Les puissances

Puissances d'un nombre

Une puissance n'est rien d'autre qu'une multiplication répétée, écrite de façon abrégée.

On dit $a^2$ « $a$ au carré » et $a^3$ « $a$ au cube ». Deux conventions complètent la définition :

Exemple 1. $2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$.

Exemple 2. $5^2=25$, ${10}^3=1000$, $7^1=7$, $4^0=1$.

Le piège de la multiplication

Karim écrit $2^5=2\times 5=10$. C'est l'erreur la plus fréquente. L'exposant compte le nombre de facteurs, ce n'est pas un produit de la base par l'exposant : $2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$, pas $10$.

Puissances d'un nombre relatif

Quand la base est négative, c'est la règle des signes du chapitre sur les relatifs qui décide du signe du résultat.

Exemple 1. $(-2{)}^2=(-2)\times (-2)=+4$. $(-2{)}^3=-8$. $(-3{)}^4=+81$.

L'emplacement des parenthèses est décisif, car il indique ce qui est élevé à la puissance.

Le piège des parenthèses

Salma calcule $(-3{)}^2$ et répond $-9$. Faux : les parenthèses montrent que $-3$ en entier est au carré, donc $(-3{)}^2=(-3)\times (-3)=+9$. C'est l'écriture $-3^2$ (sans parenthèses) qui vaut $-9$.

Les puissances de 10

Les puissances de $10$ sont les plus utiles de toutes : elles structurent notre système décimal.

On étend la notation aux exposants négatifs pour décrire les petits nombres.

Le piège de l'exposant négatif

Amine croit que ${10}^{-3}=-1000$. Faux : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif. Il donne au contraire un petit nombre positif, compris entre $0$ et $1$ : ${10}^{-3}=\mathrm{0,001}$.

Les règles de calcul

Trois règles, valables pour une même base, permettent de calculer sans repasser par la multiplication développée.

Exemple 1. ${10}^3\times {10}^4={10}^{3+4}={10}^7$.

Exemple 2. ${\displaystyle \frac{{10}^5}{{10}^2}}={10}^{5-2}={10}^3$. ${\left({10}^2\right)}^3={10}^{2\times 3}={10}^6$.

Exemple 3. $2^3\times 2^2=2^5=32$.

Le piège des exposants

Karim calcule ${10}^3\times {10}^4$ et écrit ${10}^{12}$ : il a multiplié les exposants. Faux : pour un produit de même base, on additionne les exposants, donc ${10}^3\times {10}^4={10}^7$. On ne multiplie les exposants que dans une puissance de puissance, comme ${\left({10}^3\right)}^4={10}^{12}$.

La notation scientifique

Voici l'aboutissement du chapitre : une écriture unique pour tous les nombres, des plus grands aux plus petits.

Exemple 1. $38000000=\mathrm{3,8}\times {10}^7$ (grand nombre, exposant positif).

Exemple 2. $\mathrm{0,000002}=2\times {10}^{-6}$ (petit nombre, exposant négatif).

Le piège du facteur a

Salma écrit $38000000=38\times {10}^6$. Le calcul est juste, mais ce n'est pas la notation scientifique : il faut $1\le a<10$, c'est-à-dire un seul chiffre non nul avant la virgule. La bonne écriture est $\mathrm{3,8}\times {10}^7$.

Pièges classiques

1. Confondre $a^n$ et $a\times n$. $2^5=32$, pas $10$ : l'exposant compte les facteurs.

2. Oublier les parenthèses. $(-2{)}^4=16$ (tout est élevé), mais $-2^4=-16$ (seul le $2$ l'est).

3. Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif. ${10}^{-3}=\mathrm{0,001}$, un petit nombre positif.

4. Multiplier les exposants dans un produit. ${10}^3\times {10}^4={10}^7$ (on additionne), pas ${10}^{12}$.

5. Se tromper sur $a^0$. Pour $a\mathrm{\ne }0$, $a^0=1$ (et non $0$).

6. Mauvais facteur en notation scientifique. $38\times {10}^6$ n'est pas scientifique ; il faut $\mathrm{3,8}\times {10}^7$, avec $1\le a<10$.

Application concrète

Yasmine prépare un exposé intitulé « Des bactéries aux étoiles », où les ordres de grandeur sont partout.

Étape 1 — Puissance d'un nombre. Pour introduire la croissance, elle montre une culture de bactéries qui double chaque heure : à partir d'une bactérie, après $10$ heures, il y en a $2^{10}=1024$.

Étape 2 — Puissance d'un relatif. Sur un schéma de variations qui alternent, elle s'appuie sur $(-1{)}^n$ : ce nombre vaut $+1$ quand $n$ est pair et $-1$ quand $n$ est impair. La parité de l'exposant gouverne le signe.

Étape 3 — Puissances de 10. Elle situe deux extrêmes : la population du Maroc, environ $38000000$ d'habitants (de l'ordre de ${10}^7$), et la taille d'une bactérie, environ $\mathrm{0,000002}$ m (de l'ordre de ${10}^{-6}$ m).

Étape 4 — Règles de calcul. Combien de bactéries de $2\times {10}^{-6}$ m faut-il aligner pour atteindre $1$ mètre ? On divise : ${\displaystyle \frac{1}{2\times {10}^{-6}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {10}^6=\mathrm{0,5}\times {10}^6=5\times {10}^5$, soit $500000$ bactéries.

Étape 5 — Notation scientifique. Pour son affiche, elle écrit proprement : population $\mathrm{3,8}\times {10}^7$ habitants, bactérie $2\times {10}^{-6}$ mètre. L'écart entre les exposants, de $7$ à $-6$, révèle $13$ ordres de grandeur entre une nation et un microbe.

Conclusion. En une seule affiche, Yasmine a manié des nombres impossibles à écrire « en toutes lettres » sans les puissances. C'est là toute leur force : compacter, comparer, calculer sur des grandeurs démesurées. Tu les retrouveras en physique-chimie (masses, distances, concentrations), en SVT (tailles de cellules), et dès la classe suivante avec les puissances d'exposant quelconque.

À retenir