63 exercices pour t'entraîner sur La représentation dans l'espace en 4ᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
Combien de faces possède un pavé droit ?
6
Un pavé droit a exactement faces rectangulaires, regroupées en paires de faces opposées identiques : les deux grandes faces (avant/arrière), les deux faces du dessus et du dessous, et les deux petites faces latérales (gauche/droite). Si tu as répondu ou , tu confonds peut-être les faces avec les arêtes ou les sommets.
Combien d'arêtes possède un pavé droit ?
12
Un pavé droit a arêtes, réparties en trois groupes de arêtes parallèles : arêtes de longueur , arêtes de longueur , arêtes de longueur . Si tu as répondu , tu comptes les faces et non les arêtes. Si tu as répondu , tu comptes les sommets. Retiens : pavé droit faces, arêtes, sommets.
Combien de sommets possède un pavé droit ?
8
Un pavé droit (boîte rectangulaire) a sommets : ce sont les coins de la boîte. On peut les retrouver en remarquant que chaque sommet est à l'intersection de arêtes. La relation d'Euler confirme : .
Une citerne d'eau posée sur le toit d'une maison à Casablanca a deux bases circulaires identiques reliées par une surface courbe. Quel est le nom de ce solide ?
C
Un cylindre droit est caractérisé par deux bases circulaires parallèles et identiques reliées par une surface latérale courbe. Le cône (A) a une base circulaire mais se termine en un point. La pyramide (B) a une base polygonale et des faces latérales triangulaires. Le prisme droit (D) a des bases polygonales (pas circulaires). Ici, les deux bases sont des disques : c'est bien un cylindre droit.
On affirme : « En perspective cavalière, les arêtes cachées (masquées par le solide) se tracent en pointillés. »
A
C'est une convention obligatoire de la perspective cavalière : les arêtes que l'observateur ne peut pas voir, parce qu'elles sont masquées par le solide, se représentent en pointillés. Les arêtes visibles, elles, se tracent en trait plein. Ce code graphique est universel et doit être respecté dans tous les dessins de géométrie dans l'espace.
Combien de faces possède une pyramide à base carrée ?
5
Une pyramide à base carrée possède faces : base carrée et faces latérales triangulaires. On peut vérifier avec la relation d'Euler : . Si tu as répondu , tu as oublié la base. Si tu as répondu , tu as confondu avec le pavé droit.
Parmi les propriétés suivantes, laquelle est conservée en perspective cavalière ?
C
En perspective cavalière, seul le parallélisme est conservé : deux arêtes parallèles dans l'espace restent parallèles dans le dessin. Les angles droits (A) sont déformés : une arête fuyante n'est pas perpendiculaire à la face frontale dans le dessin. Les longueurs des fuyantes (B) sont réduites d'un coefficient (souvent ). Les longueurs de toutes les arêtes (D) ne sont pas conservées : seules les arêtes de la face frontale gardent leur vraie longueur.
Combien de rectangles contient le patron d'un pavé droit ?
6
Le patron d'un solide contient exactement autant de polygones que le solide a de faces. Un pavé droit ayant faces rectangulaires, son patron comporte rectangles. Ces rectangles forment paires de rectangles opposés de mêmes dimensions.
Qu'est-ce que la latitude d'un point sur le globe terrestre ?
B
La latitude est l'angle mesuré vers le nord ou le sud à partir de l'équateur (). Elle est comprise entre (pôle Sud) et (pôle Nord). L'angle est-ouest par rapport à Greenwich (A) est la longitude. Les distances en km (C et D) ne sont pas des définitions d'angles.
Combien d'arêtes possède une pyramide à base carrée ?
8
Une pyramide à base carrée a arêtes : arêtes formant le carré de la base, et arêtes latérales reliant chaque sommet de la base à l'apex. On peut vérifier avec la relation d'Euler : . Si tu as répondu , tu n'as compté que les arêtes de la base. Si tu as répondu , tu confonds arêtes et faces.
Un dé à jouer en bois d'Essaouira a la forme d'un cube. Combien de sommets possède ce cube ?
8
Un cube est un cas particulier de pavé droit : il a donc le même dénombrement, soit sommets, arêtes et faces. Les sommets sont les coins du dé, là où trois arêtes se rejoignent. Si tu as répondu , tu as compté les faces ; si tu as répondu , tu as compté les arêtes.
Une boîte de chocolats en forme de prisme droit à base triangulaire est vendue à Tétouan. Combien de faces possède ce prisme ?
5
Un prisme droit à base triangulaire a bases triangulaires (les deux extrémités) et faces latérales rectangulaires (une par côté du triangle). Cela fait faces. Si tu as répondu , tu as oublié les deux bases ; si tu as répondu , tu confonds avec un pavé droit.
Un chapeau de fête a une base circulaire et une surface latérale courbe qui se rétrécit jusqu'à un seul point au sommet. Quel est le nom de ce solide ?
B
Le cône droit a une base circulaire et une surface latérale courbe qui converge vers un sommet unique appelé apex. Le cylindre (A) a deux bases circulaires et ne se termine pas en pointe. La pyramide (C) se termine bien en pointe, mais sa base est un polygone, pas un cercle. Le pavé (D) n'a ni base circulaire ni pointe. La présence d'une base circulaire et d'un sommet unique caractérise le cône.
Combien d'arêtes possède un cube ?
C
Comme tout pavé droit, le cube a arêtes : verticales, sur la face du dessus et sur la face du dessous. La réponse A () correspond aux faces, la réponse B () aux sommets. C'est le piège de Karim : le nombre d'arêtes n'est pas égal au nombre de sommets. On vérifie avec la relation d'Euler : .
Dans une pyramide, comment appelle-t-on le point où se rejoignent toutes les faces latérales triangulaires ?
C
L'apex (aussi appelé sommet de la pyramide) est le point unique où se rejoignent toutes les faces latérales triangulaires. La base (A) est le polygone du dessous, pas un point. Une arête (B) est une ligne, pas un point. Le centre (D) ne désigne aucun élément précis du solide. La Pyramide de Kheops, par exemple, a un apex à son sommet et une base carrée.
En perspective cavalière, comment trace-t-on les arêtes visibles d'un solide ?
B
Les arêtes visibles, celles que l'observateur peut voir directement, se tracent en trait plein. Ce sont les arêtes cachées (masquées par le solide) qui se tracent en pointillés (réponse A). La couleur (C) n'a aucune valeur conventionnelle, et il faut bien tracer toutes les arêtes (D). Retiens le code : plein pour le visible, pointillé pour le caché.
On affirme : « Un cylindre droit possède des sommets et des arêtes droites, comme un pavé. »
B
C'est faux. Un cylindre droit n'a ni sommet ni arête au sens usuel : il est délimité par deux bases circulaires et une surface latérale courbe, sans aucun angle ni point de rencontre de plusieurs arêtes. Cette caractéristique le distingue des polyèdres comme le pavé ou la pyramide, dont les faces sont des polygones bordés d'arêtes rectilignes.
On affirme : « L'équateur est le parallèle de latitude . »
A
C'est vrai. L'équateur est la ligne de référence pour la latitude : tous ses points sont à de latitude. Les latitudes se mesurent ensuite vers le nord (jusqu'à N au pôle Nord) ou vers le sud (jusqu'à S au pôle Sud). Ne confonds pas avec le méridien de Greenwich, qui est la référence de longitude ( de longitude), pas de latitude.
On affirme : « Le patron d'un cylindre droit est composé de deux disques et d'un rectangle. »
A
C'est vrai. En dépliant un cylindre droit, on obtient les deux disques des bases (rayon ) et un rectangle qui est la surface latérale déroulée : sa hauteur vaut et sa longueur vaut la circonférence de la base, soit . Si tu as imaginé deux triangles ou un seul disque, revois la mise à plat : il faut bien une face plane par « morceau » du solide, et la surface courbe se déroule en un rectangle.
Sur le globe terrestre, la longitude d'un lieu est l'angle mesuré vers l'est ou l'ouest à partir de quelle ligne de référence ?
B
La longitude se mesure à partir du méridien de Greenwich (), vers l'est ou vers l'ouest. C'est la position est-ouest d'un lieu. L'équateur (A) est la référence de la latitude (position nord-sud), pas de la longitude. Le pôle Nord (C) et le tropique du Cancer (D) ne servent pas de référence ici. Pour Casablanca : environ de longitude ouest, soit à l'ouest de Greenwich.
Un prisme droit à base triangulaire a faces, arêtes et sommets. On affirme : « Ce prisme vérifie la relation d'Euler . »
En perspective cavalière, les fuyantes sont représentées avec une longueur réduite de moitié. Une arête de profondeur mesure dans l'espace. Quelle est la longueur de cette arête dans le dessin en perspective cavalière (en cm) ?
De quoi est composé le patron d'un cylindre droit de rayon et de hauteur ?
On place l'origine à un coin d'un pavé droit de dimensions . Les arêtes issues de sont orientées selon les axes (longueur ), (largeur ) et (hauteur ). Quelles sont les coordonnées du sommet situé à l'angle opposé de (le plus éloigné) ?
On affirme : « Un méridien relie le pôle Nord au pôle Sud ; un parallèle est un cercle dont tous les points ont la même latitude. »
Amine propose le patron suivant pour un cube : une rangée de carrés alignés horizontalement, avec carré au-dessus du et carré au-dessous du . Ce patron est-il valide ?
Une pyramide a une base pentagonale (à côtés). Combien de sommets possède-t-elle ?
Une boîte de thé est un pavé droit de dimensions . Quelle est l'aire totale de son patron (en ) ?
On affirme : « Un prisme droit à base triangulaire a faces : triangles (les bases) et rectangles (les faces latérales). »
Casablanca se situe à environ de latitude nord et de longitude ouest. Quelle est la bonne façon de noter ses coordonnées géographiques ?
Une boîte de thé à la menthe de Fès est un pavé droit de dimensions . Quel est le volume de cette boîte (en ) ?
Un cube de bois sculpté à Essaouira a une arête de . Quel est son volume (en ) ?
Un prisme droit a pour bases deux pentagones (polygones à côtés). Combien d'arêtes ce prisme possède-t-il ?
On déroule la surface latérale d'un cylindre droit de rayon et de hauteur . On obtient un rectangle. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
Une petite citerne cylindrique à Marrakech a un rayon de base de et une hauteur de . En prenant , quel est son volume (en ) ?
Un chapeau de fête traditionnel a la forme d'un cône droit. Parmi ces affirmations sur ce cône, laquelle est correcte ?
On affirme : « Dans un dessin en perspective cavalière d'un cube, les fuyantes sont tracées avec leur vraie longueur et les angles droits du cube restent des angles droits sur le dessin. »
Sur le globe terrestre, deux villes sont sur le même méridien. Que peut-on affirmer avec certitude à propos de ces deux villes ?
Un fanal en métal de la médina d'Essaouira est un prisme droit. Sa base est un triangle d'aire et sa hauteur (la longueur du prisme) est de . Quel est le volume de ce prisme (en ) ?
Salma veut tracer le patron d'une pyramide à base carrée pour une maquette. De combien de polygones son patron doit-il être composé, et de quelle nature ?
Karim observe une boîte de thé de Fès, un pavé droit, et dit : « Elle a sommets, donc elle a arêtes. » A-t-il raison ?
Salma repère Casablanca sur le globe et dit : « Casablanca est à de latitude ouest. » A-t-elle raison ?
Amine dessine en perspective cavalière une boîte de profondeur . Il dit : « Je trace mes fuyantes obliques à et longues de , comme la vraie profondeur. » A-t-il raison ?
Karim affirme : « Une pyramide à base hexagonale a sommets. » Qu'en penses-tu ?
Salma dessine le patron d'un cube en alignant carrés identiques en ligne droite horizontale : carré — carré — carré — carré — carré — carré .
Elle affirme que ce patron est valide car il contient bien carrés. A-t-elle raison ? Explique en justifiant ton raisonnement.
Un polyèdre convexe a arêtes et sommets. Combien de faces possède-t-il ?
Salma dessine un pavé droit en perspective cavalière. Elle trace toutes les arêtes en trait plein, y compris les trois arêtes du fond du pavé. Elle pense que « puisqu'elles existent dans l'espace, elles doivent se voir dans le dessin ». Corrige l'erreur de Salma et explique ce qu'elle aurait dû faire.
Amine veut peindre la surface latérale (uniquement les côtés, sans les bases) d'une citerne cylindrique de rayon et de hauteur . En déroulant la surface latérale, on obtient un rectangle. Quelle est la largeur de ce rectangle ?
Un prisme droit a une base hexagonale (à côtés). Combien d'arêtes ce prisme possède-t-il ?
Karim dit : « Marrakech est à de longitude et de latitude, donc elle est plus à l'est que Casablanca qui est à de longitude. » A-t-il raison ?
Yasmine fabrique des emballages en carton pour des savons artisanaux d'Agadir. Chaque savon est un pavé droit de dimensions .
a) Décris les faces du pavé en donnant les dimensions de chaque paire.
b) Calcule l'aire totale du patron de cet emballage en .
c) Yasmine dispose d'une feuille de carton de . Peut-elle découper le patron de l'emballage dans cette feuille ?
Dans un pavé droit de dimensions (longueur largeur hauteur), on place l'origine en avec les axes (longueur), (largeur), (hauteur). Le sommet est à la verticale de , au sommet le plus haut juste au-dessus de . Quelles sont les coordonnées de ?
Amine décrit un solide : « Il a arêtes et sommets. » Karim calcule en appliquant la relation d'Euler et dit que ce solide a faces. A-t-il raison ?
Amine remplit un aquarium en forme de pavé droit de dimensions . Sachant que , quelle quantité d'eau, en litres, l'aquarium peut-il contenir au maximum ?
Un polyèdre convexe a faces et sommets. En utilisant la relation d'Euler, combien d'arêtes possède-t-il ?
On considère un pavé droit posé sur une table. On le coupe par un plan parallèle à la base (horizontal). Quelle est la forme de la section obtenue (la surface de coupe) ?
Karim affirme : « Si je coupe une citerne cylindrique par un plan parallèle à ses bases, j'obtiens un disque de même rayon que les bases. »
Yasmine veut recouvrir d'une étiquette la surface latérale (le pourtour) d'une boîte de conserve cylindrique de rayon et de hauteur . En déroulant cette surface, elle obtient un rectangle. Quelle est l'aire de l'étiquette, en (on prend ) ?
On dessine un pavé droit en perspective cavalière, vu de telle sorte qu'un seul sommet est totalement caché à l'arrière. Combien d'arêtes, au minimum, seront tracées en pointillés dans ce dessin ?
Salma observe sur un globe que Casablanca (environ N) et Tanger (environ N) sont presque sur le même méridien. Elle affirme : « Comme elles ont à peu près la même longitude, c'est leur différence de latitude qui mesure leur écart nord-sud. »
On numérote les six faces d'un patron de cube en forme de croix : une bande verticale de quatre carrés numérotés , , , de haut en bas, et deux carrés et collés à gauche et à droite du carré . Une fois le cube replié, quelle face se retrouve opposée (parallèle) à la face ?
Dans un pavé droit de dimensions , on prend un sommet comme origine et les trois arêtes issues de comme axes. Le sommet opposé à a donc pour coordonnées . Quelles sont les coordonnées du milieu de l'arête verticale qui part du sommet opposé à et descend ?
Amine installe sur le toit de sa maison à Casablanca une citerne d'eau en forme de cylindre droit de rayon et de hauteur . On prendra .
a) Décris le patron de cette citerne (nature et nombre des pièces).
b) Calcule le volume de la citerne en , puis convertis-le en litres (rappel : ).
c) Amine consomme environ d'eau par jour. Pendant combien de jours, au maximum, une citerne pleine couvre-t-elle ses besoins ?