La translation

Qu'est-ce qu'une translation ?

Imagine un tapis roulant dans un entrepôt : chaque colis posé dessus glisse de la même façon — même direction, même sens, même distance — quelle que soit sa position. C'est exactement l'image à retenir pour la translation.

Pour décrire entièrement une translation, il faut donc trois informations : la direction du glissement (une droite ou une orientation), le sens (de quel côté on va), et la longueur du déplacement. Le vecteur $\overrightarrow{u}$ condense ces trois informations en un seul objet mathématique.

Vocabulaire. Si la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ transforme le point $A$ en le point $A^{\mathrm{\prime }}$, on dit que $A^{\mathrm{\prime }}$ est l'image de $A$ par la translation, et que $A$ est l'antécédent de $A^{\mathrm{\prime }}$.

Exemple 1. Sur un quadrillage, la translation de vecteur « 3 cases vers la droite, 2 cases vers le haut » transforme le point $A$ de coordonnées $(1;1)$ en le point $A^{\mathrm{\prime }}$ de coordonnées $(4;3)$.

Exemple 2. Une frise obtenue en répétant un motif est la marque visuelle de translations successives : le même vecteur, appliqué encore et encore au même motif de départ.

Le piège du « glissement libre »

Karim pense qu'une translation, c'est « faire bouger une figure n'importe comment ». Faux : une translation est entièrement définie par son vecteur. Si la direction change ou si la longueur du déplacement varie d'un point à un autre, ce n'est plus une translation. Chaque point de la figure se déplace exactement de la même façon.

Construire l'image d'une figure par translation

La méthode est simple à appliquer, que ce soit sur quadrillage ou à la règle et au compas.

Méthode (sur quadrillage). Pour construire l'image d'un point $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ (« $a$ cases vers la droite et $b$ cases vers le haut ») : depuis $M$, on se déplace de $a$ cases à droite et de $b$ cases vers le haut. Le point d'arrivée est $M^{\mathrm{\prime }}$. Si $a$ est négatif, on va à gauche ; si $b$ est négatif, on descend.

Méthode (à la règle et au compas). Pour construire l'image d'un point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $A^{\mathrm{\prime }}$ : on trace depuis $M$ un segment $[M{M}^{\mathrm{\prime }}]$ parallèle à $[A{A}^{\mathrm{\prime }}]$, de même sens et de même longueur. L'extrémité $M^{\mathrm{\prime }}$ est l'image.

Pour construire l'image d'une figure entière (un segment, un triangle, un polygone), on applique cette méthode à chacun de ses sommets, puis on relie les images dans le même ordre que les sommets de départ.

Exemple 1. Sur un quadrillage, la translation de vecteur « $+4$ cases en $x$, $+2$ cases en $y$ » transforme le triangle $ABC$ avec $A(1;1)$, $B(3;1)$, $C(2;3)$ en le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ avec $A^{\mathrm{\prime }}(5;3)$, $B^{\mathrm{\prime }}(7;3)$, $C^{\mathrm{\prime }}(6;5)$.

Exemple 2. Pour construire l'image d'un segment $[PQ]$ par translation : on construit $P^{\mathrm{\prime }}$ image de $P$, puis $Q^{\mathrm{\prime }}$ image de $Q$, et le segment $[P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}]$ est l'image de $[PQ]$.

Le piège du sommet oublié

Salma construit l'image d'un triangle par translation, mais elle ne déplace que deux sommets sur trois et relie tant bien que mal le troisième. L'image n'est pas correcte : chaque sommet doit être déplacé individuellement selon le même vecteur, puis les images sont reliées entre elles.

Les propriétés de la translation

La translation est une isométrie : elle ne déforme pas les figures, elle les déplace sans les changer.

Propriété (conservation). Par une translation :

• les longueurs sont conservées : $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=AB$ ;
• les angles sont conservés : $\widehat{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}=\widehat{ABC}$ ;
• les aires sont conservées ;
• le parallélisme est conservé : si $(d_1)\parallel (d_2)$, alors leurs images sont aussi parallèles ;
• l'image d'une droite est une droite parallèle (et distincte) à la droite de départ, sauf si le vecteur est parallèle à cette droite (dans ce cas les deux droites coïncident).

Ces conservations font de la translation une transformation particulièrement régulière : l'image d'une figure est superposable à la figure de départ, sans retournement.

Exemple 1. Si un triangle $ABC$ a un périmètre de $12\text{cm}$, son image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ par une translation a aussi un périmètre de $12\text{cm}$.

Exemple 2. Si $(AB)\parallel (CD)$, alors les images $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }})$ et $(C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }})$ de ces droites par une translation sont encore parallèles.

Le piège de l'agrandissement imaginaire

Karim affirme : « En translatant une grande distance, la figure devient plus grande. » Faux : la longueur du vecteur de translation ne modifie pas la taille de la figure. Elle indique uniquement la distance parcourue par chaque point. La taille, la forme et les angles restent exactement les mêmes quelle que soit l'amplitude du vecteur.

Translation et parallélogramme ; pavages

La translation révèle un lien profond avec les parallélogrammes, et c'est ce lien qui explique la structure des pavages.

En effet, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ (même vecteur de translation), ce qui est exactement la condition pour que $ABDC$ soit un parallélogramme : les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles, de même sens et de même longueur.

Méthode (construire le translaté d'un point en utilisant le parallélogramme). Pour construire $B$ image de $A$ par la translation qui transforme $C$ en $D$ : on construit le parallélogramme $ABDC$ (l'ordre des sommets garantit que $[AB]\parallel [CD]$ et $AB=CD$).

Exemple 1. Si la translation transforme $C(0;0)$ en $D(3;2)$, elle transforme aussi $A(1;1)$ en $B(4;3)$. Les quatre points $A(1;1)$, $B(4;3)$, $D(3;2)$, $C(0;0)$ forment un parallélogramme.

Exemple 2. Un pavage par translations. Un motif de zellige de forme parallélogramme peut paver tout un plan en appliquant deux translations distinctes $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ : on obtient une grille de copies du motif qui recouvre le plan sans trou ni chevauchement. C'est ainsi que sont construites les frises et les pavages géométriques marocains.

Le piège de l'ordre des sommets

Salma construit le parallélogramme « $ABCD$ » pour représenter la relation de translation entre $A$ et $B$ d'une part, $C$ et $D$ d'autre part. Elle confond l'ordre des sommets. L'ordre correct est $ABDC$ : les côtés parallèles et égaux sont $[AB]$ et $[CD]$ (et non $[AC]$ et $[BD]$). En géométrie, nommer les sommets d'un parallélogramme dans le bon ordre est indispensable pour identifier correctement les côtés parallèles.

Pièges classiques

1. Confondre la longueur du vecteur et la taille de l'image. La distance du déplacement n'a aucun effet sur la taille ou la forme de la figure. Une translation, même très grande, ne l'agrandit pas.

2. Déplacer les sommets de façon différente. Chaque point de la figure doit être déplacé exactement de la même façon (même direction, même sens, même longueur). Si un sommet glisse différemment des autres, ce n'est pas une translation.

3. Oublier un sommet lors de la construction. Pour translater un triangle, il faut construire les images des trois sommets, puis relier $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$. En omettre un fausse toute la figure.

4. Inverser le sens du vecteur. La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ est différente de la translation de vecteur $-\overrightarrow{u}$ (son opposée). Confondre les deux revient à déplacer la figure dans la direction opposée.

5. Croire qu'une droite et son image sont forcément distinctes. Si le vecteur de translation est parallèle à la droite, la droite et son image coïncident : la droite est globalement invariante.

6. Mauvais ordre des sommets du parallélogramme. Si la translation transforme $C$ en $D$ et $A$ en $B$, le parallélogramme est $ABDC$ et non $ABCD$. L'ordre des sommets détermine quels côtés sont parallèles.

Application concrète

Un artisan de Meknès conçoit une frise décorative pour le mur d'une médersa. Son motif de base est un quadrilatère $PQRS$ : $P(1;1)$, $Q(3;1)$, $R(3;3)$, $S(1;3)$.

Étape 1 — Identifier le vecteur de translation. L'artisan veut répéter le motif vers la droite, en le faisant glisser de $4$ unités. Le vecteur de translation est $\overrightarrow{u}$ de composantes « $+4$ en $x$, $0$ en $y$ ».

Étape 2 — Construire les images. L'image de $P(1;1)$ est $P^{\mathrm{\prime }}(5;1)$. Celle de $Q(3;1)$ est $Q^{\mathrm{\prime }}(7;1)$. Celle de $R(3;3)$ est $R^{\mathrm{\prime }}(7;3)$. Celle de $S(1;3)$ est $S^{\mathrm{\prime }}(5;3)$. Le quadrilatère $P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image de $PQRS$.

Étape 3 — Vérifier les propriétés. Le motif $P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}$ est bien superposable au motif de départ. Les longueurs sont conservées : $P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}=PQ=2$ unités, $P^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}=PS=2$ unités. L'image est un carré, exactement comme le motif original.

Étape 4 — Identifier le parallélogramme. La translation transforme $P$ en $P^{\mathrm{\prime }}$ et $S$ en $S^{\mathrm{\prime }}$. Les quatre points $P$, $P^{\mathrm{\prime }}$, $S^{\mathrm{\prime }}$, $S$ (dans cet ordre) forment un parallélogramme de côtés $[P{P}^{\mathrm{\prime }}]$ et $[S{S}^{\mathrm{\prime }}]$, tous deux de longueur $4$ et orientés vers la droite.

Étape 5 — Répéter pour la frise. En appliquant la même translation une deuxième fois, on obtient le motif $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ avec $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(9;1)$, $Q^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(11;1)$, $R^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(11;3)$, $S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(9;3)$. Trois copies du même motif s'alignent parfaitement pour former la frise.

Conclusion. L'artisan de Meknès a utilisé sans le savoir les outils du mathématicien : un vecteur de translation, la conservation des longueurs et des angles, et la génération d'un pavage par translation répétée. Tu retrouveras cette logique plus tard avec les autres transformations — symétries, rotation, homothétie — puis au lycée avec les vecteurs.

À retenir