La proportionnalité en géométrie

Agrandissement et réduction

Quand une photocopieuse passe de 100 % à 150 %, ou quand un architecte dessine un plan à l'échelle, elle applique la même idée : multiplier toutes les longueurs d'une figure par un nombre fixe.

Exemple 1. Un triangle a pour côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm. On l'agrandit avec $k=2$. Les côtés de la nouvelle figure mesurent $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm. Les angles restent identiques.

Exemple 2. Un rectangle de $15$ cm sur $9$ cm est réduit en un rectangle de $5$ cm sur $3$ cm. Le coefficient est $k={\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ : c'est une réduction.

Exemple 3. Yasmine veut reproduire un motif de zellige de $8$ cm de côté en lui appliquant $k=\mathrm{1,5}$. Elle obtient un motif de $8\times \mathrm{1,5}=12$ cm de côté, avec les mêmes angles.

Le piège de l'angle qui change

Karim pense que si on agrandit une figure, ses angles deviennent plus grands eux aussi. C'est faux : les angles sont toujours conservés lors d'un agrandissement ou d'une réduction. Seules les longueurs changent (elles sont multipliées par $k$). Un triangle rectangle reste rectangle, un angle de $40\mathrm{°}$ reste à $40\mathrm{°}$.

Les échelles

Un plan de Casablanca, une carte du Maroc, une maquette d'immeuble : dans tous ces cas, on représente une réalité grande dans un espace réduit. L'échelle dit exactement dans quel rapport.

Méthode (lire une échelle). Une échelle notée ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ (ou « 1 : $n$ ») signifie que $1$ unité sur le plan représente $n$ unités dans la réalité.

Calculer une distance réelle à partir d'une mesure sur le plan : $\text{distance r}\acute{\text{e}}\text{elle}=\text{mesure sur le plan}\times n$

Calculer une mesure sur le plan à partir d'une distance réelle : $\text{mesure sur le plan}={\displaystyle \frac{\text{distance r}\acute{\text{e}}\text{elle}}{n}}$

Exemple 1. Sur une carte du Maroc à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{5000000}}$, deux villes sont distantes de $3$ cm sur la carte. La distance réelle est $3\times 5000000=15000000$ cm $=150$ km.

Exemple 2. Amine mesure $\mathrm{4,5}$ cm entre deux intersections sur un plan de Casablanca à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{20000}}$. La distance réelle est $\mathrm{4,5}\times 20000=90000$ cm $=900$ m.

Exemple 3. Le père de Yasmine veut représenter un couloir de $6$ m sur une maquette à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{100}}$. Il convertit : $6$ m $=600$ cm, puis calcule ${\displaystyle \frac{600}{100}}=6$ cm sur la maquette.

Le piège de Salma et l'échelle à l'envers

Salma lit l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{50000}}$ d'une carte et pense : « 1 km sur la carte correspond à 50 000 km dans la réalité. » Elle a confondu numérateur et dénominateur. L'échelle ${\displaystyle \frac{1}{50000}}$ signifie ${\displaystyle \frac{\text{carte}}{\text{r}\acute{\text{e}}\text{el}}}$ : c'est $1$ cm sur la carte qui représente $50000$ cm $=500$ m dans la réalité. La carte est plus petite que la réalité, donc le dénominateur est grand.

Effet sur les aires

On connaît l'effet sur les longueurs. Mais si on double tous les côtés d'un carré, est-ce que son aire double aussi ?

Exemple 1. Un carré de côté $3$ cm a une aire de $9$ cm². Si on l'agrandit avec $k=2$, le nouveau côté est $6$ cm et la nouvelle aire est $36$ cm² $=4\times 9$ cm². On vérifie : $k^2=4$.

Exemple 2. Un carré de côté $4$ cm est réduit avec $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$. La nouvelle aire est ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\times 16={\displaystyle \frac{1}{4}}\times 16=4$ cm². On peut le vérifier : le nouveau côté est $2$ cm, donc l'aire est $4$ cm².

Exemple 3. Yasmine agrandit une photo carrée de $10$ cm de côté avec $k=3$. La nouvelle photo fait $30$ cm de côté. L'aire passe de $100$ cm² à $900$ cm² : elle est multipliée par $9=3^2$.

Le piège du coefficient appliqué à l'aire

Karim agrandit un rectangle d'aire $20$ cm² avec $k=3$. Il calcule la nouvelle aire : $20\times 3=60$ cm². Erreur : les longueurs sont multipliées par $3$, mais l'aire est multipliée par $3^2=9$. La bonne réponse est $20\times 9=180$ cm². Retiens : longueurs $\times k$ implique aires $\times k^2$.

Effet sur les volumes

Agrandir une maquette ou un solide change son volume encore plus radicalement que son aire.

Exemple 1. Un cube de côté $2$ cm a un volume de $8$ cm³. Si on l'agrandit avec $k=3$, le nouveau côté est $6$ cm et le nouveau volume est $216$ cm³ $=27\times 8$ cm³. On vérifie : $k^3=27$.

Exemple 2. La maquette du père de Yasmine représente un immeuble à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{100}}$. Si la maquette a un volume de $1500$ cm³, le volume réel de l'immeuble est $1500\times {100}^3=1500\times 1000000=1500000000$ cm³ $=1500$ m³.

Exemple 3. Amine réduit un solide avec $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Son volume est multiplié par ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$ : le volume est divisé par $8$.

Le piège des puissances mélangées

Salma agrandit un cube avec $k=2$. Elle calcule sa nouvelle aire totale : elle multiplie par $k^3=8$. Erreur : l'aire est une surface (deux dimensions), donc elle est multipliée par $k^2=4$, et non $k^3$. Le volume est la seule grandeur à être multipliée par $k^3$. Retiens : longueurs $\times k$, aires $\times k^2$, volumes $\times k^3$.

Pièges classiques

1. Croire que les angles changent lors d'un agrandissement. Les angles sont toujours conservés. Seules les longueurs sont multipliées par $k$.

2. Lire l'échelle à l'envers. L'échelle ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ signifie que $1$ unité sur le plan correspond à $n$ unités réelles. Le dénominateur est grand car la réalité est grande.

3. Confondre unités lors d'un calcul d'échelle. Avant d'appliquer le rapport d'échelle, les deux distances doivent être dans la même unité.

4. Appliquer $k$ à l'aire au lieu de $k^2$. Si les longueurs sont multipliées par $k$, l'aire est multipliée par $k^2$. Pour $k=3$ : longueurs $\times 3$, aire $\times 9$.

5. Appliquer $k^2$ au volume au lieu de $k^3$. Le volume suit la puissance trois : pour $k=2$, le volume est multiplié par $8$, pas par $4$.

6. Confondre agrandissement et réduction. $k>1$ donne un agrandissement ; $0<k<1$ donne une réduction. Un $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$ divise toutes les longueurs par $3$.

Application concrète

Karim prépare un exposé sur la médina de Fès. Il dispose d'une photo aérienne de la médina qui, sur le papier, mesure $12$ cm de large et $8$ cm de haut. Il veut créer une affiche en agrandissant cette photo avec $k=3$, puis calculer l'espace occupé par l'affiche sur le mur de la classe.

Étape 1 — Dimensions de l'affiche. Toutes les longueurs sont multipliées par $k=3$ :

• Largeur : $12\times 3=36$ cm.
• Hauteur : $8\times 3=24$ cm.

Étape 2 — Aire de la photo originale. $A_{\text{orig}}=12\times 8=96$ cm².

Étape 3 — Aire de l'affiche. On applique le théorème : $A_{\text{affiche}}=k^2\times A_{\text{orig}}=9\times 96=864$ cm². On vérifie directement : $36\times 24=864$ cm².

Étape 4 — Lecture d'échelle. La photo aérienne est à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{5000}}$. Deux monuments sont distants de $\mathrm{3,6}$ cm sur la photo. La distance réelle est $\mathrm{3,6}\times 5000=18000$ cm $=180$ m.

Étape 5 — Vérification du coefficient. Karim vérifie que son affiche est bien un agrandissement de coefficient $3$ : ${\displaystyle \frac{36}{12}}=3$ et ${\displaystyle \frac{24}{8}}=3$. Les deux rapports sont égaux, la figure est bien une image homothétique de la photo.

Conclusion. La photo a occupé $96$ cm² et l'affiche en occupe $864$ cm² : l'aire a été multipliée par $9$. Un agrandissement de coefficient $3$ triple toutes les longueurs, quadruple les aires et multiplie les volumes par $27$. C'est la règle fondamentale de la proportionnalité en géométrie, que tu retrouveras dès que tu travailleras avec des figures semblables, des maquettes ou des cartes.

À retenir