Transformations géométriques — exercices corrigés

Par rapport à quel objet géométrique se fait une symétrie axiale ?

Par rapport à quel objet géométrique se fait une symétrie centrale ?

Comment décrit-on le mieux une translation ?

On affirme qu'une rotation fait tourner une figure autour d'un point appelé centre de rotation.

Quelle transformation peut agrandir ou réduire une figure ?

On affirme que la symétrie axiale inverse l'orientation de la figure, comme un miroir.

Parmi ces transformations, laquelle peut changer la taille d'une figure ?

On applique une homothétie de rapport 2 à un segment de 5 cm. Quelle est la longueur de son image ?

Après une transformation, le point $A$ devient le point $A^{\mathrm{\prime }}$. Comment appelle-t-on $A^{\mathrm{\prime }}$ ?

On affirme qu'une translation conserve l'orientation de la figure.

Quel objet géométrique permet de définir entièrement une translation ?

Pour définir entièrement une rotation, de quelles données a-t-on besoin ?

Comment appelle-t-on le nombre $k$ qui caractérise une homothétie ?

Dans une symétrie axiale d'axe $(d)$, quel rôle joue la droite $(d)$ par rapport au segment $[A{A}^{\mathrm{\prime }}]$ reliant un point à son image ?

Dans une symétrie centrale de centre $O$, où se trouve le point $O$ par rapport au segment $[A{A}^{\mathrm{\prime }}]$ reliant un point à son image ?

On affirme que, dans une rotation de centre $O$, chaque point et son image sont à la même distance du centre $O$.

On affirme qu'une homothétie modifie les angles d'une figure.

On affirme que la symétrie centrale de centre $O$ correspond à un demi-tour autour du point $O$.

On applique une homothétie de rapport 3 à un segment de 6 cm. Quelle est la longueur de son image, en centimètres ?

Un motif de zellige est obtenu en répétant une même tuile par rotations successives autour d'un point central. Si la tuile est répétée exactement 3 fois pour faire un tour complet, quel est l'angle de chaque rotation, en degrés ?

Une figure et son image sont disposées de part et d'autre d'une droite, l'orientation étant inversée comme dans un miroir. De quelle transformation s'agit-il ?

On applique une homothétie de rapport $k=\mathrm{0,5}$ à un segment de 10 cm. Quelle est la longueur de son image ?

On applique une homothétie de rapport 3 à une longueur de 4 cm. Quelle est la longueur de l'image ?

Parmi ces transformations, laquelle ne conserve pas toujours les longueurs ?

On affirme qu'une homothétie de centre $O$ et de rapport $-1$ est en fait la symétrie centrale de centre $O$.

Une figure d'aire 5 cm² subit une homothétie de rapport 2. Quelle est l'aire de son image ?

Une rotation d'angle $90\mathrm{°}$ autour d'un centre $O$ correspond à quel mouvement ?

Un triangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. On lui applique une homothétie de rapport 2. Quel est le périmètre du triangle image ?

Une figure est déplacée sans tourner, sans changer de taille, et sans inverser son orientation. De quelle transformation s'agit-il ?

Sur un zellige de Marrakech, un même motif est répété autour d'une étoile centrale, chaque copie étant tournée d'un huitième de tour par rapport à la précédente. Quelle transformation est utilisée, et de quel angle ?

Sur une frise, un même motif est répété en tournant autour d'un point fixe, sans changer de taille ni inverser son orientation. De quelle transformation s'agit-il ?

On considère une droite $(d)$ et son image $(d^{\mathrm{\prime }})$ par une symétrie centrale de centre $O$ (avec $O$ non situé sur $(d)$). Quelle est la position de $(d^{\mathrm{\prime }})$ par rapport à $(d)$ ?

Parmi ces transformations, laquelle n'est pas une isométrie (c'est-à-dire ne conserve pas toujours les distances) ?

Une rotation d'angle ${120}^{\circ }$ autour d'un centre $O$ correspond à quelle fraction de tour ?

Un carreau de zellige carré a une aire de 36 cm². On le réduit par une homothétie de rapport $\mathrm{0,5}$. Quelle est l'aire de son image, en centimètres carrés ?

Une rosace de zellige est formée d'un même pétale répété par rotations autour de son centre. Le pétale apparaît exactement 6 fois pour faire un tour complet. Quel est l'angle de chaque rotation, en degrés ?

On affirme que, lorsqu'on déplace une figure par une translation, son aire reste exactement la même.

Sur une frise murale, un motif est reproduit de l'autre côté d'une ligne verticale, comme dans un miroir. Amine affirme qu'il s'agit d'une translation, car le motif n'a pas changé de taille. A-t-il raison ?

Amine passe un dessin dans une photocopieuse réglée sur « agrandissement 150 % ». Quelle transformation géométrique modélise cette photocopie, et que deviennent les angles du dessin ?

Karim veut faire tourner un motif d'un quart de tour autour d'un centre $O$. Il dit : « Je donne le centre $O$ et l'angle ${90}^{\circ }$, ma rotation est entièrement définie. » A-t-il raison ? Justifie.

Sur le plan d'une medina de Fès, Salma regarde une porte décorée que l'architecte a reportée sur une seconde façade : la porte a basculé d'un quart de tour autour d'un clou planté dans le mur, et elle pointe maintenant vers le haut au lieu de pointer vers la droite. Salma affirme : « La porte garde la même taille et la même forme, donc c'est une translation. » A-t-elle raison ?

Amine décore un cahier avec un motif et son image obtenue par un demi-tour autour d'un point $O$ : le motif n'est pas retourné comme dans un miroir, il a simplement pivoté de ${180}^{\circ }$. Amine affirme : « Comme le motif a été retourné, c'est forcément une symétrie axiale. » A-t-il raison ?

Pour un projet de logo, Yasmine veut réduire un dessin par une homothétie. Elle écrit sur sa copie : « J'applique une homothétie de rapport $\mathrm{0,5}$ », et elle s'arrête là. Karim, en relisant, dit : « Avec ça, ta transformation est entièrement définie. » A-t-il raison ?

Salma observe un zellige : un motif se répète à l'identique en glissant toujours du même vecteur le long du mur. Elle croit d'abord que le motif a été « retourné ». Comment savoir s'il s'agit d'une translation ou d'une symétrie axiale ?

Une figure subit une homothétie de rapport 3. Par quel nombre son aire est-elle multipliée ?

Soit une homothétie de centre $O$ et de rapport 2. Un point $A$ est tel que $OA=7$ cm. Quelle est la distance $O{A}^{\mathrm{\prime }}$, où $A^{\mathrm{\prime }}$ est l'image de $A$ ?

Une figure subit un demi-tour ($180\mathrm{°}$) autour d'un point $O$. Par quelle(s) transformation(s) peut-on décrire ce mouvement ?

On affirme que la symétrie centrale et la translation conservent toutes les deux l'orientation de la figure.

Sur le plan d'un riad, dessiné par une homothétie de rapport $\mathrm{0,1}$, un mur réel de 4 m est représenté. Quelle est la longueur de ce mur sur le plan, en mètres ?

Un carré d'aire 12 cm² subit une homothétie de rapport 2. Karim affirme que l'aire de l'image est $24$ cm². A-t-il raison ? Justifie.

On applique à une figure une translation de 3 carreaux vers la droite, puis une autre de 2 carreaux vers la droite. Quel déplacement global obtient-on ?

Un point $A(2;3)$ a pour image $A^{\mathrm{\prime }}(-2;-3)$ par une transformation de centre l'origine $O$. De quelle transformation s'agit-il très probablement ?

Yasmine crée un logo : elle dessine un motif, puis le reproduit deux fois plus grand pour l'en-tête d'une affiche, et enfin le reflète pour créer une version symétrique. Quelles transformations a-t-elle utilisées, et qu'arrive-t-il à l'aire lors de l'agrandissement ?

Yasmine construit la maquette d'une mosaïque murale. Sur le mur réel, un panneau rectangulaire a une aire de 8 m². Sa maquette est obtenue par une homothétie de rapport ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Quelle est l'aire du panneau sur la maquette, et de quel facteur l'aire a-t-elle été réduite ?

Salma décore un mur de hammam. Elle reflète un motif par une symétrie axiale d'axe vertical, puis reflète à nouveau le résultat par une symétrie axiale d'un second axe vertical, parallèle au premier. Le motif final est-il retourné comme dans un miroir, ou conserve-t-il son orientation de départ ? Justifie.

Pour créer une rosace, Karim applique à un motif une rotation de ${40}^{\circ }$ autour d'un centre $O$, puis une seconde rotation de ${50}^{\circ }$ autour du même centre $O$, dans le même sens. Par quelle transformation unique peut-on remplacer ces deux rotations, et combien de fois faudrait-il la répéter pour faire un tour complet ?

Yasmine dessine le plan de son quartier à Fès. Une avenue rectiligne mesure 600 m dans la réalité et 12 cm sur le plan. Le plan est une homothétie de réduction. Quel est le rapport de cette homothétie (sous forme « 1 sur un nombre »), et que mesure sur le plan un jardin carré de 30 m de côté réel ?

Amine relève une frise sur le linteau d'une porte à Essaouira. Un même motif s'y répète, et il note deux faits : d'une copie à la suivante, le motif garde exactement la même taille, mais il est retourné comme dans un miroir. De plus, chaque copie est plus haute ou plus basse que la précédente, jamais agrandie. Quelle transformation, parmi celles du chapitre, fait passer d'une copie à la copie voisine ? Justifie en t'appuyant sur ce qui est conservé et ce qui change.

Karim compose un motif de tapis. Il applique d'abord à un triangle une translation de 5 carreaux vers la droite, puis une symétrie axiale d'axe vertical. Karim affirme : « Comme j'ai utilisé une translation, qui conserve l'orientation, le triangle final a la même orientation que celui de départ. » A-t-il raison ? Justifie en analysant chaque transformation.

Salma applique à un motif de mosaïque une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-2$. Un point $A$ du motif vérifie $OA=3$ cm. Indique de quel côté du centre se trouve l'image $A^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à $A$, quelle est la distance $O{A}^{\mathrm{\prime }}$, et par quel nombre l'aire du motif est multipliée.

Yasmine agrandit par une homothétie un carreau de zellige carré de 5 cm de côté. Après l'agrandissement, l'aire de l'image est 9 fois plus grande que l'aire du carreau de départ. Quelle est la longueur du côté de l'image, en cm ?

Sur le plan quadrillé d'un quartier de Rabat, Amine remarque que trois bornes et leurs images se correspondent ainsi : $A(1;2)\mapsto A^{\mathrm{\prime }}(4;2)$, $B(3;5)\mapsto B^{\mathrm{\prime }}(6;5)$ et $C(0;-1)\mapsto C^{\mathrm{\prime }}(3;-1)$. Quelle transformation fait passer de chaque point à son image ?

Karim applique à un motif de mosaïque une symétrie centrale de centre $O$, puis une seconde symétrie centrale de centre $O^{\mathrm{\prime }}$ (un point différent de $O$). Il affirme : « Comme chaque symétrie centrale est un demi-tour, en faire deux ramène toujours le motif exactement à sa position de départ. » Cette affirmation est-elle vraie ?