La représentation dans l'espace

Les solides usuels

Avant de dessiner un solide, il faut en maîtriser le vocabulaire et savoir le décrire avec précision.

Polyèdres : solides à faces planes

Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones.

Solides avec une face courbe

Exemple 1. Une boîte de thé marocaine rectangulaire est un pavé droit : elle a $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets.

Exemple 2. Une citerne d'eau cylindrique sur un toit de maison à Casablanca est un cylindre droit.

Exemple 3. La Pyramide de Kheops, à base carrée, a $5$ faces ($1$ base + $4$ triangles latéraux), $8$ arêtes, $5$ sommets.

Le piège de Karim : compter les arêtes d'un pavé

Karim pense qu'un pavé droit a $8$ arêtes « parce qu'il a $8$ sommets ». Faux : le nombre d'arêtes n'est pas égal au nombre de sommets. Un pavé a $12$ arêtes : $4$ arêtes le long de la longueur, $4$ le long de la largeur, $4$ le long de la hauteur. On peut retenir la formule : pour un pavé, faces $F=6$, arêtes $A=12$, sommets $S=8$, et on vérifie la relation d'Euler $S-A+F=8-12+6=2$.

La perspective cavalière

Représenter un solide de l'espace sur une feuille plane demande une convention. La plus utilisée au collège est la perspective cavalière.

Exemple 1. Un pavé $ABCDEFGH$ vu depuis le coin avant-gauche : les arêtes $DH$, $HE$, $EF$ sont cachées et se tracent en pointillés.

Exemple 2. Pour un cube, toutes les fuyantes ont la même longueur (réduite). Les angles droits du solide ne sont pas des angles droits dans le dessin : c'est une déformation volontaire.

Ce que conserve la perspective cavalière — et ce qu'elle déforme

Le piège de Salma : les angles droits dans le dessin

Salma dessine un cube et trace une fuyante perpendiculaire à la face avant, en croyant représenter fidèlement un angle droit. Mais en perspective cavalière, les fuyantes sont volontairement inclinées à $45\mathrm{°}$ (ou tout autre angle de convention) et raccourcies. Un angle droit dans l'espace ne se traduit pas nécessairement par un angle droit dans le dessin. Seul le parallélisme est garanti.

Les patrons

Un patron, c'est le plan de découpe : si on déplie parfaitement un solide, on obtient une surface plane appelée patron.

Patron d'un pavé droit

Un pavé droit de dimensions $L\times l\times h$ a six faces rectangulaires. Son patron contient donc six rectangles, disposés de façon à ce que les bords qui se touchent sur le solide soient adjacents sur le patron.

Exemple 1. Pour une boîte de thé de dimensions $20\text{ cm}\times 10\text{ cm}\times 5\text{ cm}$, le patron contient : $2$ faces de $20\times 10$, $2$ faces de $20\times 5$, $2$ faces de $10\times 5$. L'aire totale du patron est : $A=2(20\times 10)+2(20\times 5)+2(10\times 5)=400+200+100=700{\text{cm}}^2\mathrm{.}$

Patron d'un cylindre

Exemple 2. Pour une citerne cylindrique de rayon $30\text{ cm}$ et de hauteur $80\text{ cm}$, la surface latérale est un rectangle de dimensions $80\text{ cm}\times 2\pi \times 30\approx 80\times \mathrm{188,5}\text{ cm}$.

Patron d'une pyramide à base carrée

Le patron d'une pyramide à base carrée de côté $a$ et de hauteur $h$ est composé de :

• un carré de côté $a$ (la base) ;
• quatre triangles isocèles identiques (les faces latérales), dont la base vaut $a$.

Le piège du patron invalide

Karim propose un patron où deux faces du pavé se chevauchent lorsqu'on les replie. Ce patron est invalide : en repliant, on obtient un solide dont deux faces se superposent, ce qui est impossible. Pour valider un patron, il faut vérifier mentalement que le repliage donne bien le solide sans superposition ni trou.

Se repérer dans l'espace

Se repérer dans l'espace, c'est donner la position d'un point par rapport à un système de référence. On en voit deux ici : le repérage sur un pavé droit et le repérage sur le globe terrestre.

Repérage sur un pavé droit

Exemple 1. Dans un pavé de dimensions $6\times 4\times 3$, le sommet opposé à l'origine a pour coordonnées $(6;4;3)$. Le sommet du haut situé à la verticale de l'origine a pour coordonnées $(0;0;3)$.

Repérage sur le globe terrestre

Exemple 2. Casablanca se trouve à environ $33\mathrm{°}$ de latitude nord et $7\mathrm{°}$ de longitude ouest. Marrakech, plus au sud, est à environ $31\mathrm{°}$ de latitude nord et $8\mathrm{°}$ de longitude ouest.

Exemple 3. L'équateur est le parallèle de latitude $0\mathrm{°}$. Les pôles sont les points de latitude $90\mathrm{°}$ nord et $90\mathrm{°}$ sud.

Le piège de Salma sur la longitude et la latitude

Salma confond longitude et latitude : elle dit « Casablanca est à $7\mathrm{°}$ de latitude ». C'est faux. La latitude mesure la distance angulaire à l'équateur (nord-sud) ; la longitude mesure la distance angulaire au méridien de Greenwich (est-ouest). Casablanca est à $33\mathrm{°}$ de latitude nord : c'est sa position nord-sud. Ses $7\mathrm{°}$ ouest, c'est sa longitude : sa position est-ouest.

Pièges classiques

1. Confondre le nombre de faces et le nombre d'arêtes. Un pavé droit a $6$ faces, mais $12$ arêtes — pas $6$. Les arêtes sont les bords du solide, pas ses faces. Pour mémoriser : un pavé a trois groupes de $4$ arêtes parallèles.

2. Penser que la perspective cavalière conserve les angles droits. Elle conserve uniquement le parallélisme. Les fuyantes sont obliques et raccourcies : un angle droit dans l'espace apparaît déformé dans le dessin.

3. Tracer toutes les arêtes en trait plein. Les arêtes cachées (à l'arrière du solide) se tracent obligatoirement en pointillés. Omettre les pointillés ou tout tracer en trait plein est une erreur de représentation.

4. Valider un patron qui se chevauche. Avant d'accepter un patron, il faut le replier mentalement : si deux faces se superposent ou si le solide a un trou, le patron est invalide.

5. Inverser latitude et longitude. La latitude donne la position nord-sud (entre $-90\mathrm{°}$ et $+90\mathrm{°}$) ; la longitude donne la position est-ouest (entre $-180\mathrm{°}$ et $+180\mathrm{°}$). L'équateur est à latitude $0\mathrm{°}$, pas à longitude $0\mathrm{°}$.

6. Oublier de réduire les fuyantes. En perspective cavalière, les fuyantes (arêtes vers la profondeur) sont représentées avec une longueur réduite (souvent de moitié). Tracer des fuyantes de vraie longueur donne un solide visiblement trop profond et non conforme à la convention.

Application concrète

Yasmine prépare un emballage cadeau pour offrir une boîte de thé à sa famille à Marrakech. La boîte est un pavé droit de dimensions $L=15\text{ cm}$, $l=8\text{ cm}$, $h=6\text{ cm}$.

Étape 1 — Identifier et décrire le solide. La boîte est un pavé droit : $6$ faces rectangulaires, $12$ arêtes, $8$ sommets. Yasmine vérifie avec la relation d'Euler : $8-12+6=2$. Correct.

Étape 2 — Dessiner la boîte en perspective cavalière. Elle trace la face avant ($15\times 6\text{ cm}$), puis des fuyantes obliques raccourcies (ici réduites à la moitié des $8\text{ cm}$, soit $4\text{ cm}$ dans le dessin) à $45\mathrm{°}$. Elle trace la face arrière en pointant les arêtes parallèles. Les arêtes du fond (cachées) passent en pointillés.

Étape 3 — Tracer le patron. Yasmine dispose les $6$ rectangles pour le patron :

• $2$ faces de $15\times 6\text{ cm}$ (les grandes faces avant/arrière) ;
• $2$ faces de $15\times 8\text{ cm}$ (les faces dessus/dessous) ;
• $2$ faces de $8\times 6\text{ cm}$ (les petites faces latérales).

Elle vérifie que son patron est valide en le repliant mentalement : aucun chevauchement.

Étape 4 — Calculer la surface totale du carton. $A=2(15\times 6)+2(15\times 8)+2(8\times 6)=180+240+96=516{\text{cm}}^2\mathrm{.}$ Yasmine sait qu'il lui faut au moins $516{\text{cm}}^2$ de carton.

Étape 5 — Repérer les sommets. En prenant le coin avant-bas-gauche comme origine $O$, les huit sommets du pavé ont des coordonnées de la forme $(x;y;z)$ avec $x\in \{0;15\}$, $y\in \{0;8\}$, $z\in \{0;6\}$. Le sommet le plus éloigné de $O$ est le coin arrière-haut-droit, aux coordonnées $(15;8;6)$.

Conclusion. À partir d'une boîte de thé ordinaire, Yasmine a mobilisé tout le chapitre : vocabulaire des solides, perspective cavalière, patron valide, calcul d'aire et repérage par coordonnées. Ces outils reviennent en classe de 3ᵉ pour les calculs de volumes et d'aires de solides complexes, et au lycée pour se repérer dans l'espace à trois coordonnées.

À retenir