Les grandeurs composées

La vitesse moyenne

Rouler à 100 km/h ne signifie pas qu'on maintient exactement cette allure à chaque instant. Cela signifie que si l'on avait roulé à vitesse constante sur tout le trajet, on aurait parcouru 100 km en 1 heure. C'est ce qu'on appelle la vitesse moyenne.

La formule $v={\displaystyle \frac{d}{t}}$ contient en réalité trois formules en une. Tu as appris à isoler une lettre dans le chapitre sur le calcul littéral : applique-le ici.

Méthode — les trois formules du triangle $d$/$v$/$t$. En partant de $v={\displaystyle \frac{d}{t}}$, on isole chacune des trois grandeurs :

$v={\displaystyle \frac{d}{t}}d=v\times tt={\displaystyle \frac{d}{v}}$

Moyen mémo : couvre dans le triangle la grandeur cherchée, les deux restantes indiquent l'opération (côte à côte → multiplication ; l'une sur l'autre → division).

Exemple 1. La voiture de la famille de Yasmine roule 240 km en 3 h. Quelle est la vitesse moyenne ?

$v={\displaystyle \frac{240}{3}}=80\text{ km/h}$

Exemple 2. Sur la route de Rabat, Amine roule à 120 km/h pendant $\mathrm{1,5}$ h. Quelle distance parcourt-il ?

$d=v\times t=120\times \mathrm{1,5}=180\text{ km}$

Exemple 3. Yasmine veut parcourir 60 km à vélo à 15 km/h. Combien de temps lui faudra-t-il ?

$t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{60}{15}}=4\text{ h}$

Le piège de la moyenne des vitesses

Karim calcule la vitesse moyenne d'un trajet en deux parties : « La première moitié à 60 km/h, la deuxième à 120 km/h, donc la vitesse moyenne est ${\displaystyle \frac{60+120}{2}}=90$ km/h. » C'est faux. La vitesse moyenne se calcule avec la distance totale et la durée totale, et non en faisant la moyenne arithmétique des vitesses partielles. Pour un trajet de 120 km (60 km à 60 km/h puis 60 km à 120 km/h) : durée 1ère partie $={\displaystyle \frac{60}{60}}=1$ h ; durée 2ème partie $={\displaystyle \frac{60}{120}}=\mathrm{0,5}$ h ; durée totale $=\mathrm{1,5}$ h ; vitesse moyenne $={\displaystyle \frac{120}{\mathrm{1,5}}}=80$ km/h.

Convertir les unités de vitesse

En sciences physiques et dans certains calculs techniques, on exprime les vitesses en m/s plutôt qu'en km/h. Savoir passer de l'une à l'autre est indispensable pour ne pas commettre d'erreurs d'unités.

Du km/h au m/s

$1\text{ km}=1000\text{ m}$ et $1\text{ h}=3600\text{ s}$.

$1\text{ km/h}={\displaystyle \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,6}}}\text{ m/s}$

Exemple 1. Le tramway de Casablanca roule à $54\text{ km/h}$. Quelle est cette vitesse en m/s ?

$54÷\mathrm{3,6}=15\text{ m/s}$

Exemple 2. Une balle lancée à $20\text{ m/s}$ : quelle vitesse en km/h ?

$20\times \mathrm{3,6}=72\text{ km/h}$

Cohérence des unités et durées en heures-minutes

Une erreur très fréquente est de calculer $d=v\times t$ en laissant $t$ en minutes alors que $v$ est en km/h. Les unités doivent être cohérentes : si $v$ est en km/h, $t$ doit être en heures décimales.

Exemple 3. Yasmine roule à 90 km/h pendant 40 min. Quelle distance parcourt-elle ?

$40\text{ min}={\displaystyle \frac{40}{60}}\text{ h}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{ h}\approx \mathrm{0,667}\text{ h}$.

$d=90\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=60\text{ km}$

Le piège du 1 h 30 min = 1,30 h

Salma calcule la distance parcourue à 80 km/h pendant 1 h 30 min. Elle écrit $d=80\times \mathrm{1,30}=104$ km. C'est faux. $\mathrm{1,30}\text{ h}=1\text{ h}+\mathrm{0,30}\text{ h}=1\text{ h }18\text{ min}$ — ce n'est pas du tout 1 h 30 min. La durée correcte est $\mathrm{1,5}$ h, car $30\text{ min}={\displaystyle \frac{30}{60}}\text{ h}=\mathrm{0,5}\text{ h}$. Le calcul correct est $d=80\times \mathrm{1,5}=120$ km.

Le débit

Un robinet remplit un seau. Une pompe alimente un bassin. Une station-service déverse du carburant dans un réservoir. Dans tous ces cas, on s'intéresse à un volume versé par unité de temps : c'est le débit.

Exactement comme pour la vitesse, le débit donne trois formules :

$D={\displaystyle \frac{V}{t}}V=D\times tt={\displaystyle \frac{V}{D}}$

Exemple 1. Un robinet verse 24 L en 4 min. Quel est son débit ?

$D={\displaystyle \frac{24}{4}}=6\text{ L/min}$

Exemple 2. Une pompe débite 120 L/min. Combien de litres verse-t-elle en 3 min 30 s ?

$3\text{ min }30\text{ s}=\mathrm{3,5}\text{ min}$.

$V=120\times \mathrm{3,5}=420\text{ L}$

Exemple 3. Un bassin de 3 600 L est rempli par une pompe de débit 45 L/min. Combien de temps faut-il ?

$t={\displaystyle \frac{3600}{45}}=80\text{ min}=1\text{ h }20\text{ min}$

Deux robinets en simultané

Quand deux robinets fonctionnent en même temps, leurs débits s'additionnent.

Exemple 4. Robinet A : $8\text{ L/min}$ ; Robinet B : $4\text{ L/min}$. Ensemble, ils remplissent un bassin de 360 L. Durée ?

Débit total $=8+4=12\text{ L/min}$.

$t={\displaystyle \frac{360}{12}}=30\text{ min}$

Le piège : débit ≠ volume

Amine lit « débit : 6 L/min » et conclut que le robinet a versé 6 L. Faux : 6 L/min est un rythme. Le volume total dépend du temps écoulé. En 10 min : $V=6\times 10=60\text{ L}$.

Autres grandeurs composées : quotients et produits

La vitesse et le débit ne sont que deux exemples d'une famille plus large. Autour de toi, de nombreuses grandeurs résultent d'un quotient ou d'un produit entre deux grandeurs.

La masse volumique

Exemple 1. Un bidon de $5\text{ L}$ d'huile d'olive pèse $\mathrm{4,6}\text{ kg}$. Masse volumique ?

$\mu ={\displaystyle \frac{\mathrm{4,6}}{5}}=\mathrm{0,92}\text{ kg/L}$

Comme $\mathrm{0,92}<1$, l'huile est moins dense que l'eau : elle flotte. Les coopératives d'huile d'argan du Souss affichent systématiquement cette valeur sur leurs bidons.

La consommation de carburant

La consommation d'un véhicule s'exprime en L/100 km : le volume de carburant consommé pour parcourir 100 km.

Exemple 2. La voiture des parents de Yasmine consomme $\mathrm{7,5}\text{ L/100 km}$. Pour le trajet Casablanca–Marrakech (240 km) :

$240\text{ km}=\mathrm{2,4}\times 100\text{ km}$, donc $V=\mathrm{2,4}\times \mathrm{7,5}=18\text{ L}$.

Le prix unitaire

Exemple 3. Au souk de Casablanca, 3 kg de dattes coûtent 75 dh. Prix unitaire ? Prix pour 1,5 kg ?

$p={\displaystyle \frac{75}{3}}=25\text{ dh/kg}\text{prix pour }\mathrm{1,5}\text{ kg}=25\times \mathrm{1,5}=\mathrm{37,5}\text{ dh}$

Reconnaître une grandeur composée

Grandeur composée	Formule	Unité courante
Vitesse	$v={\displaystyle \frac{d}{t}}$	km/h, m/s
Débit	$D={\displaystyle \frac{V}{t}}$	L/min, m³/h
Masse volumique	$\mu ={\displaystyle \frac{m}{V}}$	kg/L, g/cm³
Prix unitaire	$p={\displaystyle \frac{\text{prix}}{q}}$	dh/kg, dh/L
Consommation	$c={\displaystyle \frac{V}{100\text{ km}}}$	L/100 km

Le piège des unités différentes

Karim compare deux robinets : « Robinet A : 120 L/h ; Robinet B : 3 L/min. Lequel est le plus rapide ? » Il dit A car 120 > 3. Faux : les unités sont différentes. En convertissant : $3\text{ L/min}=3\times 60=180\text{ L/h}$. Donc B est plus rapide.

Pièges classiques

1. Faire la moyenne des vitesses. Si l'on roule 60 km à 60 km/h puis 60 km à 120 km/h, la vitesse moyenne n'est pas ${\displaystyle \frac{60+120}{2}}=90$ km/h. Il faut calculer la durée totale ($1+\mathrm{0,5}=\mathrm{1,5}$ h) et la distance totale (120 km) : $v={\displaystyle \frac{120}{\mathrm{1,5}}}=80$ km/h.

2. Confondre 1 h 30 min et 1,30 h. $1\text{ h }30\text{ min}=\mathrm{1,5}\text{ h}$ car $30\text{ min}={\displaystyle \frac{30}{60}}\text{ h}=\mathrm{0,5}\text{ h}$. En revanche $\mathrm{1,30}\text{ h}=1\text{ h}+\mathrm{0,30}\text{ h}=1\text{ h }18\text{ min}$. Les durées ne s'écrivent pas comme des nombres décimaux ordinaires.

3. Oublier de convertir la durée avant de calculer. Si $v$ est en km/h et $t$ est en minutes, il faut d'abord convertir $t$ en heures. Écrire $d=90\times 40$ quand $t=40$ min donne 3 600 km — un résultat absurde, signal d'alarme immédiat.

4. Confondre débit et volume total. Un débit de 5 L/min ne signifie pas que le volume versé est 5 L. Le volume dépend de la durée : $V=D\times t$.

5. Comparer des grandeurs composées sans harmoniser les unités. Avant de comparer km/h et m/s, ou L/h et L/min, on convertit toujours dans la même unité.

6. Confondre masse volumique et masse. Deux objets de même matériau mais de volumes différents ont la même masse volumique mais des masses différentes. La masse volumique est une propriété du matériau, indépendante de la taille de l'échantillon.

Application concrète

Yasmine organise le trajet familial Casablanca–Marrakech (240 km). Amine vérifie la consommation, Karim calcule l'arrivée, et Salma tente de lire le panneau de vitesse.

Étape 1 — Calculer la vitesse moyenne prévue.

Le GPS indique une durée de trajet de 3 h. Quelle vitesse cela suppose-t-il ?

$v={\displaystyle \frac{240}{3}}=80\text{ km/h}$

Étape 2 — Convertir pour comparer.

Yasmine voit sur son téléphone que la vitesse maximale sur l'autoroute est de $\mathrm{33,3}\text{ m/s}$ environ. Est-ce raisonnable ?

$\mathrm{33,3}\times \mathrm{3,6}\approx 120\text{ km/h}$

C'est bien la limitation habituelle sur autoroute marocaine.

Étape 3 — Calculer la consommation de carburant.

La voiture consomme $8\text{ L/100 km}$. Pour 240 km :

$240=\mathrm{2,4}\times 100$, donc $V=\mathrm{2,4}\times 8=\mathrm{19,2}\text{ L}$.

Amine vérifie que le réservoir de 50 L est suffisant : il l'est.

Étape 4 — Compter la durée avec un arrêt.

Départ à 7 h 00. Arrêt prévu de 20 min à Settat. Arrivée prévue ?

Durée de route : ${\displaystyle \frac{240}{80}}=3$ h. Durée totale avec arrêt : 3 h 20 min. Arrivée : 7 h 00 + 3 h 20 min = 10 h 20.

Étape 5 — Corriger Salma.

Salma voit un panneau « 90 » sur une route de campagne et dit : « C'est la même chose que 25 m/s. » Karim vérifie : $90\text{ km/h}÷\mathrm{3,6}=25\text{ m/s}$. Cette fois, Salma a raison — la coïncidence est réelle.

Conclusion. Un seul trajet mobilise vitesse, conversion d'unités, consommation (L/100 km) et addition de durées. Ce sont toutes des grandeurs composées : à chaque fois, on identifie les deux grandeurs en jeu, on s'assure de la cohérence des unités, puis on choisit l'opération. Cette logique te suivra bien au-delà du collège : en 2de, tu approfondiras les conversions d'unités de façon systématique ; en physique-chimie, tu utiliseras ces mêmes structures pour les lois du mouvement et les lois des gaz.

À retenir