au centième de mètre ?
Un pylône électrique mesure 20 mètres de hauteur. Pour le stabiliser, on tend un câble du sommet du pylône jusqu'à un point d'ancrage au sol, situé à 15 mètres du pied du pylône.
Quelle est la longueur du câble, en mètres ?
Tu nages en ligne droite pour traverser une rivière. La rivière fait 30 mètres de large, mais le courant te déporte de 40 mètres vers l'aval pendant ta traversée.
Quelle distance as-tu réellement parcourue dans l'eau, en mètres ?
Le toboggan d'une piscine descend d'une plateforme située à 4 mètres de hauteur. Le pied du toboggan, où il rejoint l'eau, est à 2 mètres du pied de la plateforme.
Quelle est la longueur du toboggan (la pente glissante), arrondie au centième de mètre ?
Un rectangle ABCD a pour dimensions AB = 8 cm et BC = 6 cm.
Calcule la longueur de la diagonale AC, en cm.
Soit ABCD un quadrilatère tel que ABC est un triangle rectangle en B, et ACD est un triangle rectangle en C. On donne AB = 4 cm, BC = 3 cm, et CD = 12 cm.
Calcule la longueur AD, en cm.
Un cube ABCDEFGH a une arête de 3 cm. On veut calculer la longueur AG, la grande diagonale du cube qui relie deux sommets opposés.
Indication : applique d'abord Pythagore dans le triangle ABC pour trouver la diagonale AC d'une face, puis dans le triangle ACG.
Calcule AG, arrondi au centième de cm.
Un triangle équilatéral ABC a des côtés de 10 cm. On note H le pied de la hauteur issue de A (H est sur [BC]).
Sachant que dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet coupe le côté opposé en son milieu, calcule la longueur AH, arrondie au centième de cm.
Un losange a ses deux diagonales de longueur 6 cm et 8 cm.
Sachant que les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu, calcule la longueur d'un côté du losange, en cm.
Un triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 5 cm et AC = 12 cm.
Calcule le périmètre du triangle ABC, en cm.
Un triangle ABC est rectangle en A. On donne BC = 10 cm (l'hypoténuse) et AB = 6 cm.
Calcule l'aire du triangle ABC, en cm².
Un losange a un côté de 5 cm et l'une de ses diagonales mesure 8 cm.
Sachant que les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu, et que l'aire d'un losange est (où et sont les deux diagonales), calcule l'aire du losange, en cm².
Soit ABC un triangle rectangle en A, avec AB = cm et AC = cm. Sachant que BC = 10 cm (l'hypoténuse), trouve la valeur de .
Calcule AB, en cm.
Un menuisier découpe un panneau triangulaire ABC pour qu'il s'insère parfaitement dans un coin. Il prétend que ce panneau a un angle droit au sommet C. Les mesures du panneau sont : AB = 17 cm (le plus grand côté), AC = 8 cm, BC = 15 cm.
Le menuisier a-t-il raison ? Le panneau a-t-il bien un angle droit en C ?
Une tente de camping a une forme triangulaire vue de face. Les trois côtés mesurent : 6 m (la base au sol), 4 m et 5 m (les deux pentes des toiles).
L'une des deux toiles est-elle perpendiculaire au sol ? (Autrement dit, le triangle formé est-il rectangle ?)
Un jardinier prétend avoir clôturé un jardin rectangulaire ABCD. Tu mesures le terrain et tu obtiens : AB = 30 m, BC = 40 m, AC = 50 m (la diagonale).
Le jardin est-il vraiment rectangulaire ? (Autrement dit, l'angle au sommet B est-il bien un angle droit ?)
Un touriste se tient à 150 mètres du pied de la Tour Eiffel. La Tour Eiffel mesure 330 mètres de hauteur (avec son antenne).
À quelle distance le touriste se trouve-t-il du sommet de la Tour Eiffel, arrondi au mètre près ?
Un avion vole à 12 km d'altitude. Au moment où il survole exactement la verticale d'un radar au sol, il commence à descendre en ligne droite vers une piste d'atterrissage située à 5 km du radar (sur le sol).
Quelle est la distance que l'avion va parcourir lors de cette descente, en km ?