62 exercices pour t'entraîner sur Les cas d'égalité des triangles en 4ᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
Deux triangles sont égaux (superposables) si et seulement si :
B
Deux triangles égaux (ou superposables) se superposent exactement : tous leurs côtés homologues ont la même longueur et tous leurs angles homologues ont la même mesure — soit six égalités en tout. Avoir la même aire (A) ou le même périmètre (C) ne suffit pas : on peut construire des triangles très différents ayant même aire ou même périmètre. Un seul côté commun (D) ne dit évidemment rien sur le reste.
On sait que . Quel est le côté homologue de ?
B
Dans l'égalité , les lettres se correspondent dans l'ordre : , , . Le côté relie les sommets et , qui correspondent respectivement à et ; son homologue est donc . Si tu as répondu A ou D (), tu as lu la correspondance à tort. Si tu as répondu C (), tu as confondu .
On affirme : « Sur une figure de géométrie, deux côtés portant le même nombre de tirets ont la même longueur. »
A
C'est la convention de codage universelle en géométrie : un tiret simple marque les côtés d'une première longueur commune, deux tirets marquent une deuxième longueur commune, trois tirets une troisième. Ce codage permet de repérer en un coup d'œil les égalités de côtés sans avoir à relire l'énoncé. De même, de petits arcs codent les angles égaux.
Dans les triangles et on sait que , et . Quel cas d'égalité permet de conclure que ?
C
Trois paires de côtés homologues égaux : c'est exactement le premier cas d'égalité, abrégé CCC (Côté-Côté-Côté). Il n'est pas nécessaire de connaître les angles : le premier cas garantit que, si trois côtés sont deux à deux égaux, les deux triangles sont forcément superposables. La réponse D est fausse : avec trois côtés fixés, la forme d'un triangle est entièrement déterminée.
Dans les triangles et on sait que , et . Quel cas d'égalité s'applique ?
C
L'angle est l'angle au sommet : c'est le point commun aux côtés et . L'angle est donc bien compris entre les deux côtés donnés. De même, est l'angle compris entre et . On a deux côtés égaux et l'angle compris entre eux égal : c'est le deuxième cas, CAC. La réponse D est fausse : deux côtés et l'angle compris entre eux suffisent à déterminer entièrement le triangle.
Dans les triangles et on sait que , et . Quel cas d'égalité s'applique ?
C
Le côté a pour extrémités et , sommets qui portent respectivement les angles et . Le côté est donc compris entre les deux angles donnés. De même pour entre et . On a bien deux angles égaux et le côté compris entre eux égal : c'est le troisième cas, ACA. Réponse D fausse : la somme des angles d'un triangle vaut toujours , donc connaître deux angles détermine le troisième — il n'y a pas de manque.
Dans le triangle , l'angle est « compris entre » les côtés et parce que le sommet est le point commun à ces deux côtés.
A
Un angle est dit compris entre deux côtés lorsque son sommet est exactement le point d'intersection de ces deux côtés. Ici, a son sommet en , qui est l'extrémité commune à et à : la condition est bien vérifiée. C'est la notion centrale du deuxième cas d'égalité (CAC) : l'angle utilisé doit être précisément celui dont le sommet réunit les deux côtés.
On sait que . Quel angle est homologue de ?
C
Dans l'égalité , les correspondances sont , , . L'angle est l'angle au sommet , qui correspond à . L'angle homologue est donc l'angle au sommet dans le triangle , noté . Si tu as répondu B (), tu as pris le sommet (homologue de , pas de ). Si tu as répondu A ou D, tu as mélangé les correspondances.
Dans le triangle , le côté est « compris entre » les angles et parce que ses extrémités et sont les sommets de ces deux angles.
A
Un côté est dit compris entre deux angles lorsque ses deux extrémités sont précisément les sommets de ces angles. Ici, a pour extrémités (sommet de ) et (sommet de ) : la condition est vérifiée. C'est la notion centrale du troisième cas d'égalité (ACA). Si le côté avait une extrémité qui n'est pas un sommet de l'un des angles, il ne serait pas « compris entre » eux.
Parmi les abréviations suivantes, laquelle ne correspond pas à un cas d'égalité des triangles ?
D
Les trois cas d'égalité des triangles sont CCC (trois côtés), CAC (deux côtés et l'angle compris) et ACA (deux angles et le côté compris). L'abréviation AAA — trois angles égaux deux à deux — ne garantit pas l'égalité des triangles, seulement leur similitude (même forme, mais pas forcément même taille). On peut avoir deux triangles avec les mêmes angles et des côtés de longueurs différentes : ils seront semblables mais pas superposables.
On sait que . Dans le triangle , cm. Quelle est la longueur de (en cm) ?
5 cm
Dans l'égalité , l'ordre des lettres fixe les correspondances : , , . Le côté , d'extrémités et , a donc pour homologue le côté , d'extrémités et . Les éléments homologues de deux triangles égaux ont la même mesure, donc cm. Aucun calcul n'est nécessaire : il suffit de lire correctement la correspondance des lettres.
Dans les triangles et , on sait que , et . Quel cas d'égalité permet de conclure que ?
B
On a deux côtés homologues égaux, et , et l'angle dont le sommet est précisément le point commun à ces deux côtés : l'angle est donc bien compris entre eux. C'est le deuxième cas d'égalité, abrégé CAC (Côté-Angle-Côté). Si tu as répondu A, tu as cru qu'il fallait trois côtés ; ici on n'a que deux côtés, mais l'angle compris entre eux complète parfaitement le cas CAC.
Dans le triangle , quel côté est « compris entre » les angles et ?
C
Un côté est dit compris entre deux angles lorsque ses deux extrémités sont précisément les sommets de ces deux angles. L'angle a son sommet en , l'angle a son sommet en . Le côté dont les extrémités sont et est donc . C'est cette notion qui intervient dans le troisième cas d'égalité (ACA). Si tu as répondu A, tu as choisi un côté qui ne touche qu'un seul des deux sommets concernés.
On sait que . Dans le triangle , . Quelle est la mesure de (en degrés) ?
65°
Dans l'égalité , les correspondances sont , , . L'angle a son sommet en , qui correspond au sommet . Son homologue est donc . Les angles homologues de deux triangles égaux ont la même mesure, donc . Il suffit de lire la correspondance des lettres : aucune addition d'angles n'est requise ici.
Deux triangles et partagent le segment . On peut écrire comme l'une des trois égalités de côtés, car un segment est toujours égal à lui-même.
A
Lorsque deux triangles ont un côté en commun — ici appartient à la fois à et à — ce côté fournit une égalité gratuite : . Un segment est rigoureusement égal à lui-même, donc cette égalité est toujours valable et compte comme l'une des trois données nécessaires à un cas d'égalité. C'est une astuce très fréquente dans les démonstrations sur les quadrilatères, où une diagonale sert de côté commun aux deux triangles qu'elle délimite.
On sait que . Quel côté est homologue de ?
C
Dans l'égalité , les correspondances sont , , . Le côté a pour extrémités et , qui correspondent respectivement à et . Son homologue est donc . Si tu as répondu A (), tu as pris l'homologue de et non de . L'ordre des lettres est la seule clé pour identifier les côtés correspondants.
L'abréviation CAC désigne le cas d'égalité où deux côtés sont égaux et où l'angle compris entre ces deux côtés est égal.
A
L'abréviation CAC se lit Côté-Angle-Côté : elle décrit exactement le deuxième cas d'égalité, où l'on connaît deux côtés homologues égaux et l'angle compris entre eux. L'ordre des lettres dans l'abréviation reflète la disposition : un angle encadré par deux côtés. À ne pas confondre avec ACA (Angle-Côté-Angle), le troisième cas, où c'est un côté qui est encadré par deux angles.
Combien d'égalités (de côtés ou d'angles) faut-il réunir pour appliquer l'un des trois cas d'égalité des triangles ?
C
Chacun des trois cas d'égalité repose sur exactement trois données bien choisies : CCC (trois côtés), CAC (deux côtés et l'angle compris), ACA (deux angles et le côté compris). C'est tout l'intérêt de ces cas : au lieu de vérifier les six éléments d'un triangle (D), trois suffisent. Avec deux données seulement (B), on ne peut conclure à aucune égalité. Si tu as répondu D, tu as oublié que les cas d'égalité servent justement à éviter ce travail fastidieux.
On sait que . Quel angle est homologue de ?
B
Dans l'égalité , les correspondances sont , , . L'angle a son sommet au point central de la notation, c'est-à-dire , qui correspond à . Son homologue est donc l'angle de sommet , noté (ou , mais ici on respecte l'ordre des homologues : , , ). La réponse est . Si tu as répondu A, tu as confondu l'angle de sommet avec celui de sommet .
Pour faire coïncider deux triangles égaux, on a le droit de les déplacer par translation, par rotation et par retournement (symétrie).
A
Deux triangles sont égaux (superposables) si l'on peut faire coïncider l'un avec l'autre en le déplaçant. Ce déplacement autorise les trois mouvements : la translation (glissement), la rotation (pivotement) et le retournement (symétrie, comme retourner une crêpe). C'est pourquoi un triangle et son image dans un miroir restent égaux : leurs côtés et leurs angles homologues sont identiques, même si leur orientation paraît inversée sur la figure.
Dans les triangles et , on connaît : , et .
Karim affirme qu'on peut appliquer le deuxième cas d'égalité (CAC). A-t-il raison ?
On sait que . Dans le triangle , cm. Quelle est la longueur de ?
On sait que . Dans le triangle , . Quelle est la mesure de (en degrés) ?
Sur une figure, le triangle et le triangle sont représentés. On observe :
Quel cas d'égalité permet de conclure que ?
Yasmine affirme : « Si deux triangles ont leurs trois angles deux à deux égaux, alors ils sont égaux (superposables). »
A-t-elle raison ?
est un parallélogramme. La diagonale partage le parallélogramme en deux triangles et .
Dans les triangles et , on sait : , . Quel troisième élément permet d'appliquer le premier cas (CCC) ?
Salma a prouvé que les triangles et ont : , (commun), . Elle conclut : « . »
Est-ce que la conclusion est correctement écrite ?
Dans les triangles et , on connaît : , et .
Quel cas d'égalité s'applique ?
Amine étudie un triangle isocèle avec . La hauteur issue de touche en son milieu . On a prouvé que (premier cas, CCC : , , commun).
Dans le triangle , . Quelle est la mesure de (en degrés) ?
Karim affirme : « Si deux triangles ont deux côtés homologues égaux et un angle égal (mais cet angle n'est pas compris entre les deux côtés), on peut tout de même conclure qu'ils sont égaux. »
A-t-il raison ?
Dans un quadrilatère , on trace la diagonale . On sait que et . On veut démontrer que .
Quelle troisième égalité, déjà disponible sans aucune mesure, complète le premier cas (CCC) ?
Yasmine code deux triangles et : elle marque , puis place un arc identique sur l'angle et sur l'angle , et un autre arc identique sur et . Quel cas d'égalité peut-elle invoquer ?
Dans un triangle isocèle avec , on trace la médiatrice de qui passe par et coupe en . On a démontré que . On sait que l'angle au sommet mesure , et que la droite le partage en deux angles égaux et . Combien mesure (en degrés) l'angle ?
Deux segments et se coupent en leur milieu commun (donc et ). On veut démontrer que . Quelle troisième donnée, vraie sans mesure, complète un cas CAC ?
Dans deux triangles et , on connaît , et . Karim affirme : « C'est le deuxième cas, CAC, donc les triangles sont égaux. » Karim a raison.
Sur un vitrail circulaire d'un riad de Marrakech, est le centre et , , , sont quatre points du cercle, donc (rayons). On sait que , ce qui permet de démontrer que (cas CAC). La corde mesure cm. Quelle est la longueur (en cm) de la corde ?
On a démontré que . Amine veut écrire une égalité de longueurs correcte. Laquelle des déductions suivantes est fausse ?
Dans deux triangles et , on connaît , et . On peut conclure que les triangles sont égaux par le troisième cas (ACA).
Soit un triangle équilatéral (les trois côtés sont égaux). En comparant le triangle avec le triangle (mêmes points, lus dans un ordre décalé), on peut démontrer que ses trois angles sont égaux. Comme la somme des angles d'un triangle vaut , combien mesure (en degrés) chacun des angles de ?
Dans deux triangles et , on connaît déjà et . Quelle donnée supplémentaire permettrait de conclure à l'égalité par le deuxième cas (CAC) ?
Dans les triangles et , Yasmine a listé , , , puis elle écrit : « Donc . » Sa démonstration est complète.
Dans les triangles et , Amine sait seulement que cm et cm. Il conclut : « Deux côtés égaux, ça suffit : . » A-t-il raison ?
est un losange (quatre côtés de même longueur). Les diagonales et se coupent en un point .
Démontre que les triangles et sont égaux, puis conclus sur la nature de l'angle .
Dans les triangles et , on sait : cm, cm et .
Karim écrit : « , et : j'ai deux côtés et un angle, donc j'applique le cas CAC. On conclut . »
Identifie l'erreur de Karim et explique quel cas peut ou ne peut pas s'appliquer ici.
Dans les triangles et , on connaît uniquement : et .
Que peut-on conclure ?
Yasmine trace un triangle isocèle avec . Elle note que (angles à la base d'un triangle isocèle). Elle trace ensuite la bissectrice de l'angle , qui coupe en un point .
Par définition de la bissectrice, .
Démontre que en utilisant le cas ACA, puis déduis que est le milieu de .
Salma dit : « Deux triangles égaux doivent forcément être orientés de la même façon sur la figure — on ne peut pas retourner l'un pour le faire coïncider avec l'autre. »
A-t-elle raison ?
Dans un quadrilatère , on a tracé la diagonale . On sait que , et (commun).
On conclut . Quelle longueur peut-on en déduire directement ?
Dans le quadrilatère , la diagonale est tracée. On sait que cm, cm et (commun). On en déduit que (premier cas, CCC).
Amine veut connaître la longueur . En appliquant l'égalité , quelle est la longueur de ?
Amine étudie une mosaïque géométrique. Dans sa figure, est le centre d'un cercle. Les points et sont sur le cercle, ainsi que les points et , avec (rayons égaux). On sait de plus que .
Démontre que , puis déduis que .
On a prouvé que (cas ACA), avec la correspondance , , .
Salma veut déduire que . A-t-elle raison ?
Karim dit : « Sur ma figure, les deux triangles semblent identiques et le codage montre bien les égalités. Je n'ai pas besoin d'écrire la démonstration en trois étapes : la figure parle d'elle-même. »
A-t-il raison ?
Yasmine dessine un cerf-volant pour la plage d'Essaouira. Sur son patron, est un quadrilatère tel que et ; la diagonale relie les deux sommets « pointus ».
Démontre que , puis déduis-en que la diagonale est la bissectrice de l'angle .
Deux segments et se coupent en un point . On sait que , que cm, et que les angles et sont opposés par le sommet donc égaux. On a démontré que (cas CAC). En utilisant cette égalité, quelle est la longueur (en cm) du segment , homologue de ?
Dans un quadrilatère , on trace la diagonale . On a établi les données , et (commun), puis appliqué le premier cas (CCC). Quelle est l'écriture correcte de l'égalité des triangles, avec le bon ordre des lettres ?
Le long du tramway de Casablanca, Amine repère deux poteaux et plantés au sol, et un point situé exactement au milieu du segment . Deux fils tendus partent de vers deux points et situés de part et d'autre de la voie. Sur le plan de l'ingénieur, on lit : et .
Démontre que , puis déduis-en que .
Salma dessine un petit triangle et un grand triangle qui ont exactement les mêmes trois angles (, , ), mais le grand est deux fois plus haut. Elle affirme : « Ils ont les mêmes angles, donc ils sont égaux. » Salma a raison.
Dans deux triangles et , on dispose des données suivantes : , , et . Karim hésite sur le cas à citer. Quelle affirmation est correcte ?
Dans un losange , les diagonales et se coupent en . On sait que , (commun) et (côtés du losange), ce qui permet de démontrer . On en déduit . Comme ces deux angles sont supplémentaires (ils forment ensemble l'angle plat ), combien mesure (en degrés) l'angle ?
Dans deux triangles et , on connaît , et . Salma déclare : « Deux angles et un côté, c'est le cas ACA, donc les triangles sont égaux. » Salma a raison.
Dans un parallélogramme , la diagonale partage la figure en deux triangles et . Sachant que , et (commun), on a démontré (cas CCC). Quelle propriété du parallélogramme peut-on déduire directement de l'égalité des angles homologues ?
Un point appartient à la médiatrice du segment ; elle coupe en son milieu , et . On compare les triangles et : ( milieu), (commun), et . On a donc (cas CAC). Sachant que cm, quelle est la longueur (en cm) de , homologue de ?