Le cosinus d'un angle aigu

Leçon 1 — Côté adjacent, hypoténuse, et définition du cosinus

Avant de définir le cosinus, il faut nommer les côtés d'un triangle rectangle avec précision. Tu connais déjà l'hypoténuse depuis le chapitre sur Pythagore. Ce chapitre introduit une distinction nouvelle : pour un angle aigu donné, les deux côtés de l'angle droit n'ont pas le même rôle.

Exemple 1. Soit ABC un triangle rectangle en A, avec $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ les deux angles aigus.

• Pour l'angle $\widehat{B}$ : l'hypoténuse est $[BC]$, le côté adjacent est $[BA]$, le côté opposé est $[AC]$.
• Pour l'angle $\widehat{C}$ : l'hypoténuse est toujours $[BC]$, le côté adjacent est $[CA]$, le côté opposé est $[AB]$.

La même figure donne deux réponses différentes selon l'angle qu'on choisit. L'hypoténuse, elle, ne change jamais.

Le piège de Salma

Salma regarde le triangle et dit : « Le côté adjacent, c'est le côté horizontal, parce qu'il est à côté de l'angle droit. » Elle confond adjacent à l'angle droit et adjacent à l'angle aigu choisi. Le côté adjacent dépend toujours de l'angle aigu qu'on considère — il faut d'abord désigner clairement cet angle, puis identifier le côté qui le touche sans être l'hypoténuse.

En abrégé : cos = adj / hyp.

Exemple 2. Dans un triangle rectangle en A avec $BA=6$ cm et $BC=10$ cm :

$\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{BA}{BC}}={\displaystyle \frac{6}{10}}=\mathrm{0,6}$

Le cosinus est ici $\mathrm{0,6}$. C'est un nombre sans unité, compris entre 0 et 1.

Pourquoi le cosinus est-il toujours entre 0 et 1 ?

Le côté adjacent est un côté de l'angle droit. L'hypoténuse est le plus grand côté du triangle. Donc le côté adjacent est toujours plus petit que l'hypoténuse (ou égal, ce qui ne se produit jamais pour un angle strictement entre 0° et 90°). Le rapport est donc strictement entre 0 et 1.

Cas extrêmes à ne jamais oublier :

• Quand l'angle tend vers 0°, le côté adjacent tend vers l'hypoténuse : $\cos (0\mathrm{°})=1$.
• Quand l'angle tend vers 90°, le côté adjacent tend vers 0 : $\cos (90\mathrm{°})=0$.

Pour aller plus loin. Pour certains angles « ronds », le cosinus a une valeur exacte qui s'écrit avec une racine carrée : $\cos (30\mathrm{°})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx \mathrm{0,866}\cos (45\mathrm{°})={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{0,707}\cos (60\mathrm{°})={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$ Tu n'as pas besoin de les connaître par cœur en 4ᵉ : en pratique, tu liras toujours le cosinus sur ta calculatrice. Ces valeurs exactes, et la raison pour laquelle elles font intervenir $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$, te seront utiles plus tard, en 3ᵉ puis au lycée.

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Leçon 2 — Calculer une longueur connaissant un angle

La définition du cosinus donne une égalité entre trois quantités : l'angle, le côté adjacent, l'hypoténuse. Si tu en connais deux, tu peux trouver la troisième. Cette leçon traite les deux cas où l'angle est connu et où l'une des deux longueurs est inconnue.

Cas 1 — Calculer le côté adjacent connaissant l'hypoténuse et l'angle

On part de $\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}}$, ce qui donne directement :

$\text{adj}=\text{hyp}\times \cos (\widehat{B})$

Exemple 1. Un triangle rectangle en A a $BC=8$ cm et $\widehat{B}=35\mathrm{°}$. Calcule $BA$.

Étape 1 — Identification. $\widehat{B}=35\mathrm{°}$, hypoténuse $BC=8$ cm, côté adjacent cherché $BA$.

Étape 2 — Application.

$BA=BC\times \cos (\widehat{B})=8\times \cos (35\mathrm{°})$

Étape 3 — Calcul à la calculatrice. $\cos (35\mathrm{°})\approx \mathrm{0,8192}$.

$BA\approx 8\times \mathrm{0,8192}\approx \mathrm{6,55}\text{ cm}$

Cas 2 — Calculer l'hypoténuse connaissant le côté adjacent et l'angle

On isole l'hypoténuse :

$\text{hyp}={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\cos (\widehat{B})}}$

Exemple 2. Une rampe d'accès fait un angle de $6\mathrm{°}$ avec le sol. La projection horizontale (côté adjacent) mesure $\mathrm{3,6}$ m. Calcule la longueur réelle de la rampe (hypoténuse).

Étape 1 — Identification. Angle $6\mathrm{°}$, adjacent $=\mathrm{3,6}$ m, hypoténuse = longueur réelle.

Étape 2 — Application.

$\text{hyp}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,6}}{\cos (6\mathrm{°})}}$

Étape 3 — Calcul. $\cos (6\mathrm{°})\approx \mathrm{0,9945}$.

$\text{hyp}\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{3,6}}{\mathrm{0,9945}}}\approx \mathrm{3,62}\text{ m}$

Le piège de Karim

Karim a trouvé que $\cos (35\mathrm{°})\approx \mathrm{0,82}$, et pour calculer l'hypoténuse connaissant le côté adjacent de 5 cm, il écrit : $\text{hyp}=5\times \mathrm{0,82}=\mathrm{4,1}$ cm. Il a tort : il a multiplié au lieu de diviser. La formule donne $\text{hyp}={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\cos }}$. L'hypoténuse est le plus grand côté — si tu trouves qu'elle est plus petite que le côté adjacent, c'est le signal que tu as fait une erreur de sens.

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Leçon 3 — Calculer un angle connaissant deux longueurs

La situation inverse : tu connais deux longueurs du triangle rectangle (le côté adjacent et l'hypoténuse), et tu veux trouver l'angle. La calculatrice dispose d'une touche ${\cos }^{-1}$, souvent notée $\arccos$ ou ${\text{cos}}^{-1}$, qui fait exactement ce travail.

Exemple 1. Dans un triangle rectangle en A, $BA=9$ cm et $BC=15$ cm. Calcule l'angle $\widehat{B}$ au degré près.

Étape 1 — On calcule le rapport.

$\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{BA}{BC}}={\displaystyle \frac{9}{15}}=\mathrm{0,6}$

Étape 2 — On applique ${\cos }^{-1}$.

$\widehat{B}={\cos }^{-1}(\mathrm{0,6})\approx 53\mathrm{°}$

Vérification rapide. $\cos (53\mathrm{°})\approx \mathrm{0,602}\approx \mathrm{0,6}$. Cohérent.

Exemple 2. Une échelle de $4$ m s'appuie contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à $\mathrm{1,5}$ m du mur. Quel est l'angle que fait l'échelle avec le sol ?

Identification. L'angle cherché est au sol, entre l'échelle (hypoténuse = 4 m) et le sol. Le côté adjacent est la distance au pied du mur = $\mathrm{1,5}$ m.

$\cos (\widehat{\text{sol}})={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{4}}=\mathrm{0,375}$

$\widehat{\text{sol}}={\cos }^{-1}(\mathrm{0,375})\approx 68\mathrm{°}$

Le piège de l'arrondi intermédiaire

Si tu arrondis $\cos (\widehat{B})=\mathrm{0,6}$ à $\mathrm{0,6}$ puis calcules ${\cos }^{-1}(\mathrm{0,6})$, tu obtiens $\mathrm{53,13}\mathrm{°}$, que tu arrondis à $53\mathrm{°}$. Tout va bien. Mais si tu arrondis $\mathrm{0,6001}$ à $\mathrm{0,6}$ avant d'appliquer ${\cos }^{-1}$, tu peux perdre une précision. Règle générale : n'arrondie qu'à la toute fin, garde les décimales intermédiaires dans ta calculatrice.

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Leçon 4 — Applications concrètes : rampes, toits, échelles

Le cosinus prend tout son sens quand on l'applique à des situations réelles. Cette leçon montre trois configurations types que tu rencontreras fréquemment : une rampe d'accès, un toit incliné, une échelle contre un mur.

Configuration 1 — Rampe d'accès

Une rampe fait un angle $\alpha$ avec le plan horizontal. La longueur réelle de la rampe est l'hypoténuse ; la projection horizontale (distance entre le début et la fin de la rampe, au sol) est le côté adjacent.

$\text{projection horizontale}=\text{longueur rampe}\times \cos (\alpha )$

$\text{longueur rampe}={\displaystyle \frac{\text{projection horizontale}}{\cos (\alpha )}}$

Exemple. Une rampe d'un bâtiment à Rabat fait un angle de 8° avec le sol et parcourt une longueur réelle de 4,5 m. Quelle est la projection horizontale ?

$\text{proj}=\mathrm{4,5}\times \cos (8\mathrm{°})\approx \mathrm{4,5}\times \mathrm{0,9903}\approx \mathrm{4,46}\text{ m}$

Configuration 2 — Toit incliné

La pente d'un toit est souvent donnée par son angle avec l'horizontale. La longueur du chevron (bois incliné du toit) est l'hypoténuse ; la demi-largeur de la maison est le côté adjacent.

$\text{demi-largeur}=\text{longueur chevron}\times \cos (\text{angle de pente})$

Exemple. Un toit de maison a une pente de 30°. La longueur de chaque chevron est de 3,5 m. Quelle est la largeur totale de la maison ?

$\text{demi-largeur}=\mathrm{3,5}\times \cos (30\mathrm{°})\approx \mathrm{3,5}\times \mathrm{0,866}\approx \mathrm{3,03}\text{ m}$

$\text{largeur totale}\approx 2\times \mathrm{3,03}=\mathrm{6,06}\text{ m}$

Configuration 3 — Échelle contre un mur

Une échelle de longueur $L$ fait un angle $\alpha$ avec le sol (l'angle est mesuré entre l'échelle et le sol). Le côté adjacent est la distance horizontale entre le pied de l'échelle et le mur.

$\text{distance au mur}=L\times \cos (\alpha )$

Pour trouver l'angle à partir des longueurs : $\alpha ={\cos }^{-1}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\text{distance au mur}}{L}}\right)$.

Combiner cosinus et Pythagore

Parfois, une figure fait appel aux deux outils. Si tu connais l'hypoténuse et l'angle, le cosinus te donne le côté adjacent ; Pythagore te donne ensuite le côté opposé.

Exemple. Triangle rectangle en A, $BC=10$ cm, $\widehat{B}=40\mathrm{°}$.

Côté adjacent : $BA=10\times \cos (40\mathrm{°})\approx 10\times \mathrm{0,766}=\mathrm{7,66}$ cm.

Côté opposé (Pythagore) : $A{C}^2=B{C}^2-B{A}^2=100-\mathrm{58,68}\approx \mathrm{41,32}$, donc $AC\approx \mathrm{6,43}$ cm.

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Pièges classiques

1. Confondre côté adjacent et côté opposé. Le côté adjacent est celui qui forme l'angle aigu choisi (avec l'hypoténuse). Le côté opposé est en face de cet angle, sans le toucher. Si tu inverses les deux, ton rapport est celui du sinus, pas du cosinus — et tu obtiens un résultat entièrement faux. Vérifie toujours en désignant explicitement l'angle, puis en parcourant les deux côtés qui partent de ce sommet.

2. Changer d'angle en cours de calcul. Tu commences en nommant l'angle $\widehat{B}$, tu identifies le côté adjacent à $\widehat{B}$, puis tu utilises par inadvertance le cosinus de $\widehat{C}$. Le triangle a deux angles aigus et deux côtés de l'angle droit — chaque fois que tu passes d'un angle à l'autre, adjacent et opposé s'échangent.

3. Multiplier au lieu de diviser pour trouver l'hypoténuse. $\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}}$ donne $\text{hyp}={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\cos (\widehat{B})}}$. Ce n'est pas $\text{hyp}=\text{adj}\times \cos$. L'hypoténuse est la plus grande longueur ; si ton résultat est plus petit que le côté adjacent, tu as multiplié au lieu de diviser.

4. Calculatrice en mode radians. Si ta calculatrice affiche « rad » ou « r » dans le coin supérieur, elle calcule en radians. $\cos (35)$ en radians ne vaut pas $\cos (35\mathrm{°})$. Remets-la en mode degrés avant tout calcul de trigonométrie au collège.

5. Appliquer le cosinus à un triangle non rectangle. La formule $\cos ={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}}$ est valide seulement dans un triangle rectangle. Dans un triangle quelconque, il n'y a ni hypoténuse ni côté adjacent au sens défini ici. Si le problème ne mentionne pas d'angle droit, cherche d'abord à savoir si le triangle est rectangle.

6. Confondre ${\cos }^{-1}$ et ${\displaystyle \frac{1}{\cos }}$. ${\cos }^{-1}(\mathrm{0,6})$ est la touche arccos qui donne l'angle dont le cosinus vaut 0,6 — ce n'est pas ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,6}}}$. ${\displaystyle \frac{1}{\cos (\widehat{B})}}$ est l'inverse du cosinus (noté parfois $\sec$), une quantité sans rapport direct avec la recherche d'angle. La notation ${\cos }^{-1}$ est le seul sens qui t'intéresse ici.

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Application concrète — La rampe du musée de Casablanca

Yasmine visite le musée Mohammed VI d'art moderne à Casablanca. À l'entrée, une rampe d'accès pour personnes à mobilité réduite longe la façade. Une affiche indique que la rampe respecte la norme marocaine : angle d'inclinaison inférieur ou égal à 6°. Yasmine veut vérifier par elle-même et calculer la longueur réelle de la rampe.

Elle mesure avec un décamètre que la projection horizontale (la distance au sol entre le bas et le haut de la rampe) est de 5,8 m. Elle mesure aussi le dénivelé vertical (la hauteur gagnée) : 0,55 m.

Étape 1 — Identifier le triangle rectangle. La rampe, le sol (horizontal) et le mur vertical forment un triangle rectangle. La longueur réelle de la rampe est l'hypoténuse ; la projection horizontale de 5,8 m est le côté adjacent à l'angle au sol ; le dénivelé de 0,55 m est le côté opposé à cet angle.

Étape 2 — Calculer l'angle d'inclinaison. On connaît le côté adjacent (5,8 m) et on veut vérifier l'angle. Mais on ne connaît pas encore l'hypoténuse. Yasmine utilise d'abord Pythagore pour trouver la longueur réelle de la rampe :

${\text{hyp}}^2={\mathrm{5,8}}^2+{\mathrm{0,55}}^2=\mathrm{33,64}+\mathrm{0,3025}=\mathrm{33,9425}$

$\text{hyp}=\sqrt{\mathrm{33,9425}}\approx \mathrm{5,826}\text{ m}$

Étape 3 — Calculer l'angle avec le cosinus.

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{5,8}}{\mathrm{5,826}}}\approx \mathrm{0,9955}$

$\alpha ={\cos }^{-1}(\mathrm{0,9955})\approx \mathrm{5,4}\mathrm{°}$

Étape 4 — Vérifier la conformité. L'angle mesuré est d'environ 5,4°, ce qui est bien inférieur à 6°. La rampe est conforme à la norme.

Étape 5 — Comprendre le lien entre les deux outils. Yasmine note dans son carnet : « Pour trouver l'angle, j'avais besoin de l'hypoténuse (Pythagore), puis du rapport adj/hyp (cosinus). Les deux outils sont inséparables dès que le problème mêle angles et longueurs. »

Conclusion. Le cosinus est l'outil qui fait le pont entre angles et longueurs dans un triangle rectangle. Ici, il a permis de vérifier une norme de sécurité — ce que ni la règle ni le rapporteur ne peuvent faire avec la précision d'un calcul.

En terminale, tu rencontreras les fonctions cosinus et sinus sur tout $\mathbb{R}$ — mais leur définition dans le triangle rectangle que tu maîtrises maintenant est exactement le point de départ de tout ce qui suit.

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À retenir