Le cosinus d'un angle aigu — exercices corrigés

Soit ABC un triangle rectangle en A. On considère l'angle aigu $\widehat{B}$.

Quel est le côté adjacent à $\widehat{B}$ ?

Soit MNP un triangle rectangle en N. Lequel de ces côtés est l'hypoténuse ?

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$, la formule du cosinus est :

$\cos (\widehat{A})=\text{ ?}$

On affirme : « Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (exclu). » Est-ce vrai ?

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec $BA=6$ cm et $BC=10$ cm.

Calcule $\cos (\widehat{B})$.

Quelle est la valeur exacte de $\cos (60\mathrm{°})$ ?

Soit ABC un triangle rectangle en A. Salma affirme : « Le côté adjacent à $\widehat{B}$ et le côté adjacent à $\widehat{C}$ sont le même côté. » Est-ce vrai ?

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec $CA=8$ cm et $BC=10$ cm.

Calcule $\cos (\widehat{C})$.

Dans un triangle rectangle, on connaît l'hypoténuse $h$ et un angle aigu $\widehat{B}$. Quelle formule permet de calculer le côté adjacent à $\widehat{B}$ ?

Karim calcule le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle et trouve $\cos (\widehat{B})=\mathrm{1,2}$. Il affirme que ce résultat est possible. A-t-il raison ?

Soit ABC un triangle rectangle en A. On considère l'angle aigu $\widehat{B}$.

Quel est le côté opposé à $\widehat{B}$ ?

Soit ABC un triangle rectangle en A. On considère cette fois l'angle aigu $\widehat{C}$.

Quel est le côté adjacent à $\widehat{C}$ ?

Parmi ces valeurs remarquables, laquelle est égale à $\cos (45\mathrm{°})$ ?

Dans un triangle rectangle, tu connais le côté adjacent à un angle aigu $\widehat{B}$ et la mesure de $\widehat{B}$. Quelle formule donne l'hypoténuse ?

Dans un triangle rectangle, tu as calculé $\cos (\widehat{B})=\mathrm{0,5}$. Quelle écriture donne la mesure de l'angle $\widehat{B}$ ?

On affirme : « Quand un angle aigu se rapproche de 90°, son cosinus se rapproche de 0. » Est-ce vrai ?

Amine écrit : « Dans un triangle dont les côtés sont en centimètres, $\cos (\widehat{B})$ s'exprime en centimètres. » Est-ce vrai ?

Salma affirme : « La formule $\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}}$ marche dans n'importe quel triangle, rectangle ou non. » Est-ce vrai ?

Soit IJK un triangle rectangle en I, avec $IJ=8$ cm et $JK=10$ cm.

Calcule $\cos (\widehat{J})$. Donne la valeur exacte sous forme décimale.

Soit MNP un triangle rectangle en M. On considère l'angle aigu $\widehat{P}$.

Quel côté est l'hypoténuse pour cet angle ?

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec $BC=10$ cm et $\widehat{B}=40\mathrm{°}$.

Calcule la longueur $BA$ au dixième de centimètre près.

Soit DEF un triangle rectangle en D, avec $DE=8$ cm et $\widehat{E}=24\mathrm{°}$.

Calcule la longueur de l'hypoténuse $EF$ au centième de centimètre près.

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec $BA=9$ cm et $BC=15$ cm.

Calcule l'angle $\widehat{B}$ au degré près.

Dans un triangle rectangle en A, $\widehat{B}=35\mathrm{°}$ et $BA=5$ cm. Karim veut calculer l'hypoténuse $BC$ et écrit :

$BC=BA\times \cos (35\mathrm{°})\approx 5\times \mathrm{0,819}\approx \mathrm{4,10}\text{ cm}$

Sa démarche est-elle correcte ?

Soit MNP un triangle rectangle en M, avec $MN=4$ cm et $NP=5$ cm.

Calcule l'angle $\widehat{N}$ au centième de degré près.

Dans un triangle rectangle, on augmente progressivement un angle aigu en le faisant tendre vers 90°. Que se passe-t-il avec son cosinus ?

Soit RST un triangle rectangle en S, avec $RT=20$ cm et $\widehat{R}=55\mathrm{°}$.

Calcule la longueur $RS$ au centième de centimètre près.

Yasmine affirme : « Dans un triangle rectangle en A avec hypoténuse $BC=13$ cm et $\widehat{B}=67\mathrm{°}$, on peut calculer $BA$ avec le cosinus ou avec Pythagore, mais pour utiliser Pythagore, il faudrait d'abord connaître un autre côté. » A-t-elle raison ?

Amine entre $\cos (45)$ sur sa calculatrice et obtient $\mathrm{0,526}$. Il s'étonne car il sait que $\cos (45\mathrm{°})\approx \mathrm{0,707}$. Quelle est la cause la plus probable de cette erreur ?

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec $BA=6$ cm et $\widehat{B}=20\mathrm{°}$.

Calcule la longueur de l'hypoténuse $BC$ au centième de centimètre près.

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec $BC=6$ cm et $\widehat{B}=50\mathrm{°}$.

Calcule la longueur $BA$ au centième de centimètre près. On donne $\cos (50\mathrm{°})\approx \mathrm{0,6428}$.

Soit MNP un triangle rectangle en M, avec $\widehat{N}=32\mathrm{°}$ et le côté adjacent $MN=9$ cm.

Calcule la longueur de l'hypoténuse $NP$ au dixième de centimètre près. On donne $\cos (32\mathrm{°})\approx \mathrm{0,848}$.

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec le côté adjacent $AB=7$ cm et l'hypoténuse $BC=12$ cm.

Calcule la mesure de l'angle $\widehat{B}$ au degré près. On donne ${\cos }^{-1}(\mathrm{0,5833})\approx 54\mathrm{°}$.

Dans un triangle rectangle en A, on a $AB=4$ cm, $BC=5$ cm. Yasmine calcule le cosinus de $\widehat{B}$, puis celui de $\widehat{C}$. Lequel est le plus grand ?

Pour trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont elle connaît le côté adjacent $\text{adj}=5$ cm et l'angle $40\mathrm{°}$, Yasmine écrit : $\text{hyp}=5\times \cos (40\mathrm{°})\approx \mathrm{3,83}$ cm. Son calcul est-il correct ?

À Tanger, Amine pose une échelle contre un mur. Il connaît l'angle de l'échelle avec le sol ($65\mathrm{°}$) et la distance entre le pied de l'échelle et le mur ($\mathrm{1,2}$ m). Il veut calculer la longueur de l'échelle. Quelle opération doit-il faire ?

Soit DEF un triangle rectangle en D, avec l'hypoténuse $EF=15$ cm et $\widehat{E}=38\mathrm{°}$.

Calcule la longueur du côté adjacent $DE$ au dixième de centimètre près. On donne $\cos (38\mathrm{°})\approx \mathrm{0,788}$.

Karim a trouvé un angle $\widehat{B}\approx 54\mathrm{°}$ à partir de $\cos (\widehat{B})=\mathrm{0,58}$. Pour vérifier, il affirme : « $\cos (54\mathrm{°})$ doit valoir environ $\mathrm{0,59}$, donc mon résultat est cohérent. » A-t-il raison de vérifier ainsi ?

Salma tape $\cos (60)$ sur sa calculatrice et lit $-\mathrm{0,9524}$. Elle sait que $\cos (60\mathrm{°})$ devrait valoir $\mathrm{0,5}$. Quelle est l'explication la plus probable ?

Soit GHK un triangle rectangle en G, avec le côté adjacent $GH=5$ cm et l'hypoténuse $HK=13$ cm.

Calcule la mesure de l'angle $\widehat{H}$ au degré près. On donne ${\cos }^{-1}(\mathrm{0,3846})\approx 67\mathrm{°}$.

Dans un triangle rectangle en A, $\widehat{B}=50\mathrm{°}$, l'hypoténuse $BC=12$ cm et le côté opposé $AC=\mathrm{9,2}$ cm. Karim veut calculer $\cos (\widehat{B})$ et écrit : $\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,2}}{12}}$. A-t-il raison ?

Dans un triangle rectangle en A, $BA=4$ cm, $AC=3$ cm et $BC=5$ cm. Salma cherche $\cos (\widehat{B})$ ; elle commence bien, puis écrit $\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{CA}{CB}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Où est son erreur ?

À Agadir, Yasmine aide son oncle à installer une rampe d'accès devant l'entrée de sa boutique. La rampe doit franchir un dénivelé de 42 cm et faire un angle de 8° avec le sol (norme en vigueur).

1. En modélisant la rampe par l'hypoténuse d'un triangle rectangle (le sol est le côté adjacent, le dénivelé est le côté opposé), calcule la longueur réelle de la rampe au centimètre près.

   Indication : Pour cette question, utilise Pythagore avec le dénivelé, ou note que $\cos (8\mathrm{°})={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}}$. Tu peux aussi utiliser la relation $\sin (8\mathrm{°})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,42}}{\text{hyp}}}$... mais dans ce chapitre on n'a pas encore vu le sinus. Voici une autre approche : la projection horizontale (côté adjacent) peut d'abord être estimée avec la tangente ou retrouvée par Pythagore, sachant que $\tan (8\mathrm{°})\approx \mathrm{0,1405}$, donc $\text{adj}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,42}}{\mathrm{0,1405}}}\approx \mathrm{2,99}$ m. Ensuite l'hypoténuse par Pythagore ou par la formule $\text{hyp}={\displaystyle \frac{\text{adj}}{\cos (8\mathrm{°})}}$.

   Méthode recommandée dans ce chapitre : calcule d'abord la projection horizontale grâce à $\tan (8\mathrm{°})$, puis l'hypoténuse avec le cosinus. Ou bien utilise directement Pythagore : $\text{hyp}=\sqrt{{\mathrm{0,42}}^2+{\text{adj}}^2}$.

   Approche simplifiée admise : Avec $\text{adj}\approx \mathrm{2,99}$ m et $\cos (8\mathrm{°})\approx \mathrm{0,9903}$ : $\text{hyp}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,99}}{\mathrm{0,9903}}}\approx \mathrm{3,02}$ m.

2. La norme précise que la longueur maximale d'une rampe sans palier de repos est de 8 m. La rampe de Yasmine respecte-t-elle cette limite ?

Amine, électricien à Fès, pose une échelle de 4 m contre un mur vertical. Pour des raisons de sécurité, l'échelle doit faire un angle d'au moins 65° avec le sol. Il règle l'angle à exactement 67°.

Calcule la distance entre le pied de l'échelle et le mur, au centième de mètre près.

Une maison à Rabat a un toit à deux pentes symétriques. Chaque chevron (planche inclinée du toit) mesure 3,5 m et fait un angle de 30° avec l'horizontale.

Calcule la largeur totale de la maison, au centième de mètre près.

Salma mesure un chevron de toit : il fait 4 m de long et sa projection horizontale est de 3,2 m. Elle veut trouver l'angle d'inclinaison du toit.

Elle écrit : « $\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{4}{\mathrm{3,2}}}=\mathrm{1,25}$, donc $\alpha ={\cos }^{-1}(\mathrm{1,25})\approx 38\mathrm{°}$. »

Quelle est l'erreur dans la démarche de Salma ?

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec $BC=10$ cm et $\widehat{B}=40\mathrm{°}$.

1. Calcule $BA$ au centième de centimètre près.
2. En utilisant Pythagore, calcule ensuite $AC$ au centième de centimètre près.

La réponse attendue est la valeur de $AC$.

Une rampe d'accès a une longueur réelle de 5 m et une projection horizontale de 4,98 m. Un ingénieur vérifie que l'angle d'inclinaison est inférieur à 6°.

Parmi ces propositions, laquelle correspond au bon raisonnement ?

Dans un triangle rectangle en A, Karim affirme : « $\cos (\widehat{B})=\cos (\widehat{C})$ si et seulement si le triangle est isocèle rectangle (c'est-à-dire $\widehat{B}=\widehat{C}=45\mathrm{°}$). » A-t-il raison ?

Yasmine veut accéder à une fenêtre située à 3,5 m de hauteur sur la façade de sa maison à Meknès. Elle dispose d'une échelle de 4 m.

1. Si elle pose l'échelle de façon que son sommet touche exactement la fenêtre à 3,5 m de haut, quel est l'angle que fait l'échelle avec le sol ? Donne la réponse au degré près.

2. À quelle distance du mur le pied de l'échelle se trouve-t-il, au centième de mètre près ?

3. Karim lui dit : « Avec une échelle de 4 m, il est impossible d'atteindre une fenêtre à 3,5 m. » A-t-il raison ? Justifie.

Une route de montagne entre Ifrane et Azrou parcourt une distance réelle (en suivant la pente) de 12 km. Sa projection horizontale sur la carte est de 11,97 km.

Calcule l'angle moyen d'inclinaison de cette route avec l'horizontale, au centième de degré près.

Salma installe un panneau solaire sur le toit plat de sa maison à Marrakech. Le panneau, d'une longueur de 1,6 m, est incliné à 30° par rapport au toit horizontal. Un support vertical maintient l'arrière du panneau.

1. Calcule la longueur de la projection horizontale du panneau (c'est-à-dire la distance au sol entre le pied et la tête du panneau, mesurée à l'horizontale), au centième de mètre près.

2. Calcule la hauteur du support vertical, au centième de mètre près.

3. Karim regarde le dessin et dit : « La projection horizontale est plus longue que le panneau, car le panneau est incliné et on "l'étire" vers le bas. » Explique pourquoi Karim se trompe.

À Meknès, Amine fait construire un abri à toit à deux pans pour sa terrasse. Chaque chevron (la poutre inclinée du toit) mesure $\mathrm{4,2}$ m, et la pente fait un angle de $25\mathrm{°}$ avec l'horizontale. Le toit est symétrique : les deux chevrons se rejoignent au sommet (le faîtage), au-dessus du milieu de l'abri.

On donne $\cos (25\mathrm{°})\approx \mathrm{0,9063}$.

1. Calcule la demi-largeur de l'abri (la projection horizontale d'un chevron) au centième de mètre près.
2. Déduis-en la largeur totale de l'abri.
3. Calcule la hauteur du faîtage au-dessus du niveau des murs, au centième de mètre près.

Soit ABC un triangle rectangle en A, avec l'hypoténuse $BC=14$ cm et $\widehat{B}=36\mathrm{°}$.

Calcule la longueur du côté opposé $AC$ au dixième de centimètre près. On donne $\cos (36\mathrm{°})\approx \mathrm{0,809}$.

Karim compare deux triangles rectangles. Le premier a un angle aigu de $30\mathrm{°}$ ; le second, plus grand mais de même forme, a aussi un angle aigu de $30\mathrm{°}$. Karim affirme : « Comme le second triangle est plus grand, le cosinus de son angle de $30\mathrm{°}$ est plus grand. » Que penser de ce raisonnement ?

À Casablanca, un peintre appuie une échelle de $20$ dm contre un mur vertical. L'échelle fait un angle de $28\mathrm{°}$ avec le sol. Le pied de l'échelle se trouve à une certaine distance du mur.

Calcule cette distance entre le pied de l'échelle et le mur, au dixième de décimètre près. On donne $\cos (28\mathrm{°})\approx \mathrm{0,8829}$.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont complémentaires ($\widehat{B}+\widehat{C}=90\mathrm{°}$). Salma en déduit : « Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est le côté opposé à $\widehat{C}$. » A-t-elle raison ?

Dans un triangle rectangle, on connaît les longueurs des trois côtés et l'on cherche la mesure d'un angle aigu. Quel est l'outil le plus direct ?

Sur la route de montagne entre Marrakech et Ouarzazate, une portion droite mesure $250$ m de long (mesurée le long de la route). Sa projection horizontale, lue sur une carte, est de $240$ m.

Calcule l'angle de pente de cette portion, au degré près. On donne ${\cos }^{-1}(\mathrm{0,96})\approx 16\mathrm{°}$.

Yasmine affirme : « Pour tout angle aigu non nul, la projection horizontale d'un segment incliné est strictement plus courte que le segment lui-même. » Est-ce vrai ?

À Rabat, une rampe d'accès a une longueur réelle de $\mathrm{7,2}$ m et une projection horizontale (côté adjacent) de $\mathrm{7,15}$ m. La norme impose un angle d'inclinaison inférieur ou égal à $6\mathrm{°}$.

On donne ${\cos }^{-1}(\mathrm{0,9931})\approx \mathrm{6,8}\mathrm{°}$ et $\cos (6\mathrm{°})\approx \mathrm{0,9945}$. La rampe est-elle conforme ?

Dans la médina de Fès, Yasmine conçoit un escalier droit pour relier deux niveaux d'une maison. Le limon (la poutre inclinée qui porte les marches) mesure $\mathrm{3,6}$ m et fait un angle de $42\mathrm{°}$ avec le sol horizontal.

On donne $\cos (42\mathrm{°})\approx \mathrm{0,7431}$.

1. Calcule la longueur au sol occupée par l'escalier (la projection horizontale du limon), au centième de mètre près.
2. Calcule la hauteur franchie par l'escalier (du sol du bas au sol du haut), au centième de mètre près.
3. Karim regarde le projet et dit : « Avec un angle plus grand, par exemple $55\mathrm{°}$, l'escalier prendrait moins de place au sol. » A-t-il raison ?