62 exercices pour t'entraîner sur La proportionnalité en géométrie en 4ᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
Un rectangle a pour côtés cm et cm. Son image par une réduction a pour côtés cm et cm. Quel est le coefficient de cette réduction ? Donne-le sous forme décimale.
Le coefficient se calcule en faisant le rapport d'une longueur de l'image sur la longueur correspondante de l'original : . On vérifie avec l'autre côté : . Comme , c'est bien une réduction. Si tu as trouvé , tu as calculé : tu as inversé le rapport (original sur image au lieu d'image sur original).
On affirme : « Quand on agrandit un triangle de coefficient , ses angles sont multipliés par . » Est-ce vrai ?
B
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, seules les longueurs sont multipliées par . Les angles sont toujours conservés : un angle de reste , quelle que soit la valeur de . C'est précisément ce qui garantit que les deux figures ont la même forme — on parle de figures semblables.
Sur une carte du Maroc à l'échelle , la distance entre Casablanca et Marrakech mesure cm. Quelle est la distance réelle entre ces deux villes ? Donne la valeur en km.
km
Distance réelle = mesure sur la carte dénominateur de l'échelle. On calcule : cm. On convertit : cm m km. Si tu as trouvé , tu as oublié de convertir les cm en km (tu as calculé en km directement). Si tu as trouvé , tu as utilisé le facteur au lieu de .
On affirme : « Si on agrandit une figure avec , son aire est multipliée par . » Est-ce vrai ?
B
Quand les longueurs sont multipliées par , l'aire est multipliée par , et non par . Ici , donc l'aire est multipliée par . C'est le piège classique : confondre l'effet sur les longueurs () avec l'effet sur l'aire (). Par exemple un carré de côté cm (aire cm²) agrandi avec devient un carré de côté cm (aire cm²) : .
Un cube a un volume de cm³. On l'agrandit avec un coefficient . Quel est le volume du cube image ? Donne la valeur en cm³.
cm³
Quand les longueurs sont multipliées par , le volume est multiplié par . Ici , donc le nouveau volume est cm³. Si tu as trouvé , tu as multiplié par (effet sur les longueurs). Si tu as trouvé , tu as multiplié par (effet sur les aires). Si tu as trouvé , tu as calculé au lieu de .
Quelle est la bonne définition de l'échelle d'un plan ?
B
L'échelle est définie comme le rapport de la distance sur le plan sur la distance réelle, les deux mesures étant exprimées dans la même unité. Elle vaut toujours avec pour un plan ou une carte (qui est plus petit que la réalité). Si tu as répondu A, tu as inversé numérateur et dénominateur : ce rapport-là vaut toujours , ce qui donnerait une « échelle » plus grande que 1 pour un plan, ce qui n'a pas de sens.
Un segment mesure cm. On l'agrandit avec un coefficient . Quelle est la longueur de l'image de ce segment ?
15 cm
Pour trouver la longueur de l'image, on multiplie la longueur originale par le coefficient : cm. C'est la règle de base des agrandissements et réductions : toutes les longueurs sont multipliées par .
On applique un coefficient à une figure. De quelle transformation s'agit-il ?
B
La règle est simple : si , c'est un agrandissement ; si , c'est une réduction. Ici , donc toutes les longueurs sont réduites. La nature du coefficient (fraction, décimal, entier) n'entre pas en jeu : seule sa position par rapport à compte. Les distracteurs A et D regardent les chiffres et séparément au lieu de considérer la valeur de la fraction.
Sur un plan de Casablanca à l'échelle , Amine mesure cm entre deux arrêts de tramway. Quelle est la distance réelle entre ces deux arrêts, en mètres ?
600 m
Distance réelle = mesure sur le plan dénominateur. On calcule : cm. On convertit en mètres : cm m. N'oublie pas la conversion : l'échelle s'applique dans la même unité (ici des cm), donc le résultat brut est en cm.
On affirme : « Si on réduit un solide avec , son volume est divisé par . » Est-ce vrai ?
B
Le volume est multiplié par . Ici , donc le volume est multiplié par : le volume est divisé par , et non par . Si l'on confond l'effet sur les longueurs () avec l'effet sur le volume (), on commet l'erreur décrite. Par exemple, un cube de côté cm (volume cm³) réduit avec donne un cube de côté cm (volume cm³) : .
Un segment de cm est l'image d'un segment de cm par un agrandissement. Quel est le coefficient de cet agrandissement ? Donne-le sous forme décimale.
Le coefficient se calcule comme le rapport de la longueur image sur la longueur originale : . Comme , c'est bien un agrandissement. Si tu as trouvé , tu as inversé le rapport (, original sur image) : ce serait le coefficient de la réduction inverse, qui ramène le grand segment au petit.
On affirme : « Quand on agrandit un triangle rectangle avec , l'angle droit reste un angle droit. » Est-ce vrai ?
A
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, seules les longueurs sont multipliées par : les angles, eux, sont toujours conservés. Un angle droit de reste à , et le triangle reste rectangle. C'est ce qui garantit que la figure image a exactement la même forme que l'originale. Si tu as répondu Faux, tu as cru à tort que multiplier les côtés modifiait aussi les angles.
Yasmine reproduit un motif de zellige dont un côté mesure cm en l'agrandissant avec un coefficient . Combien mesure ce côté sur le motif agrandi, en cm ?
cm
Pour obtenir la longueur image, on multiplie la longueur originale par le coefficient : cm. Toutes les longueurs du motif sont multipliées par le même nombre , ce qui agrandit la figure sans déformer ses angles. Si tu avais ajouté au lieu de multiplier, tu aurais trouvé cm : un agrandissement est une multiplication, jamais une addition.
On agrandit une figure avec un coefficient . Par quel nombre son aire est-elle multipliée ? Réponds par un entier.
Si les longueurs sont multipliées par , l'aire est multipliée par . Ici , donc l'aire est multipliée par . Si tu as trouvé , tu as appliqué le coefficient des longueurs () à l'aire. Si tu as trouvé , tu as utilisé , qui est l'effet sur les volumes, pas sur les aires. Retiens : longueurs , aires , volumes .
On agrandit un solide avec un coefficient . Par quel nombre son volume est-il multiplié ? Réponds par un entier.
Si les longueurs sont multipliées par , le volume est multiplié par . Ici , donc le volume est multiplié par . Si tu as trouvé , tu as utilisé , qui est l'effet sur les aires, pas sur les volumes. Le volume combine trois longueurs (longueur × largeur × hauteur), chacune multipliée par , d'où la puissance trois.
Sur une carte du Maroc à l'échelle , la distance entre Rabat et Fès mesure cm. Quelle est la distance réelle entre ces deux villes, en kilomètres ?
km
La distance réelle s'obtient en multipliant la mesure sur la carte par le dénominateur de l'échelle : cm. On convertit ensuite : cm m km. N'oublie jamais la conversion finale : l'échelle s'applique en gardant la même unité (ici des centimètres), donc le résultat brut est en centimètres avant d'être ramené en kilomètres.
Salma lit l'échelle sur un plan et affirme : « cm sur le plan représente cm dans la réalité. » A-t-elle raison ?
A
L'échelle vaut . Une échelle signifie donc que cm sur le plan correspond à cm dans la réalité, soit m. Pour une fois, Salma a bien lu le sens du rapport. L'erreur classique aurait été d'inverser et de croire que cm sur le plan valent cm en réalité : le plan est plus petit que la réalité, donc le dénominateur est forcément le grand nombre.
Le père de Yasmine construit une maquette à l'échelle . Une pièce mesure m dans la réalité. Combien mesure-t-elle sur la maquette, en centimètres ?
cm
Pour passer de la réalité au plan, on divise par le dénominateur de l'échelle. Il faut d'abord convertir dans la même unité : m cm. On calcule ensuite cm. Si tu avais oublié la conversion et divisé m par , tu aurais trouvé m, soit cm aussi après conversion — mais la méthode propre consiste à tout exprimer en centimètres avant d'appliquer l'échelle.
Amine applique à une figure un coefficient . De quelle transformation s'agit-il ?
B
Le coefficient est compris strictement entre et : c'est donc une réduction, toutes les longueurs étant rendues plus petites. Un coefficient supérieur à donnerait un agrandissement. La réponse D est fausse : qu'il s'agisse d'un agrandissement ou d'une réduction, les angles sont toujours conservés. Le fait que s'écrive sous forme de fraction (réponse A) ne dit rien sur le sens : c'est sa valeur comparée à qui compte.
On affirme : « Si on agrandit un solide avec , son aire totale est multipliée par . » Est-ce vrai ?
A
L'aire — qu'il s'agisse d'une surface plane ou de l'aire totale d'un solide — est toujours multipliée par lorsque les longueurs sont multipliées par . Ici , donc l'aire totale est multipliée par . Attention au piège classique : seul le volume est multiplié par . L'aire reste une grandeur à deux dimensions, donc elle suit la puissance deux, même pour un solide.
Un triangle a un côté de cm. Son agrandissement a le côté correspondant mesurant cm. Quel est le coefficient de cet agrandissement ?
Le père de Yasmine construit une maquette à l'échelle . Un mur de l'immeuble réel mesure m de longueur. Quelle longueur doit mesurer ce mur sur la maquette, en centimètres ?
Un rectangle a une aire de cm². On l'agrandit avec un coefficient . Quelle est l'aire du rectangle image, en cm² ?
Karim mesure cm sur une carte entre deux villes. La distance réelle entre ces deux villes est km. Quelle est l'échelle de cette carte ?
Un cube a un volume de cm³. On le réduit avec un coefficient . Quel est le volume du cube réduit, en cm³ ?
L'image d'un segment mesure cm. Le coefficient de l'agrandissement est . Quelle était la longueur du segment original, en cm ?
Salma réduit un carré d'aire cm² avec . Elle affirme que le carré réduit a une aire de cm². Est-ce vrai ?
Amine utilise un plan de Casablanca à l'échelle . Il veut représenter une rue qui mesure m dans la réalité. Quelle longueur doit-il tracer sur le plan, en centimètres ?
Un triangle ABC a pour côtés cm, cm, cm. Son image A'B'C' a pour côtés cm, cm, cm. Parmi ces affirmations, laquelle est correcte ?
Un carré original a une aire de cm². Son image a une aire de cm². Yasmine dit que le coefficient de cet agrandissement est . Est-ce vrai ?
Un rectangle a pour côtés cm et cm. On le réduit avec un coefficient . Combien mesure, sur la figure réduite, le côté image du côté de cm, en cm ?
Sur un plan d'un quartier de Marrakech à l'échelle , Amine mesure cm entre la mosquée et le marché. Quelle est la distance réelle entre ces deux lieux, en mètres ?
Une figure a une aire de cm². On l'agrandit avec un coefficient . Quelle est l'aire de la figure image, en cm² ?
Un petit solide a un volume de cm³. On l'agrandit avec un coefficient . Quel est le volume du solide image, en cm³ ?
Le périmètre d'un triangle passe de cm à cm après un agrandissement. Quel est le coefficient de cet agrandissement ?
Après une réduction de coefficient , le côté image d'un carré mesure cm. Combien mesurait le côté du carré original, en cm ?
Une figure a une aire de cm². On la réduit avec un coefficient . Quelle est l'aire de la figure image, en cm² ?
Un solide a un volume de cm³. On le réduit avec un coefficient . Quel est le volume du solide image ?
Le père de Yasmine dessine le plan d'un appartement à l'échelle . Un mur mesure m dans la réalité. Quelle est sa longueur sur le plan, en centimètres ?
Sur une carte du Maroc à l'échelle , la distance entre Marrakech et Essaouira mesure cm. Quelle est la distance réelle entre ces deux villes, en kilomètres ?
Sur un plan de Rabat à l'échelle , Karim mesure cm entre deux places. Il écrit : « Distance réelle m. » Quelle est la vraie distance réelle ?
Salma applique le coefficient à un dessin et affirme : « C'est un agrandissement, car on multiplie par . » A-t-elle raison ?
L'image d'un rectangle par un agrandissement de coefficient a une aire de cm². Quelle était l'aire du rectangle original, en cm² ?
Un architecte dessine un appartement sur un plan à l'échelle . Sur le plan, un salon rectangulaire mesure cm sur cm. Quelle est l'aire réelle de ce salon, en cm² ?
La maquette d'un immeuble à l'échelle a un volume de cm³. Quel est le volume réel de l'immeuble, en cm³ ?
Salma regarde une carte touristique de Marrakech. L'échelle indiquée est . Elle mesure cm entre la place Jemaa el-Fna et les jardins de l'Agdal.
Salma dit : « L'échelle signifie que cm sur la carte représentent cm dans la réalité. Donc la distance réelle est cm. »
Explique l'erreur de Salma et calcule la vraie distance réelle entre les deux lieux, en mètres.
Le volume d'un solide passe de cm³ à cm³ après un agrandissement. Quel est le coefficient de cet agrandissement ?
Un cube a un côté de cm. On l'agrandit avec . Quelle est l'aire totale du cube agrandi, en cm² ?
Karim a une photo d'un zellige de Fès qui mesure cm sur cm. Il veut l'agrandir pour faire une affiche. Un photographe lui propose deux options :
Un solide est agrandi avec un coefficient . Son volume passe de cm³ à cm³. Quelle est la valeur de ?
On affirme : « Pour un agrandissement de coefficient , l'aire est multipliée par et le volume par . » Est-ce vrai ?
Yasmine prépare un projet d'art plastique sur les zelliges de Fès. Elle dispose d'une photo d'un panneau de zellige carré de cm de côté, et elle veut créer deux versions :
Réponds aux questions suivantes.
Un triangle a une base de cm et une hauteur de cm. On l'agrandit avec un coefficient . Quelle est l'aire du triangle image, en cm² ?
L'image d'un solide par un agrandissement de coefficient a un volume de cm³. Quel était le volume du solide original, en cm³ ?
Une figure est agrandie avec un coefficient . Son aire passe de cm² à cm². Quelle est la valeur de ?
Sur un plan de la médina de Fès, une rue qui mesure m dans la réalité est représentée par un segment de cm. Quelle est l'échelle de ce plan ?
Karim affirme : « Si l'aire d'une figure est multipliée par lors d'un agrandissement, alors le volume du solide correspondant est multiplié par . » A-t-il raison ?
Salma agrandit une maquette de cube avec . Elle affirme : « Son aire totale est multipliée par et son volume par . » A-t-elle raison ?
Sur un plan cadastral à l'échelle , un terrain rectangulaire mesure cm sur cm. Quelle est son aire réelle, en mètres carrés ?
Amine dessine le plan d'un quartier de Casablanca à l'échelle . Sur son plan, un jardin public carré occupe un côté de cm, et une avenue rectiligne mesure cm.
Yasmine étudie deux citernes cubiques d'une exploitation agricole près d'Agadir. La petite citerne a une arête de m et un volume de m³. La grande citerne est un agrandissement de la petite avec un coefficient .
Karim affirme : « La grande citerne contient deux fois plus d'eau que la petite, donc m³. »
La maquette d'un château d'eau est construite à l'échelle . Le réservoir de la maquette a un volume de cm³. Quel est le volume réel du réservoir, en centimètres cubes ?