La translation — exercices corrigés

Une translation est entièrement définie par :

Sur un quadrillage, le point $A$ a pour coordonnées $(2;3)$. On applique la translation de vecteur « $+4$ cases en $x$, $+1$ case en $y$ ». Quelles sont les coordonnées de l'image $A^{\mathrm{\prime }}$ ?

Le segment $[AB]$ mesure $5\text{ cm}$. Son image $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$ par une translation mesure aussi $5\text{ cm}$. Est-ce vrai ?

La translation « $3$ cases vers la droite » et la translation « $3$ cases vers la gauche » sont deux translations différentes. Est-ce vrai ?

Pour construire l'image d'un triangle $ABC$ par une translation, combien de sommets faut-il déplacer ?

Après une translation, la figure image et la figure de départ sont superposables (on peut les faire coïncider par un glissement). Est-ce vrai ?

La translation transforme $A$ en $B$ et $C$ en $D$. Quel quadrilatère les quatre points $A$, $B$, $D$, $C$ forment-ils ?

Le point $B$ a pour coordonnées $(3;5)$. On applique la translation de vecteur « $+4$ en $x$, $0$ en $y$ ». Quelle est l'abscisse de l'image $B^{\mathrm{\prime }}$ ?

Un triangle rectangle est translaté. Son image est aussi un triangle rectangle. Est-ce vrai ?

Dans une frise de zellige, chaque motif est obtenu à partir du motif précédent par :

Sur un plan de la médina de Fès, le point $A$ a pour coordonnées $(5;4)$. On applique la translation de vecteur « $-3$ cases en $x$, $+2$ cases en $y$ ». Quelles sont les coordonnées de l'image $A^{\mathrm{\prime }}$ ?

La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ transforme le point $M$ en le point $M^{\mathrm{\prime }}$. Comment appelle-t-on le point $M^{\mathrm{\prime }}$ ?

Un carreau de zellige en forme de rectangle a une aire de $30{\text{cm}}^2$. Son image par une translation a une aire de $60{\text{cm}}^2$ car le vecteur de translation mesure le double du côté. Est-ce vrai ?

Pour décrire entièrement une translation, il suffit de connaître la direction du déplacement et sa longueur, sans avoir besoin de préciser le sens. Est-ce vrai ?

Un triangle possède un angle droit. Après une translation, son image possède elle aussi un angle droit. Est-ce vrai ?

Le point $C$ a pour coordonnées $(6;2)$. On applique la translation de vecteur « $-5$ en $x$, $+3$ en $y$ ». Quelle est l'abscisse de l'image $C^{\mathrm{\prime }}$ ?

Le segment $[EF]$ mesure $8\text{ cm}$. On construit son image $[E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}]$ par une translation de vecteur de longueur $12\text{ cm}$. Quelle est la longueur de $[E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}]$, en centimètres ?

Un artisan de Tétouan répète un motif de zellige pour former une frise. Quelle condition garantit que la frise est obtenue par des translations ?

Le point $D$ a pour coordonnées $(4;1)$. On applique la translation de vecteur « $0$ en $x$, $+5$ en $y$ ». Quelles sont les coordonnées de l'image $D^{\mathrm{\prime }}$ ?

Karim déplace une figure sur un plan : il glisse le coin gauche de $3\text{ cm}$ vers la droite, mais le coin droit de seulement $1\text{ cm}$ vers la droite. S'agit-il d'une translation ?

Le triangle $ABC$ a pour sommets $A(1;2)$, $B(4;2)$, $C(1;5)$. On applique la translation de vecteur « $-2$ en $x$, $+3$ en $y$ ». Quelles sont les coordonnées de $B^{\mathrm{\prime }}$, image de $B$ ?

On sait que la translation transforme $A(2;5)$ en $A^{\mathrm{\prime }}(6;3)$. Quel est le vecteur de cette translation ?

Un triangle $PQR$ a pour côtés $PQ=7\text{ cm}$, $QR=5\text{ cm}$, $PR=6\text{ cm}$. On le translate par la translation de vecteur « $+10\text{ cm}$ vers la droite, $+3\text{ cm}$ vers le haut ». Quel est le périmètre du triangle image $P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }}$ ?

La droite $(d)$ est horizontale. On applique une translation de vecteur « $+5$ en $x$, $+3$ en $y$ ». L'image de $(d)$ par cette translation est une droite horizontale distincte de $(d)$. Est-ce vrai ?

La translation transforme $A(0;0)$ en $B(3;2)$ et $C(1;4)$ en $D(4;6)$. Dans quel ordre les quatre points forment-ils un parallélogramme ?

La translation de vecteur « $+5$ en $x$, $-3$ en $y$ » transforme un point $M$ en $M^{\mathrm{\prime }}(8;1)$. Quelles sont les coordonnées de $M$ ?

Un carré de côté $4\text{ cm}$ est translaté. L'aire de l'image est de $16{\text{cm}}^2$. Est-ce vrai ?

Le segment $[AB]$ a $A(0;0)$ et $B(5;12)$ pour extrémités. On calcule $AB=\sqrt{5^2+{12}^2}=13\text{ cm}$. On applique une translation quelconque. Quelle est la longueur de $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$, image de $[AB]$ ?

On applique la translation de vecteur « $+4$ en $x$, $0$ en $y$ » à la droite $(d)$ d'équation $y=3$. La droite image est la même droite $(d)$. Est-ce vrai ?

On applique successivement deux translations : d'abord la translation de vecteur « $+3$ en $x$, $+1$ en $y$ », puis la translation de vecteur « $+2$ en $x$, $-4$ en $y$ ». Quel est l'effet global sur un point $M(1;1)$ ?

Une translation transforme le point $M(7;5)$ en le point $M^{\mathrm{\prime }}(2;8)$. Quelles sont les composantes du vecteur de cette translation ?

Par la translation de vecteur « $+3$ en $x$, $-4$ en $y$ », un point $A$ a pour image $A^{\mathrm{\prime }}(10;1)$. Quelles sont les coordonnées de l'antécédent $A$ ?

Une droite $(d)$ est horizontale. On lui applique une translation de vecteur « $+2$ en $x$, $+5$ en $y$ ». L'image $(d^{\mathrm{\prime }})$ est une droite horizontale parallèle à $(d)$, mais distincte d'elle. Est-ce vrai ?

Sur un plan de la médina de Marrakech, on applique la translation de vecteur « $+2$ en $x$, $-3$ en $y$ » au segment $[EF]$ avec $E(1;4)$ et $F(5;6)$. Quelles sont les coordonnées des images $E^{\mathrm{\prime }}$ et $F^{\mathrm{\prime }}$ ?

La translation de vecteur « $+6$ en $x$, $-2$ en $y$ » transforme $A$ en $A^{\mathrm{\prime }}$. Pour revenir de $A^{\mathrm{\prime }}$ à $A$, il faut appliquer la translation de vecteur « $-6$ en $x$, $+2$ en $y$ ». Est-ce vrai ?

Un triangle $RST$ a une base $RS=8\text{ cm}$ et une hauteur associée de $6\text{ cm}$. On lui applique une translation de vecteur « $+12\text{ cm}$ vers la droite, $+4\text{ cm}$ vers le haut ». Quelle est l'aire, en ${\text{cm}}^2$, du triangle image $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$ ?

La translation transforme $C(2;1)$ en $D(6;4)$. Elle transforme aussi le point $A(3;5)$ en un point $B$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?

Dans un triangle $KLM$, l'angle $\widehat{KLM}$ mesure $55\mathrm{°}$. On applique au triangle une translation de vecteur « $+9\text{ cm}$ vers la droite, $-2\text{ cm}$ vers le bas ». Quelle est la mesure, en degrés, de l'angle $\widehat{K^{\mathrm{\prime }}{L}^{\mathrm{\prime }}{M}^{\mathrm{\prime }}}$ dans le triangle image ?

Salma affirme : « Quand je translate un triangle, l'image est le miroir du triangle de départ, comme dans une symétrie. » Est-ce vrai ?

Un artisan de Meknès construit une frise de zellige en répétant un motif vers la droite avec la translation de vecteur « $+5$ en $x$, $0$ en $y$ ». Un coin du motif de départ est au point $P(2;3)$. Où se trouve le coin correspondant sur le troisième motif (l'original étant le premier) ?

Salma translate le triangle $ABC$ d'un atelier de zellige à Fès : elle déplace $A$ et $B$ avec le vecteur, puis dit « le troisième sommet, je le relie au jugé, ça suffit ». Sa figure est-elle une image correcte ?

Karim affirme : « Si je translates un triangle de vecteur très long — disons $100\text{ cm}$ — il deviendra beaucoup plus grand que si je le translate de $1\text{ cm}$. »

Réfute l'affirmation de Karim en citant la propriété appropriée et en donnant un exemple numérique.

Salma étudie la translation qui transforme $A(0;0)$ en $B(4;2)$ et $C(1;3)$ en $D(5;5)$. Elle note : « Les quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ (dans cet ordre) forment un parallélogramme $ABCD$. »

Salma commet une erreur sur l'ordre des sommets. Identifie-la et écris le bon ordre, en justifiant.

La translation transforme $A(1;2)$ en $B(5;4)$. Elle transforme aussi $C(3;6)$ en $D$.

Quelle est l'abscisse de $D$ ?

On sait que $EFGH$ est un parallélogramme avec $E(0;0)$, $F(5;0)$, $G(7;3)$, $H(2;3)$. Quel est le vecteur de la translation qui transforme $E$ en $F$ ?

Un cercle a pour centre $\mathrm{\Omega }(2;3)$ et pour rayon $5\text{ cm}$. On applique la translation de vecteur « $+6$ en $x$, $-4$ en $y$ ». Quel est le rayon du cercle image ?

Yasmine crée un pavage pour le sol d'un salon à Casablanca. Son motif de base est un carré de côté $20\text{ cm}$. Elle reproduit ce motif en utilisant deux translations :

• Translation $T_1$ : « $+20\text{ cm}$ en $x$, $0$ en $y$ » (vers la droite)
• Translation $T_2$ : « $0$ en $x$, $+20\text{ cm}$ en $y$ » (vers le haut)

1. Le motif image par $T_1$ est-il superposable au motif de départ ? Justifie.
2. Combien de copies du motif (en comptant l'original) faut-il pour couvrir un sol de $100\text{ cm}\times 60\text{ cm}$ ?
3. Quel est le périmètre total de chaque copie du motif ?

La translation transforme $P(6;7)$ en $P^{\mathrm{\prime }}(4;5)$. Elle transforme aussi $Q(8;4)$ en $Q^{\mathrm{\prime }}$.

Quelle est l'ordonnée de $Q^{\mathrm{\prime }}$ ?

Amine affirme : « Appliquer deux fois de suite la translation de vecteur « $+3$ en $x$, $+1$ en $y$ » a le même effet que d'appliquer une seule fois la translation de vecteur « $+6$ en $x$, $+2$ en $y$ ». » Est-ce vrai ?

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles. On applique la même translation à toutes les droites du plan. Qu'obtient-on pour les images $(d_1^{\mathrm{\prime }})$ et $(d_2^{\mathrm{\prime }})$ ?

En regardant un carrelage de la salle de bain de sa maison à Fès, Karim observe : « Chaque carreau est l'image du précédent par une rotation, pas par une translation, parce que les carreaux ne se superposent pas exactement par glissement. »

Amine lui répond : « Non, c'est bien une translation. »

Qui a raison ? Explique la différence entre une translation et une rotation, et donne le critère qui permet de distinguer les deux transformations dans un pavage régulier.

Sur un plan de la médina de Fès, un point $M(1;2)$ subit d'abord la translation de vecteur « $+3$ en $x$, $+4$ en $y$ », puis la translation de vecteur « $-1$ en $x$, $+2$ en $y$ ». Quelles sont les coordonnées du point final $M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ ?

Dans une frise de zellige, un motif a un coin au point $A(3;2)$. Sur le motif suivant, le coin correspondant est en $A^{\mathrm{\prime }}(9;2)$. Tous les motifs de la frise sont obtenus par la même translation horizontale. Le dernier motif de la frise a son coin correspondant en $X(33;2)$.

Combien de motifs identiques compte la frise au total, en comptant le premier ?

Yasmine sait que la translation de vecteur « $+5$ en $x$, $-3$ en $y$ » transforme le point $P$ en $P^{\mathrm{\prime }}(8;1)$. Elle affirme : « Pour retrouver $P$, j'ajoute le vecteur à $P^{\mathrm{\prime }}$ ; donc $P(13;-2)$. » Est-ce vrai ?

Une droite $(d)$ est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées). Parmi les translations suivantes, laquelle laisse $(d)$ globalement invariante, c'est-à-dire telle que son image $(d^{\mathrm{\prime }})$ coïncide avec $(d)$ ?

La translation qui transforme $C(1;2)$ en $D(9;8)$ transforme aussi un point $A$ en un point $B$, de sorte que $ABDC$ est un parallélogramme avec $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Quelle est la longueur du côté $[CD]$, en unités ?

Karim raisonne : « Si je translate un rectangle avec un vecteur deux fois plus long, l'aire de l'image sera deux fois plus grande. » Est-ce vrai ?

Le point $A(2;3)$ a pour image $A^{\mathrm{\prime }}(2;3)$ par une certaine translation : il est resté à sa place. Quel est le vecteur de cette translation, et que peut-on en dire pour les autres points du plan ?

Yasmine se déplace dans la médina de Tétouan en suivant un plan quadrillé. Elle part de la place $P(2;1)$ et marche en ligne droite jusqu'à la fontaine $F$, en effectuant une translation de vecteur « $+6$ en $x$, $+4$ en $y$ » (chaque unité vaut $50\text{ m}$).

1. Quelles sont les coordonnées de la fontaine $F$ ?
2. Depuis la fontaine, Yasmine applique le même déplacement une seconde fois pour rejoindre le souk $S$. Quelles sont les coordonnées de $S$ ?
3. La distance à vol d'oiseau entre la place et la fontaine correspond à la longueur du vecteur. Sachant que les composantes sont $6$ et $4$... Yasmine pense que le trajet de la fontaine au souk est plus long que celui de la place à la fontaine. A-t-elle raison ? Justifie.

Salma décore un mur de sa maison à Rabat avec un pavage de zellige. Son motif de base est un rectangle $MNOP$ : $M(0;0)$, $N(4;0)$, $O(4;3)$, $P(0;3)$ (unité : $10\text{ cm}$). Elle reproduit le motif avec deux translations :

• Translation $T_1$ : « $+4$ en $x$, $0$ en $y$ » (vers la droite)
• Translation $T_2$ : « $0$ en $x$, $+3$ en $y$ » (vers le haut)

1. Donne les coordonnées de l'image $M^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }}{O}^{\mathrm{\prime }}{P}^{\mathrm{\prime }}$ du motif par la translation $T_1$.
2. Salma affirme : « Comme je translate vers la droite, le rectangle image sera plus large que l'original. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. Combien de copies du motif (en comptant l'original) faut-il pour couvrir un mur de $20$ unités de large sur $9$ unités de haut, sachant que $T_1$ et $T_2$ pavent sans trou ?

Le segment $[AB]$ a pour extrémités $A(2;2)$ et $B(8;6)$. Soit $I$ le milieu de $[AB]$. On applique la translation de vecteur « $+3$ en $x$, $-1$ en $y$ ». Quelles sont les coordonnées de l'image $I^{\mathrm{\prime }}$ du milieu ?