Statistiques et probabilités

Comprendre une série statistique

Exemple.

Voici les notes obtenues par un groupe d'élèves :

$$8;12;15;10;12;18;9;16$$

Cette liste de notes forme une série statistique.

Les données peuvent être :

• des nombres, comme des notes ou des tailles ;
• des catégories, comme une couleur préférée ou un moyen de transport ;
• des résultats d'une enquête.

Effectif

L'effectif total est le nombre de données dans la série.

Dans la série :

$$8;12;15;10;12;18;9;16$$

il y a 8 notes.

L'effectif total est donc $8$.

Effectif d'une valeur

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.

Dans la série :

$$8;12;15;10;12;18;9;16$$

la note 12 apparaît deux fois.

L'effectif de la valeur 12 est donc $2$.

Fréquence

Exemple.

Dans une classe de 30 élèves, 12 élèves viennent en bus.

La fréquence des élèves qui viennent en bus est :

$${\displaystyle \frac{12}{30}}=\mathrm{0,4}$$

Tu peux aussi l'écrire en pourcentage :

$$\mathrm{0,4}=40\mathrm{\%}$$

Donc 40 % des élèves viennent en bus.

Tableau d'effectifs et de fréquences

Un tableau permet d'organiser les données.

Exemple.

Dans une classe, on demande le moyen de transport utilisé pour venir au collège.

Moyen de transport	À pied	Bus	Voiture	Vélo
Effectif	8	12	6	4

L'effectif total est :

$$8+12+6+4=30$$

La fréquence du bus est :

$${\displaystyle \frac{12}{30}}=\mathrm{0,4}=40\mathrm{\%}$$

Moyenne

La moyenne permet de résumer une série de nombres par une seule valeur.

Exemple.

Un élève a obtenu les notes suivantes :

$$12;15;9;14$$

Tu additionnes les notes :

$$12+15+9+14=50$$

Il y a 4 notes.

Donc la moyenne est :

$${\displaystyle \frac{50}{4}}=\mathrm{12,5}$$

La moyenne est donc $\mathrm{12,5}$.

Moyenne pondérée

Quand certaines valeurs apparaissent plusieurs fois, tu peux utiliser les effectifs.

Exemple.

Voici un tableau de notes :

Note	8	10	12	16
Effectif	2	3	4	1

L'effectif total est :

$$2+3+4+1=10$$

La somme pondérée est :

$$8\times 2+10\times 3+12\times 4+16\times 1$$

Donc :

$$16+30+48+16=110$$

La moyenne est :

$${\displaystyle \frac{110}{10}}=11$$

La moyenne est donc 11.

Médiane

Exemple avec un nombre impair de valeurs.

On considère la série :

$$8;12;15;10;9$$

Tu ranges dans l'ordre croissant :

$$8;9;10;12;15$$

Il y a 5 valeurs.
La valeur du milieu est la 3e valeur.

La médiane est donc $10$.

Il y a deux valeurs strictement inférieures à 10 et deux valeurs strictement supérieures à 10.

Exemple avec un nombre pair de valeurs

On considère la série :

$$8;12;15;10;9;16$$

Tu ranges dans l'ordre croissant :

$$8;9;10;12;15;16$$

Il y a 6 valeurs.

Les deux valeurs du milieu sont $10$ et $12$.

La médiane est la moyenne de ces deux valeurs :

$${\displaystyle \frac{10+12}{2}}=11$$

La médiane est donc $11$.

Étendue

Exemple.

On considère les notes :

$$8;12;15;10;9$$

La plus petite note est $8$.

La plus grande note est $15$.

Donc l'étendue est :

$$15-8=7$$

L'étendue est donc 7.

L'étendue donne une idée de la dispersion des valeurs.

Lire et interpréter un graphique

Les données statistiques peuvent être représentées par différents graphiques :

• diagramme en bâtons ;
• diagramme circulaire ;
• courbe ;
• histogramme simple ;
• tableau.

Diagramme en bâtons

Un diagramme en bâtons est utile pour comparer des effectifs.

Exemple.

Si un sondage donne :

Sport préféré	Football	Basket	Natation	Tennis
Effectif	14	8	5	3

Le diagramme en bâtons permet de voir rapidement que le football est le sport le plus choisi.

Diagramme circulaire

Dans un diagramme circulaire, un disque est partagé en secteurs.

L'angle d'un secteur est proportionnel à la fréquence de la catégorie.

Si une catégorie représente 25 % des réponses, alors son secteur mesure :

$$25\mathrm{\%}\times {360}^{\circ }={90}^{\circ }$$

Comprendre une probabilité

Une probabilité mesure la chance qu'un événement se produise.

Elle est toujours comprise entre 0 et 1.

• Une probabilité de 0 signifie que l'événement est impossible.
• Une probabilité de 1 signifie que l'événement est certain.
• Une probabilité de 0,5 signifie que l'événement a une chance sur deux de se produire.

Exemple.

On lance une pièce équilibrée.

Il y a deux issues possibles :

• pile ;
• face.

La probabilité d'obtenir pile est :

$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$

Calculer une probabilité simple

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, on dit qu'elles sont équiprobables.

Exemple.

On lance un dé équilibré à six faces.

Les issues possibles sont :

$$1;2;3;4;5;6$$

On cherche la probabilité d'obtenir un nombre pair.

Les nombres pairs sont :

$$2;4;6$$

Il y a donc 3 issues favorables sur 6 issues possibles.

Donc :

$$P(\text{nombre pair})={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Événement contraire

Donc :

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Exemple.

Dans un sac, il y a des boules rouges et bleues.
La probabilité de tirer une boule rouge est :

$$\mathrm{0,3}$$

La probabilité de ne pas tirer une boule rouge est donc :

$$1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$$

Pièges classiques

Piège 1 : oublier de ranger les valeurs pour trouver la médiane. La médiane se calcule toujours après avoir rangé la série dans l'ordre croissant. Sur la série non triée, la valeur du milieu ne veut rien dire.

Piège 2 : confondre moyenne et médiane. La moyenne utilise toutes les valeurs et se laisse tirer par les valeurs extrêmes. La médiane, elle, dépend de la position des valeurs dans la série ordonnée : c'est le centre, peu sensible aux extrêmes.

Piège 3 : oublier les effectifs dans une moyenne pondérée. Quand une valeur apparaît plusieurs fois, il faut la multiplier par son effectif avant de diviser par l'effectif total. Sinon, chaque valeur compterait à tort une seule fois.

Piège 4 : confondre fréquence et effectif. L'effectif est un nombre de données. La fréquence est une proportion (entre 0 et 1, ou en pourcentage). On ne les exprime pas dans la même unité.

Piège 5 : donner une probabilité supérieure à 1. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 (soit 0 % et 100 %). Un résultat comme $\mathrm{1,2}$ signale forcément une erreur de calcul.

Piège 6 : confondre issues favorables et issues possibles. Pour calculer une probabilité en équiprobabilité, il faut bien distinguer le nombre d'issues favorables (au numérateur) du nombre total d'issues possibles (au dénominateur).

Application concrète

Salma organise la tombola de la kermesse de son collège à Marrakech et analyse en même temps un petit sondage sur les sports préférés de sa classe. Elle va mobiliser moyenne, médiane, fréquence et probabilité.

Étape 1 — Résumer des notes (moyenne et médiane). Pour comparer deux groupes, Salma calcule la moyenne et la médiane des notes. Dans un groupe, la moyenne est bien plus haute que la médiane. Salma en conclut d'abord que « la classe est excellente » — mais c'est une lecture trop rapide : en réalité, quelques notes très élevées tirent la moyenne vers le haut, alors que la médiane montre où se situe vraiment le centre de la classe.

Étape 2 — Comparer des réponses (fréquence). Dans son sondage, 45 % des élèves préfèrent le football et 20 % le basket. Les fréquences lui permettent de conclure que le football est le sport le plus choisi de la classe.

Étape 3 — Prévoir une chance (probabilité). La tombola compte 100 tickets dont 5 gagnants. La probabilité que Salma gagne avec un ticket est :

$$P={\displaystyle \frac{5}{100}}=\mathrm{0,05}=5\mathrm{\%}$$

Conclusion. Moyenne, médiane et fréquence servent à décrire des données ; la probabilité sert à anticiper le hasard. L'erreur de lecture de Salma rappelle qu'un seul indicateur ne suffit jamais : il faut croiser moyenne et médiane pour bien comprendre une série.

À retenir