Transformations géométriques

Comprendre une transformation géométrique

Exemple.

Si un point $A$ devient un point $A^{\mathrm{\prime }}$ après une transformation, on dit que $A^{\mathrm{\prime }}$ est l'image de $A$.

Une transformation peut :

• conserver les longueurs ;
• conserver les angles ;
• déplacer la figure ;
• changer la taille de la figure.

Certaines transformations conservent la forme et la taille.
D'autres conservent la forme mais changent la taille.

Symétrie axiale

La symétrie axiale agit comme un miroir.

Exemple.

Si une figure est reflétée de l'autre côté d'une droite, tu obtiens son image par symétrie axiale.

Propriétés

La symétrie axiale conserve :

• les longueurs ;
• les angles ;
• les alignements ;
• les aires.

Mais elle inverse l'orientation de la figure.

Par exemple, une figure tournée vers la droite peut devenir une figure tournée vers la gauche.

Symétrie centrale

Autrement dit :

$$OA=O{A}^{\mathrm{\prime }}$$

et les points $A$, $O$ et $A^{\mathrm{\prime }}$ sont alignés.

La symétrie centrale correspond à un demi-tour autour du point $O$.

Propriétés

La symétrie centrale conserve :

• les longueurs ;
• les angles ;
• les alignements ;
• les aires ;
• l'orientation.

Elle transforme une droite en une droite parallèle.

Translation

On peut définir une translation avec une flèche.

Cette flèche indique :

• la direction ;
• le sens ;
• la longueur du déplacement.

Exemple.

Si la flèche indique un déplacement de 4 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut, alors chaque point de la figure se déplace de 4 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut.

Propriétés

La translation conserve :

• les longueurs ;
• les angles ;
• les alignements ;
• les aires ;
• l'orientation.

L'image d'un segment par translation est un segment parallèle et de même longueur.

Rotation

Le sens peut être :

• horaire, comme les aiguilles d'une montre ;
• antihoraire, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Exemple.

Une rotation de centre $O$ et d'angle ${90}^{\circ }$ fait tourner la figure d'un quart de tour autour du point $O$.

Propriétés

La rotation conserve :

• les longueurs ;
• les angles ;
• les alignements ;
• les aires ;
• l'orientation.

Chaque point et son image sont à la même distance du centre de rotation.

Si $A^{\mathrm{\prime }}$ est l'image de $A$ par une rotation de centre $O$, alors :

$$OA=O{A}^{\mathrm{\prime }}$$

Homothétie

Si $k>1$, la figure est agrandie.
Si $0<k<1$, la figure est réduite.
Si $k<0$, la figure est de l'autre côté du centre.

Exemple.

Une homothétie de centre $O$ et de rapport 2 transforme une figure en une figure deux fois plus grande.

Si $A^{\mathrm{\prime }}$ est l'image de $A$, alors :

$$O{A}^{\mathrm{\prime }}=2\times OA$$

Homothétie et agrandissement

Si une figure est agrandie avec un rapport $k$, toutes ses longueurs sont multipliées par $k$.

Exemple.

Si un triangle a des côtés de longueurs 3 cm, 4 cm et 5 cm, et que tu appliques une homothétie de rapport 2, alors son image a des côtés :

$$6\text{ cm},8\text{ cm},10\text{ cm}$$

Homothétie et réduction

Si une figure est réduite avec un rapport $k=\mathrm{0,5}$, toutes ses longueurs sont divisées par 2.

Exemple.

Un segment de 10 cm devient un segment de :

$$10\times \mathrm{0,5}=5$$

Donc son image mesure 5 cm.

Effet des transformations sur les longueurs, les angles et les aires

Les symétries, les translations et les rotations conservent les longueurs et les angles.

Elles donnent une figure de même forme et de même taille.

On les appelle des transformations qui conservent les distances.

L'homothétie, elle, conserve la forme mais change la taille.

Si le rapport d'homothétie est $k$ :

• les longueurs sont multipliées par $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ ;
• les aires sont multipliées par $k^2$.

Exemple.

Si une figure est agrandie avec un rapport 3, alors :

• ses longueurs sont multipliées par 3 ;
• son aire est multipliée par :

$$3^2=9$$

Reconnaître une transformation

Pour reconnaître une transformation, tu observes ce qui change et ce qui ne change pas.

Si la figure est retournée comme dans un miroir

Il s'agit probablement d'une symétrie axiale.

Si la figure fait un demi-tour autour d'un point

Il s'agit d'une symétrie centrale.

Si la figure glisse sans tourner

Il s'agit d'une translation.

Si la figure tourne autour d'un point

Il s'agit d'une rotation.

Si la figure change de taille

Il s'agit d'une homothétie.

Enchaîner deux translations

Tu peux appliquer plusieurs transformations à la suite : on dit qu'on les compose. Le cas le plus simple est celui de deux translations.

Quand tu appliques une translation, puis une autre, chaque déplacement s'ajoute au précédent. Si les deux glissements vont dans le même sens, tu additionnes leurs longueurs.

Exemple.

Tu fais glisser une figure de 3 carreaux vers la droite, puis de 2 carreaux vers la droite. Au total, la figure s'est déplacée de :

$$3+2=5$$

soit 5 carreaux vers la droite. Le résultat des deux translations est donc encore une translation, de 5 carreaux vers la droite.

C'est une règle générale : composer deux translations donne toujours une translation. Tu formaliseras cette « addition de flèches » au lycée, avec les vecteurs.

Transformations et coordonnées

Quand une figure est placée dans un repère, chaque point a des coordonnées. Observer comment ces coordonnées se transforment permet de reconnaître la transformation.

La symétrie centrale de centre l'origine

Considère un point $A(2;3)$ et le centre $O(0;0)$, l'origine du repère. Son image par la symétrie centrale de centre $O$ est le point $A^{\mathrm{\prime }}$ tel que $O$ soit le milieu de $[A{A}^{\mathrm{\prime }}]$.

Pour passer de $A$ à $A^{\mathrm{\prime }}$, on prend les coordonnées opposées :

$$A(2;3)⟼A^{\mathrm{\prime }}(-2;-3)$$

Ainsi, si tu vois qu'un point et son image ont des coordonnées opposées, tu peux affirmer qu'il s'agit d'une symétrie centrale de centre l'origine.

La translation dans un repère

Une translation ajoute le même déplacement à tous les points. Si la flèche déplace de 4 vers la droite et de 2 vers le haut, alors chaque point voit son abscisse augmenter de 4 et son ordonnée de 2 :

$$A(1;1)⟼A^{\mathrm{\prime }}(5;3)$$

Lire l'effet d'une transformation sur les coordonnées est une idée que tu approfondiras au lycée, avec les vecteurs et la géométrie analytique.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre translation et rotation. Une translation est un glissement ; une rotation est un mouvement autour d'un centre. Si la figure tourne, ce n'est pas une translation.

Piège 2 : confondre symétrie axiale et symétrie centrale. La symétrie axiale se fait par rapport à une droite (un axe) et inverse l'orientation, comme un miroir. La symétrie centrale se fait par rapport à un point (un centre) et conserve l'orientation, comme un demi-tour.

Piège 3 : oublier le centre d'une rotation ou d'une homothétie. Une rotation a toujours un centre, un angle et un sens. Une homothétie a toujours un centre et un rapport. Sans centre, la transformation n'est pas complètement définie.

Piège 4 : penser qu'une homothétie conserve les longueurs. Une homothétie conserve la forme, mais pas les longueurs dès que le rapport est différent de 1 (en valeur absolue). Les longueurs sont multipliées par $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$.

Piège 5 : oublier l'effet sur les aires. Si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. Par exemple, un rapport 2 multiplie les longueurs par 2 mais les aires par 4.

Piège 6 : oublier que la symétrie centrale est une homothétie de rapport $-1$. Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-1$ envoie chaque point $A$ sur le point $A^{\mathrm{\prime }}$ tel que $O$ soit le milieu de $[A{A}^{\mathrm{\prime }}]$ : c'est exactement la symétrie centrale de centre $O$. Les deux transformations conservent bien les longueurs, car $\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }=1$.

Application concrète

Salma observe les zelliges d'un riad de Marrakech et veut comprendre comment un seul petit motif suffit à couvrir tout un mur. Elle reconnaît, une à une, les transformations géométriques du chapitre.

Étape 1 — Répéter par translation. Le motif de base est recopié à l'identique, en glissant toujours du même vecteur : c'est une translation. Le carrelage avance ainsi de proche en proche, sans jamais tourner ni changer de taille.

Étape 2 — Tourner par rotation. Autour d'une étoile centrale, le même motif est répété en tournant d'un angle régulier, par exemple ${45}^{\circ }$ : c'est une rotation de centre l'étoile. C'est ce qui donne aux zelliges leur symétrie en rosace.

Étape 3 — Refléter par symétrie. De part et d'autre d'une ligne, le motif se reflète comme dans un miroir : c'est une symétrie axiale. Salma manque de se tromper en croyant qu'il a « glissé », mais l'orientation inversée lui fait reconnaître un reflet, pas une translation.

Étape 4 — Réduire par homothétie. Sur le plan du riad, le même décor est dessiné en réduction : une homothétie de rapport $\mathrm{0,1}$ ramène chaque longueur réelle au dixième sur le papier.

Conclusion. Translation, rotation, symétrie et homothétie suffisent à engendrer la richesse d'un zellige entier. Ces mêmes transformations sont à la base des logos, des cartes et des logiciels de dessin — et tu les reverras au lycée, formalisées par les vecteurs et les coordonnées.

À retenir